Cálculo (Volume 3)/Séries alternadas: mudanças entre as edições
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==Séries alternadas== | |||
São séries da forma: | São séries da forma: | ||
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<math> \sum (-1)^n a_n = -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \ldots </math> | <math> \sum (-1)^n a_n = -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \ldots </math> | ||
===Teste de Leibniz=== | |||
Seja a série alternada <math> \sum (-1)^{n+1}a_n</math>, <math>a_n</math> > <math>0 </math>. Se <math> \lim_{n \to \infty} a_n = 0 </math> e <math> a_n</math> > <math>a_{n+1}, \forall n </math>, então a série converge e a sua soma não ultrapassa o primeiro termo. | Seja a série alternada <math> \sum (-1)^{n+1}a_n</math>, <math>a_n</math> > <math>0 </math>. Se <math> \lim_{n \to \infty} a_n = 0 </math> e <math> a_n</math> > <math>a_{n+1}, \forall n </math>, então a série converge e a sua soma não ultrapassa o primeiro termo. | ||
===Séries absolutamente convergentes=== | |||
Uma série numérica <math>\sum a_n</math> é absolutamente convergente se a série dos | Uma série numérica <math>\sum a_n</math> é absolutamente convergente se a série dos | ||
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convergente. | convergente. | ||
===Séries condicionalmente convergentes=== | |||
Uma série <math>\sum a_n</math> convergente, mas não absolutamente convergente, é | Uma série <math>\sum a_n</math> convergente, mas não absolutamente convergente, é | ||
chamada de ''condicionalmente convergente''. | chamada de ''condicionalmente convergente''. | ||
===Teste da razão para convergência absoluta=== | |||
Linha 37: | Linha 38: | ||
* Se k = 1, nada se pode concluir | * Se k = 1, nada se pode concluir | ||
===Teste da raiz para convergência absoluta=== | |||
Seja <math>\sum (-1)^n a_n</math> uma série numérica. Então | Seja <math>\sum (-1)^n a_n</math> uma série numérica. Então | ||
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* Se k = 1, nada se pode concluir | * Se k = 1, nada se pode concluir | ||
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Edição atual tal como às 13h36min de 7 de março de 2011
Wikiversidade - Disciplina: Cálculo IV
Séries alternadas
São séries da forma:
ou
Teste de Leibniz
Seja a série alternada , > . Se e > , então a série converge e a sua soma não ultrapassa o primeiro termo.
Séries absolutamente convergentes
Uma série numérica é absolutamente convergente se a série dos módulos, , converge.
Teorema: Se uma série numérica é absolutamente convergente, então é convergente.
Séries condicionalmente convergentes
Uma série convergente, mas não absolutamente convergente, é chamada de condicionalmente convergente.
Teste da razão para convergência absoluta
Seja uma série numérica. Então
- Se k < 1, a série converge
- Se k > 1, a série diverge
- Se k = 1, nada se pode concluir
Teste da raiz para convergência absoluta
Seja uma série numérica. Então
- Se k < 1, a série converge
- Se k > 1, a série diverge
- Se k = 1, nada se pode concluir