Matemática elementar/Geometria plana/Triângulos: mudanças entre as edições
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===Classificação segundo a medida relativa dos lados=== | ===Classificação segundo a medida relativa dos lados=== | ||
Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados: | Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados: | ||
* Um '''triângulo | * Um '''triângulo equilátero''' possui todos os lados congruentes. Pode-se verificar que um triângulo eqüilátero é também '''eqüiângulo''', ou seja, possui todos os seus ângulos internos congruentes (e com medida 60°). Por este motivo, este tipo de triângulo é também um polígono regular. | ||
* Um '''triângulo isósceles''' possui | * Um '''triângulo isósceles''' possui ''pelo menos'' dois lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado '''ângulo do vértice'''. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e, como se pode verificar, são congruentes. Note que os triângulos equiláteros também são isósceles. | ||
* Em um '''triângulo escaleno''', as medidas dos três lados são diferentes. | * Em um '''triângulo escaleno''', as medidas dos três lados são diferentes. É possível mostrar que os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes. | ||
Denomina-se base o lado sobre qual apóia-se o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente. | Denomina-se base o lado sobre qual apóia-se o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente. | ||
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Este triângulo é equilátero, pois possui os três lados congruentes. Em particular, como seus lados são dois a dois congruentes, ele é um triângulo isósceles. Pode-se observar que seus todos os seus ângulos internos medem 60°, e por isso ele é equiângulo. | |||
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Neste triângulo há somente dois lados congruentes: os que têm medida <math>b</math>. Por este motivo, o triângulo é isósceles, mas não é equilátero. Além disso, cada um destes dois lados forma um ângulo de medida <math>\alpha</math> com a base do triângulo. | |||
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Aqui, cada um dos lados tem um comprimento diferente dos demais. Assim, este é um triângulo escaleno. Observe ainda que nenhum par de ângulos internos tem a mesma medida. | |||
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* Em um '''triângulo acutângulo''', todos os três ângulos são agudos. | * Em um '''triângulo acutângulo''', todos os três ângulos são agudos. | ||
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* Um ângulo obtuso e dois ângulos agudos. | * Um ângulo obtuso e dois ângulos agudos. | ||
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* Todos os três ângulos são agudos. Ou seja, menor que 90º | * Todos os três ângulos são agudos. Ou seja, menor que 90º | ||
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== Soma dos ângulos internos == | == Soma dos ângulos internos == | ||
Na geometria euclidiana, de acordo com o | Na geometria euclidiana, de acordo com o teorema angular de Tales, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos. | ||
== Soma dos ângulos externos == | == Soma dos ângulos externos == | ||
Existe também um corolário, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos | Existe também um corolário, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes. | ||
Exemplo: Se os ângulos internos de um triângulo forem: <math>60^\circ, 60^\circ, 60^\circ</math> a resposta final será assim: | |||
Resolução: <math>x = 60^\circ + 60^\circ</math>, <math>x = 120^\circ</math>. Porque o ângulo externo é a igual à soma dos ângulos internos duas vezes. | |||
== Relações de desigualdades entre lados e ângulos == | == Relações de desigualdades entre lados e ângulos == | ||
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'''3ª relação''': Em todo triângulo, qualquer lado tem medida menor que a soma das medidas dos outros dois. | '''3ª relação''': Em todo triângulo, qualquer lado tem medida menor que a soma das medidas dos outros dois. | ||
== Área == | == Área do triângulo == | ||
Existem várias formas de se expressar a área ''A'' de um triângulo: | Existem várias formas de se expressar a área ''A'' de um triângulo: | ||
* Dadas a base ''b'' e a altura ''h'': <math>A = \frac {b \cdot h}{2}</math> | * Dadas a base ''b'' e a altura ''h'': <math>A = \frac {b \cdot h}{2}</math> | ||
* Dados dois lados ''a'' e ''b'' e o ângulo '' | * Dados dois lados ''a'' e ''b'' e o ângulo ''γ'' entre eles compreendido: <math>A = \frac{1}{2} ab \sin{\gamma}</math> | ||
* Dados os três lados ''a'', ''b'' e ''c'': <math>A = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}</math>, onde ''p'' é o semiperímetro (metade do perímetro). Essa fórmula é conhecida como '''fórmula de Heron'''. | * Dados os três lados ''a'', ''b'' e ''c'': <math>A = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}</math>, onde ''p'' é o semiperímetro (metade do perímetro). Essa fórmula é conhecida como '''fórmula de Heron'''. | ||
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== Congruência == | == Congruência == | ||
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Lado-Lado-Lado. | |||
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Ângulo-Lado-Ângulo. | |||
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Lado-Lado-Ângulo reto. | |||
== Semelhança == | == Semelhança == | ||
===Critério LLL=== | ===Critério LLL=== | ||
Segundo o '''critério LLL''' (lado-lado-lado), existe semelhança entre dois triângulos se os três lados de um são proporcionais aos três lados do outro. | Segundo o '''critério LLL''' (lado-lado-lado), existe semelhança entre dois triângulos se os três lados de um são proporcionais aos três lados correspondentes do outro. | ||
===Critério LAL=== | ===Critério LAL=== | ||
Segundo o | |||
Segundo o critério LAL (lado-ângulo-lado), existe semelhança entre dois triângulos se têm entre si dois pares de lados correspondentes proporcionais e se os ângulos por eles formados forem iguais. | |||
===Critério AA=== | ===Critério AA=== | ||
Segundo o '''critério AA''' (ângulo-ângulo), existe semelhança entre dois triângulos se têm dois ângulos iguais. | Segundo o '''critério AA''' (ângulo-ângulo), existe semelhança entre dois triângulos se eles têm dois ângulos iguais. | ||
==Referências== | ==Referências== | ||
{{ | * [http://www.degraf.ufpr.br/material/elementos.pdf Elementos de Geometria] | ||
== Ver também == | |||
{{wikipedia|Triângulo}} | |||
*[[w:Triângulo|Triângulo]] | |||
*[[w:Triângulo retângulo|Triângulosh shsuw retângulo]] | |||
{{ | {{Esboço/Geometria}} | ||
{{AutoCat}} | |||
Edição atual tal como às 14h23min de 6 de julho de 2017
Tipos de triângulos
Classificação segundo a medida relativa dos lados
Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados:
- Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes. Pode-se verificar que um triângulo eqüilátero é também eqüiângulo, ou seja, possui todos os seus ângulos internos congruentes (e com medida 60°). Por este motivo, este tipo de triângulo é também um polígono regular.
- Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados congruentes. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e, como se pode verificar, são congruentes. Note que os triângulos equiláteros também são isósceles.
- Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. É possível mostrar que os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.
Denomina-se base o lado sobre qual apóia-se o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente.
A seguir é mostrada a classificação de alguns triângulos de acordo com o critério anterior:
Exemplo de triângulo equilátero
Este triângulo é equilátero, pois possui os três lados congruentes. Em particular, como seus lados são dois a dois congruentes, ele é um triângulo isósceles. Pode-se observar que seus todos os seus ângulos internos medem 60°, e por isso ele é equiângulo.
Exemplo de triângulo isósceles
Neste triângulo há somente dois lados congruentes: os que têm medida . Por este motivo, o triângulo é isósceles, mas não é equilátero. Além disso, cada um destes dois lados forma um ângulo de medida com a base do triângulo.
Exemplo de triângulo escaleno
Aqui, cada um dos lados tem um comprimento diferente dos demais. Assim, este é um triângulo escaleno. Observe ainda que nenhum par de ângulos internos tem a mesma medida.
Classificação de acordo com seus ângulos internos e externos em baixo
Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:
- Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares.
- Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
- Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos.
Exemplo de triângulo retângulo
- Um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90º.
Exemplo de triângulo obtusângulo
- Um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
Exemplo de triângulo acutângulo
- Todos os três ângulos são agudos. Ou seja, menor que 90º
Soma dos ângulos internos
Na geometria euclidiana, de acordo com o teorema angular de Tales, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos.
Soma dos ângulos externos
Existe também um corolário, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes.
Exemplo: Se os ângulos internos de um triângulo forem: a resposta final será assim: Resolução: , . Porque o ângulo externo é a igual à soma dos ângulos internos duas vezes.
Relações de desigualdades entre lados e ângulos
1ª relação: Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não-adjacentes.
2ª relação: Se dois lados de um triângulo tem medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo.
3ª relação: Em todo triângulo, qualquer lado tem medida menor que a soma das medidas dos outros dois.
Área do triângulo
Existem várias formas de se expressar a área A de um triângulo:
- Dadas a base b e a altura h:
- Dados dois lados a e b e o ângulo γ entre eles compreendido:
- Dados os três lados a, b e c: , onde p é o semiperímetro (metade do perímetro). Essa fórmula é conhecida como fórmula de Heron.
Se o triângulo for equilátero de lado L, sua área pode ser obtida pela fórmula:
Congruência
Critério LLL
Lado-Lado-Lado.
Critério LAL
Lado-Ângulo-Lado.
Critério ALA
Ângulo-Lado-Ângulo.
Critério LLAr
Lado-Lado-Ângulo reto.
Semelhança
Critério LLL
Segundo o critério LLL (lado-lado-lado), existe semelhança entre dois triângulos se os três lados de um são proporcionais aos três lados correspondentes do outro.
Critério LAL
Segundo o critério LAL (lado-ângulo-lado), existe semelhança entre dois triângulos se têm entre si dois pares de lados correspondentes proporcionais e se os ângulos por eles formados forem iguais.
Critério AA
Segundo o critério AA (ângulo-ângulo), existe semelhança entre dois triângulos se eles têm dois ângulos iguais.
Referências
Ver também
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