Cálculo (Volume 1)/Limites e Continuidade: mudanças entre as edições
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O básico conceito de continuidade representa a expressão da isenção de quebras na regularidade da forma da função, quando apresentamo-la sob a forma gráfica. O que temos que ter em mente é que a função contínua em um intervalo do seu domínio é suavemente descritível, cada valor é precedido de outro menor ou maior, mas com uma discreta variação. | |||
'''Definição''' | |||
Para exprimir esse fato matematicamente, definimos a função contínua <math>f(x)</math> no ponto <math> [a,f(a)]<math>, onde: | |||
<math>\lim_{x \to a}f(x) \ \exists </math> | |||
<math>f(a) \ \exists </math> | |||
<math>\lim_{x \to a}f(x)\ =\ f(a) </math> |
Edição das 16h01min de 19 de julho de 2005
Limites e Continuidade
Limites
Breve explanação
Vejamos o gráfico a seguir:
Figura 1
O gráfico representa a função:
Esta função apresenta um valor indefinido quando , o que nos leva a , porém se fizermos temos ; se agora fizermos teremos ; depois fazendo teremos ; portanto quando nós aproximamos x de 6 aproximamos y de 1. Intuitivamente faremos o mesmo usando valores maiores que 6, então se tivermos teremos ; e para teremos ; finalmente, se teremos e vemos que o mesmo acontece, o que isto quer dizer? O que acontece é que quando aproximamos x de 6, y se aproxima de 1, o que indica uma tendência de se igualar a 1, ou seja quando x se aproxima de 6 de forma a alcançar o limite entre ele e o número mais próximo a ele, inevitavelmente também faz com que y alcance o número mais próximo de 1 possível, então dizemos que: se então, o limite de quando x tende a 6 é igual a 1.
Isto é comumente representado, pela seguinte notação:
Definição
Seja a função f(x), onde , se é um número em seu domínio, existe um número , tal que:
e sendo , se existe um número , tal que:
e quando diminuimos até que não seja mais possível distingüir de ,embora eles sejam infinitesimalmente diferentes, tenhamos um correspondente, então L é o limite de quando tende a . Adotamos a seguinte notação:
E de forma geral definimos que:
Se então quando
Propriedades
Teoremas:
T1 - (Unicidade)
Se e então:
Demonstração:
Proponhamos que:
Logo teremos que admitir:
havendo uma diferença:
Da desigualdade triangular:
Se tivermos um que seja englobado nas condições:
Teremos observado que:
Como podemos arbitrar , teríamos:
fazendo
Que é contraditório, portanto:
T2 - (Soma e diferença)
Demonstração:
Tomando: e , devemos , pela definição, provar que:
Posto que:
,
,
Podemos arbitrar:
e pela desigualdade triangular:
como: , logo:
Temos como afirmar que a diferença também pode ser calculada da mesma maneira, pois as funções não estão restritas a valores positivos na demonstração acima.
T3 - (Produto)
Demonstração: Queremos verificar se:
Admitamos que:
do que podemos concluir que:
também tomemos:
sendo
Pelo exposto temos que:
esta expressão se traduz em:
portanto:
o que confirma a validade do teorema.
T4 - (Razão)
Demonstração:
T5 - (Potência)
Demonstração:
De fato, temos:
O que, pelo teorema do produto, nos leva a:
E portanto, estabelece o que pretendíamos demonstrar.
T6 - (Radiciação)
Demonstração:
Conseqüentes para funções algébricas:
Estas regras são conseqüências diretas dos teoremas relacionados acima:
sendo
sendo
Limites laterais
Consideremos a função: , podemos notar que todos os valores de x menores que 2 induzem um valor indefinido na função, esta indefinição também se refletirá nos limites dos valores da função neste intervalo de indefinição, portanto não faz sentido falar de limites absolutos quando os valores da função estão indefinidos para certa faixa do domínio. O que poderíamos fazer para analisar os valores válidos da função? Podemos limitar o seu domínio e consequentemente, deveríamos limitar os limites; quando temos um meio de definir o intervalo de exclusão dos números, podemos também, excluir certa faixa dos limites; se quisermos adotar apenas números positivos na análise podemos fazê-lo desta forma: , da mesma forma poderemos adotar apenas números negativos, com a seguinte restrição: , no primeiro caso dizemos que o limite da função é o valor da função para qual a mesma tende quando x se aproxima de a pela direita, no segundo caso dizemos que o limite da função é o valor da função para qual a mesma tende quando x se aproxima de a pela esquerda.
Limite lateral pela direita
Dizemos que , quando:
Limite lateral pela esquerda
Dizemos que , quando:
Infinitos
Já lhe perguntaram o que é o infinito? Certamente alguém lhe deu uma resposta poética a respeito e de fato no sentido poético, o infinito é algo fascinante... Agora imagine um número absolutamente tão alto quanto é possível você conceber... Conseguiu? Pois bem este não é infinito, pois aqui, falaremos desse número como sendo algo tão inatingível que nenhuma mente humana poderia imaginar. Infinito é uma tendência, uma forma de representar algo que é tão alto que jamais poderíamos atingir, é como se fosse um caminho sem fim, como o destino de um corpo sem obstáculos e atrito no espaço sem fim.
Desta forma é um número que só podemos representar como um limite... Então façamos um estudo de como representá-lo. Antes de mais nada pensemos qual a melhor maneira de aumentar sucessivamente o valor de uma função, isto é possível fazendo divisões por números menores que 1, ou seja se fizermos:
então poderemos dizer que
Isto é o que chamamos de infinito matemático e a partir desta, a operação inversa é imediatamente dedutível:
Este é um conceito importantíssimo na análise do cálculo e em diversos campos das ciências exatas, iremos nos aprofundar a partir deste conceito para formar ferramentas que serão úteis em diversos estudos.
Tendências infinitas
Considere a função , o seu valor jamais ultrapassará quando tomamos valores de x maiores que 1, fazendo sucessivas aproximações vemos que:
De fato temos uma tendência do valor da função se igualar a 1 quando levamos x para números muito altos, embora nunca alcance o valor 1, chamamos isso de limite no infinito, ou tendência infinita.
Podemos simbolizá-lo destas formas:
ou
O mesmo pode acontecer quando aproximamos o valor de uma variável independente ao infinito negativo, pelo lado esquerdo da função, então podemos representá-la destas formas:
ou
Definição
Seja L o número para qual uma função f(x) tende a se igualar quando a variável independente x ultrapassa o número N, chamamos o número L de limite lateral positivo no infinito se o definimos como:
tal qual chamamos o número L de limite lateral negativo no infinito se o definimos como:
Os números são escolhidos de forma a fornecerem o maior valor possível dentro do domínio da função.
Limites infinitos
Se nos depararmos com uma função onde o denominador decresce vertiginosamente até zero, o que podemos fazer?
Esta é a típica forma de funções que crescem até o infinito, neste caso adotamos o valor da definição de infinito, visto que não é possível colocar qualquer valor. Adotamos ou , pois , como já definimos anteriormente.
Continuidade
O básico conceito de continuidade representa a expressão da isenção de quebras na regularidade da forma da função, quando apresentamo-la sob a forma gráfica. O que temos que ter em mente é que a função contínua em um intervalo do seu domínio é suavemente descritível, cada valor é precedido de outro menor ou maior, mas com uma discreta variação.
Definição Para exprimir esse fato matematicamente, definimos a função contínua no ponto