Cálculo (Volume 3)/Séries numéricas infinitas: mudanças entre as edições
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==Séries numéricas infinitas== | ==Séries numéricas infinitas== | ||
Quando temos que representar um número de forma literal, por meio de equação infinita, podemos lançar mão de um recurso interessante, a série. Ela consiste de uma soma de parcelas literais significativas onde cada valor de parcela é um valor sequencial. Podemos dizer que a série é a somatória de uma sequência numérica simples, a qual se torna uma nova sequência. | |||
'''Definição''': Seja <math>\{a_n\}</math> uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma: | '''Definição''': Seja <math>\{a_n\}</math> uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma: | ||
<math>\sum_{n=1}^{+\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots</math> | <math>\sum_{n=1}^{+\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots\,\!</math> | ||
Observemos que <math>n</math>, como termo livre, pode assumir o valor que arbitremos, o que fornece um valor da série para cada valor inteiro que arbitremos. Assim, se tivermos um valor de série para cada <math>n</math>, temos uma nova seqUência gerada pela série. | |||
===Seqüência das somas parciais=== | ===Seqüência das somas parciais=== | ||
Seja <math>\sum a_n</math> uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência <math>{S_n}</math>, onde | Seja <math>\sum a_n\,\!</math> uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência <math>{S_n}\,\!</math>, onde | ||
: <math>S_1 = a_1</math> | : <math>S_1 = a_1\,\!</math> | ||
: <math>S_2 = a_1 + a_2 = S_1 + a_2</math> | : <math>S_2 = a_1 + a_2 = S_1 + a_2\,\!</math> | ||
: <math>S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = S_2 + a_3</math> | : <math>S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = S_2 + a_3\,\!</math> | ||
: <math>\vdots</math> | : <math>\vdots\,\!</math> | ||
: <math>S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = S_{n-1} + a_n</math> | : <math>S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = S_{n-1} + a_n\,\!</math> | ||
===Série convergente=== | ===Série convergente=== | ||
'''Definição''': Seja <math>\sum a_n</math> uma série e <math>{S_n}</math> a sua seqüência de somas parciais. | '''Definição''': Seja <math>\sum a_n\,\!</math> uma série e <math>{S_n}\,\!</math> a sua seqüência de somas parciais. | ||
* Se <math>\lim_{n \to \infty} S_n = S, |S|</math> < <math>\infty</math>, a série é dita convergente e tem soma S | * Se <math>\lim_{n \to \infty} S_n = S, |S|\,\!</math> < <math>\infty\,\!</math>, a série é dita convergente e tem soma <math>S</math>; | ||
* Caso contrário, a série diverge | * Caso contrário, a série diverge | ||
Note que esta constatação não é tão clara para muitas das séries. Para estas, temos que recorrer a diversos recursos de análise matemática, dentre os mais conhecidos temos a indução. | |||
===Critério do termo geral=== | ===Critério do termo geral=== | ||
Se <math>\sum a_n</math> é uma série convergente, então | Se <math>\sum a_n\,\!</math> é uma série convergente, então | ||
<math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0</math> | <math>\lim_{n \to \infty} a_n = 0\,\!</math> | ||
===Teste da divergência=== | ===Teste da divergência=== | ||
Se <math>\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0</math>, então | Se <math>\lim_{n \to \infty} a_n \ne 0\,\!</math>, então | ||
a série <math>\sum a_n</math> diverge. | a série <math>\sum a_n\,\!</math> diverge. | ||
===Séries geométricas=== | ===Séries geométricas=== | ||
São séries do tipo <math>\sum a \cdot r^{n-1}</math>. | São séries do tipo <math>\sum a \cdot r^{n-1}\,\!</math>. | ||
A série geométrica: | A série geométrica: | ||
* Converge se e só se <math>a = 0</math> ou <math>|r| < 1</math>. | * Converge se e só se <math>a = 0\,\!</math> ou <math>|r| < 1\,\!</math>. | ||
* Se <math>a = 0</math>, então <math>\sum a \cdot r^{n-1} = 0</math> (independentemente do valor de <math>r</math>). Se <math>|r| < 1</math>, então <math>\sum a \cdot r^{n-1} = \frac{a}{1 - r}</math>. | * Se <math>a = 0\,\!</math>, então <math>\sum a \cdot r^{n-1} = 0\,\!</math> (independentemente do valor de <math>r\,\!</math>). Se <math>|r| < 1\,\!</math>, então <math>\sum a \cdot r^{n-1} = \frac{a}{1 - r}\,\!</math>. | ||
A prova é feita por indução. Façamos um ensaio parcial da série, definindo as parcelas algebricamente: | |||
<math>S_n = a + ar + ar^{2} + \cdots + ar^{n-1}</math> | |||
Se multiplicarmos a equação por <math>r</math>: | |||
<math>rS_n = ar + ar^{2} + \cdots + ar^{n-1} + ar^{n}</math> | |||
Subtraímos as duas equações acima e obtemos: | |||
<math>(1 -r)S_n = a(1 - r^n)</math> | |||
Finalmente, temos <math> r^n = 0 </math> se <math>|r| < 1</math> e <math>lim_{n \to \infty} S_n</math>. O que nos revela que a série converge para: | |||
<math>S_n =\frac{a}{1 -r}</math> | |||
===Propriedades de séries=== | ===Propriedades de séries=== | ||
* Sejam <math>\sum a_n</math> e <math>\sum b_n</math> duas séries convergentes. Então <math>\sum (a_n \pm b_n)</math> = <math>\sum a_n \pm \sum b_n</math> converge | * Sejam <math>\sum a_n\,\!</math> e <math>\sum b_n\,\!</math> duas séries convergentes. Então <math>\sum (a_n \pm b_n)\,\!</math> = <math>\sum a_n \pm \sum b_n\,\!</math> converge | ||
* Se <math>\sum a_n</math> converge (diverge) e <math>k \not= 0</math>, então <math>\sum k\cdot a_n = k\sum a_n</math> converge (respectivamente, diverge) (se <math>k = 0</math>, então <math>\sum k\cdot a_n = 0</math> converge) | * Se <math>\sum a_n\,\!</math> converge (diverge) e <math>k \not= 0\,\!</math>, então <math>\sum k\cdot a_n = k\sum a_n\,\!</math> converge (respectivamente, diverge) (se <math>k = 0\,\!</math>, então <math>\sum k\cdot a_n = 0\,\!</math> converge) | ||
* Se <math>\sum a_n</math> converge e <math>\sum b_n</math> diverge, então <math>\sum (a_n \pm b_n)</math> diverge | * Se <math>\sum a_n\,\!</math> converge e <math>\sum b_n\,\!</math> diverge, então <math>\sum (a_n \pm b_n)\,\!</math> diverge | ||
* Sejam as séries <math>\sum a_n</math> e <math>\sum b_k</math> tais que <math>b_k = a_n</math> a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento. | * Sejam as séries <math>\sum a_n\,\!</math> e <math>\sum b_k\,\!</math> tais que <math>b_k = a_n\,\!</math> a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento. | ||
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Edição atual tal como às 18h46min de 29 de março de 2017
Séries numéricas infinitas
Quando temos que representar um número de forma literal, por meio de equação infinita, podemos lançar mão de um recurso interessante, a série. Ela consiste de uma soma de parcelas literais significativas onde cada valor de parcela é um valor sequencial. Podemos dizer que a série é a somatória de uma sequência numérica simples, a qual se torna uma nova sequência.
Definição: Seja uma seqüência numérica. Chamamos de série numérica a soma descrita da seguinte forma:
Observemos que , como termo livre, pode assumir o valor que arbitremos, o que fornece um valor da série para cada valor inteiro que arbitremos. Assim, se tivermos um valor de série para cada , temos uma nova seqUência gerada pela série.
Seqüência das somas parciais
Seja uma série. Chamamos de seqüência das somas parciais a seqüência , onde
Série convergente
Definição: Seja uma série e a sua seqüência de somas parciais.
- Se < , a série é dita convergente e tem soma ;
- Caso contrário, a série diverge
Note que esta constatação não é tão clara para muitas das séries. Para estas, temos que recorrer a diversos recursos de análise matemática, dentre os mais conhecidos temos a indução.
Critério do termo geral
Se é uma série convergente, então
Teste da divergência
Se , então a série diverge.
Séries geométricas
São séries do tipo .
A série geométrica:
- Converge se e só se ou .
- Se , então (independentemente do valor de ). Se , então .
A prova é feita por indução. Façamos um ensaio parcial da série, definindo as parcelas algebricamente:
Se multiplicarmos a equação por :
Subtraímos as duas equações acima e obtemos:
Finalmente, temos se e . O que nos revela que a série converge para:
Propriedades de séries
- Sejam e duas séries convergentes. Então = converge
- Se converge (diverge) e , então converge (respectivamente, diverge) (se , então converge)
- Se converge e diverge, então diverge
- Sejam as séries e tais que a partir de algum n. Então ambas as séries têm o mesmo comportamento.