Cálculo (Volume 3)/Séries numéricas infinitas: mudanças entre as edições
imported>Jayme~ptwikibooks (Condição necessária e suficiente para a convergência da série geométrica e a sua soma) |
imported>Jayme~ptwikibooks (Correcção (faltava a condição k diferente de 0)) |
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* Sejam <math>\sum a_n</math> e <math>\sum b_n</math> duas séries convergentes. Então <math>\sum (a_n \pm b_n)</math> = <math>\sum a_n \pm \sum b_n</math> converge | * Sejam <math>\sum a_n</math> e <math>\sum b_n</math> duas séries convergentes. Então <math>\sum (a_n \pm b_n)</math> = <math>\sum a_n \pm \sum b_n</math> converge | ||
* Se <math>\sum a_n</math> converge(diverge), então <math>\sum k\cdot a_n = k\sum a_n</math> converge(diverge) | * Se <math>\sum a_n</math> converge (diverge) e <math>k \not= 0</math>, então <math>\sum k\cdot a_n = k\sum a_n</math> converge (respectivamente, diverge) (se <math>k = 0</math>, então <math>\sum k\cdot a_n = 0</math> converge) | ||
* Se <math>\sum a_n</math> converge e <math>\sum b_n</math> diverge, então <math>\sum (a_n \pm b_n)</math> diverge | * Se <math>\sum a_n</math> converge e <math>\sum b_n</math> diverge, então <math>\sum (a_n \pm b_n)</math> diverge | ||
* Sejam as séries <math>\sum a_n</math> e <math>\sum b_k</math> tais que <math>b_k = a_n</math> a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento | * Sejam as séries <math>\sum a_n</math> e <math>\sum b_k</math> tais que <math>b_k = a_n</math> a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento |
Edição das 19h45min de 9 de junho de 2005
Séries numéricas infinitas
Definição: Seja uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:
Seqüência das somas parciais
Seja uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência , onde
Série convergente
Definição: Seja uma série e a sua seqüência de somas parciais.
- Se < , a série é dita convergente e tem soma S
- Caso contrário, a série diverge
Critério do termo geral
Se é uma série convergente, então
Teste da divergência
Se , então a série diverge.
Séries geométricas
São séries do tipo .
A série geométrica:
- Converge se e só se ou .
- Se , então (independentemente do valor de ). Se , então .
Propriedades de séries
- Sejam e duas séries convergentes. Então = converge
- Se converge (diverge) e , então converge (respectivamente, diverge) (se , então converge)
- Se converge e diverge, então diverge
- Sejam as séries e tais que a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento