Cálculo (Volume 3)/Séries numéricas infinitas: mudanças entre as edições
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imported>Marcos Antônio Nunes de Moura |
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'''Definição''': Seja <math>\{a_n\}</math> uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma: | '''Definição''': Seja <math>\{a_n\}</math> uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma: | ||
<math>\sum_{n=1}^{+\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots</math> | <math>\sum_{n=1}^{+\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots\,\!</math> | ||
===Seqüência das somas parciais=== | ===Seqüência das somas parciais=== | ||
Seja <math>\sum a_n</math> uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência <math>{S_n}</math>, onde | Seja <math>\sum a_n\,\!</math> uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência <math>{S_n}\,\!</math>, onde | ||
: <math>S_1 = a_1</math> | : <math>S_1 = a_1\,\!</math> | ||
: <math>S_2 = a_1 + a_2 = S_1 + a_2</math> | : <math>S_2 = a_1 + a_2 = S_1 + a_2\,\!</math> | ||
: <math>S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = S_2 + a_3</math> | : <math>S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = S_2 + a_3\,\!</math> | ||
: <math>\vdots</math> | : <math>\vdots\,\!</math> | ||
: <math>S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = S_{n-1} + a_n</math> | : <math>S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = S_{n-1} + a_n\,\!</math> | ||
===Série convergente=== | ===Série convergente=== | ||
'''Definição''': Seja <math>\sum a_n</math> uma série e <math>{S_n}</math> a sua seqüência de somas parciais. | '''Definição''': Seja <math>\sum a_n\,\!</math> uma série e <math>{S_n}\,\!</math> a sua seqüência de somas parciais. | ||
* Se <math>\lim_{n \to \infty} S_n = S, |S|</math> < <math>\infty</math>, a série é dita convergente e tem soma S | * Se <math>\lim_{n \to \infty} S_n = S, |S|\,\!</math> < <math>\infty\,\!</math>, a série é dita convergente e tem soma S | ||
* Caso contrário, a série diverge | * Caso contrário, a série diverge | ||
===Critério do termo geral=== | ===Critério do termo geral=== | ||
Se <math>\sum a_n</math> é uma série convergente, então | Se <math>\sum a_n\,\!</math> é uma série convergente, então | ||
<math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math> | <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0\,\!</math> | ||
===Teste da divergência=== | ===Teste da divergência=== | ||
Se <math>\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0</math>, então | Se <math>\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0\,\!</math>, então | ||
a série <math>\sum a_n</math> diverge. | a série <math>\sum a_n\,\!</math> diverge. | ||
===Séries geométricas=== | ===Séries geométricas=== | ||
São séries do tipo <math>\sum a \cdot r^{n-1}</math>. | São séries do tipo <math>\sum a \cdot r^{n-1}\,\!</math>. | ||
A série geométrica: | A série geométrica: | ||
* Converge se e só se <math>a = 0</math> ou <math>|r| < 1</math>. | * Converge se e só se <math>a = 0\,\!</math> ou <math>|r| < 1\,\!</math>. | ||
* Se <math>a = 0</math>, então <math>\sum a \cdot r^{n-1} = 0</math> (independentemente do valor de <math>r</math>). Se <math>|r| < 1</math>, então <math>\sum a \cdot r^{n-1} = \frac{a}{1 - r}</math>. | * Se <math>a = 0\,\!</math>, então <math>\sum a \cdot r^{n-1} = 0\,\!</math> (independentemente do valor de <math>r\,\!</math>). Se <math>|r| < 1\,\!</math>, então <math>\sum a \cdot r^{n-1} = \frac{a}{1 - r}\,\!</math>. | ||
===Propriedades de séries=== | ===Propriedades de séries=== | ||
* Sejam <math>\sum a_n</math> e <math>\sum b_n</math> duas séries convergentes. Então <math>\sum (a_n \pm b_n)</math> = <math>\sum a_n \pm \sum b_n</math> converge | * Sejam <math>\sum a_n\,\!</math> e <math>\sum b_n\,\!</math> duas séries convergentes. Então <math>\sum (a_n \pm b_n)\,\!</math> = <math>\sum a_n \pm \sum b_n\,\!</math> converge | ||
* Se <math>\sum a_n</math> converge (diverge) e <math>k \not= 0</math>, então <math>\sum k\cdot a_n = k\sum a_n</math> converge (respectivamente, diverge) (se <math>k = 0</math>, então <math>\sum k\cdot a_n = 0</math> converge) | * Se <math>\sum a_n\,\!</math> converge (diverge) e <math>k \not= 0\,\!</math>, então <math>\sum k\cdot a_n = k\sum a_n\,\!</math> converge (respectivamente, diverge) (se <math>k = 0\,\!</math>, então <math>\sum k\cdot a_n = 0\,\!</math> converge) | ||
* Se <math>\sum a_n</math> converge e <math>\sum b_n</math> diverge, então <math>\sum (a_n \pm b_n)</math> diverge | * Se <math>\sum a_n\,\!</math> converge e <math>\sum b_n\,\!</math> diverge, então <math>\sum (a_n \pm b_n)\,\!</math> diverge | ||
* Sejam as séries <math>\sum a_n</math> e <math>\sum b_k</math> tais que <math>b_k = a_n</math> a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento. | * Sejam as séries <math>\sum a_n\,\!</math> e <math>\sum b_k\,\!</math> tais que <math>b_k = a_n\,\!</math> a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento. | ||
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Edição das 23h05min de 11 de novembro de 2011
Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV
Séries numéricas infinitas
Definição: Seja uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:
Seqüência das somas parciais
Seja uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência , onde
Série convergente
Definição: Seja uma série e a sua seqüência de somas parciais.
- Se < , a série é dita convergente e tem soma S
- Caso contrário, a série diverge
Critério do termo geral
Se é uma série convergente, então
Teste da divergência
Se , então a série diverge.
Séries geométricas
São séries do tipo .
A série geométrica:
- Converge se e só se ou .
- Se , então (independentemente do valor de ). Se , então .
Propriedades de séries
- Sejam e duas séries convergentes. Então = converge
- Se converge (diverge) e , então converge (respectivamente, diverge) (se , então converge)
- Se converge e diverge, então diverge
- Sejam as séries e tais que a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento.