Cálculo (Volume 3)/Séries numéricas infinitas: mudanças entre as edições
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==Séries numéricas infinitas== | ==Séries numéricas infinitas== | ||
Quando temos que representar um número de forma literal, por meio de equação infinita, podemos lançar mão de um recurso interessante, a série. Ela consiste de uma soma de parcelas literais significativas onde cada valor de parcela é um valor sequencial. Podemos dizer que a série é a somatória de uma sequência numérica simples, a qual se torna uma nova sequência. | |||
'''Definição''': Seja <math>\{a_n\}</math> uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma: | '''Definição''': Seja <math>\{a_n\}</math> uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma: | ||
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<math>\sum_{n=1}^{+\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots\,\!</math> | <math>\sum_{n=1}^{+\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots\,\!</math> | ||
Observemos que <math>n</math>, como termo livre, pode assumir o valor que arbitremos, o que fornece um valor da série para cada valor inteiro que arbitremos. Assim, se tivermos um valor de série para cada <math>n</math>, temos uma nova seqUência gerada pela série. | |||
===Seqüência das somas parciais=== | ===Seqüência das somas parciais=== | ||
Edição das 21h23min de 1 de setembro de 2012
Séries numéricas infinitas
Quando temos que representar um número de forma literal, por meio de equação infinita, podemos lançar mão de um recurso interessante, a série. Ela consiste de uma soma de parcelas literais significativas onde cada valor de parcela é um valor sequencial. Podemos dizer que a série é a somatória de uma sequência numérica simples, a qual se torna uma nova sequência.
Definição: Seja uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:
Observemos que , como termo livre, pode assumir o valor que arbitremos, o que fornece um valor da série para cada valor inteiro que arbitremos. Assim, se tivermos um valor de série para cada , temos uma nova seqUência gerada pela série.
Seqüência das somas parciais
Seja uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência , onde
Série convergente
Definição: Seja uma série e a sua seqüência de somas parciais.
- Se < , a série é dita convergente e tem soma S
- Caso contrário, a série diverge
Critério do termo geral
Se é uma série convergente, então
Teste da divergência
Se , então a série diverge.
Séries geométricas
São séries do tipo .
A série geométrica:
- Converge se e só se ou .
- Se , então (independentemente do valor de ). Se , então .
Propriedades de séries
- Sejam e duas séries convergentes. Então = converge
- Se converge (diverge) e , então converge (respectivamente, diverge) (se , então converge)
- Se converge e diverge, então diverge
- Sejam as séries e tais que a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento.