Cálculo (Volume 3)/Séries numéricas infinitas: mudanças entre as edições
imported>Marcos Antônio Nunes de Moura Sem resumo de edição |
imported>Marcos Antônio Nunes de Moura |
||
Linha 25: | Linha 25: | ||
'''Definição''': Seja <math>\sum a_n\,\!</math> uma série e <math>{S_n}\,\!</math> a sua seqüência de somas parciais. | '''Definição''': Seja <math>\sum a_n\,\!</math> uma série e <math>{S_n}\,\!</math> a sua seqüência de somas parciais. | ||
* Se <math>\lim_{n \to \infty} S_n = S, |S|\,\!</math> < <math>\infty\,\!</math>, a série é dita convergente e tem soma S | * Se <math>\lim_{n \to \infty} S_n = S, |S|\,\!</math> < <math>\infty\,\!</math>, a série é dita convergente e tem soma <math>S</math>; | ||
* Caso contrário, a série diverge | * Caso contrário, a série diverge | ||
Note que esta constataçào não é tão clara para muitas das séries. Para estas, temos que recorrer a diversos recursos de análise matemática, dentre os mais conhecidos temos a indução. | |||
===Critério do termo geral=== | ===Critério do termo geral=== |
Edição das 18h19min de 12 de setembro de 2012
Séries numéricas infinitas
Quando temos que representar um número de forma literal, por meio de equação infinita, podemos lançar mão de um recurso interessante, a série. Ela consiste de uma soma de parcelas literais significativas onde cada valor de parcela é um valor sequencial. Podemos dizer que a série é a somatória de uma sequência numérica simples, a qual se torna uma nova sequência.
Definição: Seja uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:
Observemos que , como termo livre, pode assumir o valor que arbitremos, o que fornece um valor da série para cada valor inteiro que arbitremos. Assim, se tivermos um valor de série para cada , temos uma nova seqUência gerada pela série.
Seqüência das somas parciais
Seja uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência , onde
Série convergente
Definição: Seja uma série e a sua seqüência de somas parciais.
- Se < , a série é dita convergente e tem soma ;
- Caso contrário, a série diverge
Note que esta constataçào não é tão clara para muitas das séries. Para estas, temos que recorrer a diversos recursos de análise matemática, dentre os mais conhecidos temos a indução.
Critério do termo geral
Se é uma série convergente, então
Teste da divergência
Se , então a série diverge.
Séries geométricas
São séries do tipo .
A série geométrica:
- Converge se e só se ou .
- Se , então (independentemente do valor de ). Se , então .
Propriedades de séries
- Sejam e duas séries convergentes. Então = converge
- Se converge (diverge) e , então converge (respectivamente, diverge) (se , então converge)
- Se converge e diverge, então diverge
- Sejam as séries e tais que a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento.