Matemática elementar/Geometria plana/Triângulos: mudanças entre as edições
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* Um '''triângulo eqüilátero''' possui todos os lados congruentes. Um triângulo eqüilátero é também '''eqüiângulo''':todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular. | * Um '''triângulo eqüilátero''' possui todos os lados congruentes. Um triângulo eqüilátero é também '''eqüiângulo''': todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular. | ||
* Um '''triângulo isósceles''' possui somente dois lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado '''ângulo do vértice'''. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes. | * Um '''triângulo isósceles''' possui somente dois lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado '''ângulo do vértice'''. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes. | ||
* Em um '''triângulo escaleno''', as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes. | * Em um '''triângulo escaleno''', as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes. | ||
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* Um '''triângulo obtusângulo''' possui | * Um '''triângulo obtusângulo''' possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos. | ||
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Ex: Sendo <math>e</math> a medida do ângulo externo do triângulo que tem como vértice o vértice <math>C</math>, pode-se afirmar que: <math>e = \alpha + \beta</math> | Ex: Sendo <math>e</math> a medida do ângulo externo do triângulo que tem como vértice o vértice <math>C</math>, pode-se afirmar que: <math>e = \alpha + \beta</math> | ||
== Relações de desigualdades entre lados e ângulos == | |||
'''1ª relação''': Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não-adjacentes. | '''1ª relação''': Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não-adjacentes. | ||
'''2ª | '''2ª relação''': Se dois lados de um triângulo tem medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo. | ||
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Edição das 22h19min de 5 de setembro de 2006
Tipos de triângulos
Classificação segundo a medida relativa dos lados
Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados:
- Um triângulo eqüilátero possui todos os lados congruentes. Um triângulo eqüilátero é também eqüiângulo: todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular.
- Um triângulo isósceles possui somente dois lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.
- Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.
Denomina-se base o lado sobre qual apóia-se o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente.
Equilátero
- Três lados congruentes.
- Todo triângulo eqüilátero também é eqüiângulo.
- Todos ângulos internos de um triângulo eqülatero tem 60°.
Isósceles
- Somente dois lados congruentes.
Escaleno
- Medidas de todos os lados distintas.
Classificação de acordo com seus ângulos internos
Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:
- Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares.
- Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
- Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos.
Triângulo retângulo
- Um ângulo reto.
Triângulo obtusângulo
- Um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
Triângulo acutângulo
- Todos os três ângulos são agudos.
Soma dos ângulos internos
Na geometria euclidiana, de acordo com o teorema angular de Tales, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos.
Soma dos ângulos externos
Existe também um corolário, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos nâo-adjacentes.
Ex: Sendo a medida do ângulo externo do triângulo que tem como vértice o vértice , pode-se afirmar que:
Relações de desigualdades entre lados e ângulos
1ª relação: Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não-adjacentes.
2ª relação: Se dois lados de um triângulo tem medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo.
3ª relação: Em todo triângulo, qualquer lado tem medida menor que a soma das medidas dos outros dois.
Área
Existem várias formas de se expressar a área A de um triângulo:
- Dadas a base b e a altura h:
- Dados dois lados a e b e o ângulo γ entre eles compreendido:
- Dados os três lados a, b e c: , onde p é o semiperímetro (metade do perímetro). Essa fórmula é conhecida como fórmula de Heron.
Se o triângulo for equilátero de lado L, sua área pode ser obtida pela fórmula: