Cálculo (Volume 1)/Conceitos básicos (funções): mudanças entre as edições
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Para uma melhor compreensão do conteúdo subseqüente, sugerimos observar o tópico: [[Matemática | Para uma melhor compreensão do conteúdo subseqüente, sugerimos observar o tópico: [[Matemática elementar/Funções|Funções]], no livro: [[Matemática elementar]], pois o estudo completo de funções foge do escopo deste livro. Neste capítulo iremos destacar princípios e notações que nos serão úteis ao longo deste livro. | ||
====Função, domínio e imagem==== | ====Função, domínio e imagem==== | ||
Seja um conjunto de pontos '''A''', cujos membros são os números em <math> | Seja um conjunto de pontos '''A''', cujos membros são os números em <math>\R \Rightarrow \{-\infty,\dots,x_1, x_2, x_3,\dots,+\infty\} \,\!</math>, então tomamos | ||
<math>x</math> e denominamo-la '''variável independente''', visto que, arbitrariamente, lhe podemos atribuir qualquer valor em <math> | <math>x \,\!</math> e denominamo-la '''variável independente''', visto que, arbitrariamente, lhe podemos atribuir qualquer valor em <math>\R \,\!</math> e portanto | ||
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Da mesma forma, admitamos um conjunto de pontos '''B''', cujos membros são números que são obtidos única e exclusivamente por um conjunto de | Da mesma forma, admitamos um conjunto de pontos '''B''', cujos membros são números que são obtidos única e exclusivamente por um conjunto de | ||
regras matemáticas '''<math> f </math>''', quando números arbitrários em '''A''' lhe são transferidos; visto que há um único valor assumido para cada valor arbitrário transferido a '''<math> f </math>''', dizemos que: | regras matemáticas '''<math> f \,\!</math>''', quando números arbitrários em '''A''' lhe são transferidos; visto que há um único valor assumido para cada valor arbitrário transferido a '''<math> f \,\!</math>''', dizemos que: | ||
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'''B''' é '''função''' de '''A'''. | '''B''' é '''função''' de '''A'''. | ||
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Sendo '''B''' obtido através das regras de <math>f</math> : | Sendo '''B''' obtido através das regras de <math>f \,\!</math> : | ||
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'''A''' é '''domínio''' da função <math>f</math>. | '''A''' é '''domínio''' da função <math>f \,\!</math>. | ||
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Da mesma forma, como '''B''' é restrito aos valores definidos por '''A''' e às regras definidas por <math>f</math>, os seus elementos espelham estas condições, | Da mesma forma, como '''B''' é restrito aos valores definidos por '''A''' e às regras definidas por <math>f \,\!</math>, os seus elementos espelham estas condições, | ||
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'''B''' é '''imagem''' da função <math>f</math>. | '''B''' é '''imagem''' da função <math>f \,\!</math>. | ||
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Note que assim que atribuirmos valores a <math>x</math> , a mesma assumirá valores | Note que assim que atribuirmos valores a <math>x</math> , a mesma assumirá valores | ||
inválidos, valores de | inválidos, valores de raízes quadradas de números negativos, para sanar este problema, poderemos atribuir uma faixa de valores válidos para o domínio de <math>x</math> , então teremos: | ||
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Assim, teremos um domínio restrito a valores iguais ou menores que 12, portanto, incluindo-o, este extremo ao qual pertence o valor 12 chamamos de '''extremo fechado'''. | Assim, teremos um domínio restrito a valores iguais ou menores que 12, portanto, incluindo-o, este extremo ao qual pertence o valor 12 chamamos de '''extremo fechado'''. | ||
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Poderemos atribuir apenas valores maiores que 0, uma vez que este valor não pertence ao conjunto de números que podem ser | Poderemos atribuir apenas valores maiores que 0, uma vez que este valor não pertence ao conjunto de números que podem ser atribuídos à variável, chamamos este de '''extremo aberto'''. | ||
====Notações==== | ====Notações==== | ||
O conjunto de números '''B''' <math>\{-\infty,\dots,y_1, y_2, y_3,\dots,\infty\} </math> dos quais <math> y_n </math> dependem do conjunto | |||
'''A''' <math>\{-\infty,\dots,x_1, x_2, x_3,\dots,\infty\} </math> de onde temos <math> x_n </math>, estabelecemos o par de números <math> \{x_n | O conjunto de números '''B''' <math>\{-\infty,\dots,y_1, y_2, y_3,\dots,+\infty\} \,\!</math> dos quais <math> y_n \,\!</math> dependem do conjunto | ||
'''A''' <math>\{-\infty,\dots,x_1, x_2, x_3,\dots,\infty\} \,\!</math> de onde temos <math> x_n \,\!</math>, estabelecemos o par de números <math> \{x_n , y_n\} \,\!</math>, | |||
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Este é chamado de '''par ordenado'''. | Este é chamado de '''par ordenado'''. | ||
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Sendo <math> f(x) </math> o valor de <math> y</math> quando definido pelas operações em <math>f</math>. | Sendo <math> f(x) \,\!</math> o valor de <math> y \,\!</math> quando definido pelas operações em <math>f \,\!</math>. | ||
Faixas de valores que delimitam os domínios podem ser representados com desigualdades, como nos exemplos abaixo: | Faixas de valores que delimitam os domínios podem ser representados com desigualdades, como nos exemplos abaixo: | ||
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<math> -2 | <math> -2 < x < 4 ; -12 \le x < 8 \,\!</math> | ||
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Porém, os extremos podem ser colocados em um par entre delimitadores de forma que, para os extremos fechados usamos os delimitadores [ ou ], para os extremos | Porém, os extremos podem ser colocados em um par entre delimitadores de forma que, para os extremos fechados usamos os delimitadores [ ou ], para os extremos | ||
abertos usamos ( ou ), habilitando-nos a identificar os | abertos usamos ( ou ), habilitando-nos a identificar os extremos mais claramente, desta forma podemos identificar os domínios do exemplo acima desta forma: | ||
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<math> ( -2, 4 ) ; [ -12, 8 ) \,\!</math> | |||
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Também é comum usar colchetes invertidos para extremos abertos: | |||
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Consideremos duas funções ''f'' e ''g''; admitindo que as duas são, intuitivamente, expressões que se traduzem em valores, podemos dizer que: | Consideremos duas funções ''f'' e ''g''; admitindo que as duas são, intuitivamente, expressões que se traduzem em valores, podemos dizer que: | ||
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<math> ( | <math> (f + g)(x) = f(x) + g(x) \,\!</math> | ||
<math> ( | <math> (f - g)(x) = f(x) - g(x) \,\!</math> | ||
<math> ( | <math> (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) \,\!</math> | ||
<math> ( | <math> (f : g)(x) = f(x) : g(x) \,\!</math> | ||
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Sendo '' | Sendo ''D(f)'' o domínio da função ''f'' e ''D(g)'' o domínio da função ''g'', o domínio da função resultante das operações acima é sempre: | ||
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<math> D(f) \cap D(g) \,\!</math> | |||
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Edição atual tal como às 18h28min de 22 de junho de 2016
Conceitos básicos
Definições iniciais:
Para uma melhor compreensão do conteúdo subseqüente, sugerimos observar o tópico: Funções, no livro: Matemática elementar, pois o estudo completo de funções foge do escopo deste livro. Neste capítulo iremos destacar princípios e notações que nos serão úteis ao longo deste livro.
Função, domínio e imagem
Seja um conjunto de pontos A, cujos membros são os números em , então tomamos e denominamo-la variável independente, visto que, arbitrariamente, lhe podemos atribuir qualquer valor em e portanto dizemos que:
A é o domínio da variável .
Da mesma forma, admitamos um conjunto de pontos B, cujos membros são números que são obtidos única e exclusivamente por um conjunto de regras matemáticas , quando números arbitrários em A lhe são transferidos; visto que há um único valor assumido para cada valor arbitrário transferido a , dizemos que:
B é função de A.
Sendo B obtido através das regras de :
A é domínio da função .
Da mesma forma, como B é restrito aos valores definidos por A e às regras definidas por , os seus elementos espelham estas condições, portanto, podemos dizer que:
B é imagem da função .
Extensões de domínios
Observemos a expressão: Note que assim que atribuirmos valores a , a mesma assumirá valores inválidos, valores de raízes quadradas de números negativos, para sanar este problema, poderemos atribuir uma faixa de valores válidos para o domínio de , então teremos:
Assim, teremos um domínio restrito a valores iguais ou menores que 12, portanto, incluindo-o, este extremo ao qual pertence o valor 12 chamamos de extremo fechado.
Temos uma situação semelhante, porém com uma sutil diferença, quando temos que fazer: , neste caso, temos que restringir o valor 0 e todos os números abaixo dele, desta forma:
Poderemos atribuir apenas valores maiores que 0, uma vez que este valor não pertence ao conjunto de números que podem ser atribuídos à variável, chamamos este de extremo aberto.
Notações
O conjunto de números B dos quais dependem do conjunto A de onde temos , estabelecemos o par de números , ou simplesmente:
Este é chamado de par ordenado.
Sendo também a representação dos valores de , então podemos dizer que:
Sendo o valor de quando definido pelas operações em .
Faixas de valores que delimitam os domínios podem ser representados com desigualdades, como nos exemplos abaixo:
Porém, os extremos podem ser colocados em um par entre delimitadores de forma que, para os extremos fechados usamos os delimitadores [ ou ], para os extremos abertos usamos ( ou ), habilitando-nos a identificar os extremos mais claramente, desta forma podemos identificar os domínios do exemplo acima desta forma:
Também é comum usar colchetes invertidos para extremos abertos:
Operações com funções
Consideremos duas funções f e g; admitindo que as duas são, intuitivamente, expressões que se traduzem em valores, podemos dizer que:
Sendo D(f) o domínio da função f e D(g) o domínio da função g, o domínio da função resultante das operações acima é sempre: