Cálculo (Volume 1)/Integrais: mudanças entre as edições
imported>Marcos Antônio Nunes de Moura |
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===Antiderivadas e antidiferenciais=== | ===Antiderivadas e antidiferenciais=== | ||
Como procedemos para reverter a derivação? O princípio é verificado através da análise da inversão, da seguinte forma: | Como procedemos para reverter a derivação? O princípio é verificado através da análise da inversão, da seguinte forma: | ||
Considere a função <math> F(x) </math> cuja derivada <math>F\ '(x) = f(x) | Considere a função <math> F(x)=f(x)+C </math> cuja derivada <math>F\ '(x) = f\ '(x)</math>, então dizemos que <math>F(x)</math> é a antiderivada de <math>f\ '(x)</math>, a nossa primeira constatação é que a função primitiva inclui uma constante, que durante o processo de derivação é descartada, já que sua derivada é nula, se fizermos o processo inverso para obter a função original teríamos <math>f\ '(x)</math> para operar e consegui-lo, isso nos leva a uma indefinição da função obtida através da antiderivada, a menos que conheçamos o valor da constante. Se quisermos obter a função original teríamos que operar <math> f\ '(x)</math> e zero, o primeiro requesito é, a princípio, plausível de ser conseguido, porém operar zero para obtenção de qualquer constante parece algo não concebível. | ||
Ao operar a inversa da derivada, podemos fazer a análise com as diferenciais, ou seja, cosidere a função <math>y=f(x)+C</math>, então temos: <math>\frac {\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=f\ '(x)</math>, o que nos leva a algo muito interessante: | |||
<math> \mbox{d}y = f\ '(x) \cdot \mbox{d}x </math> | |||
O que nos lembra: | |||
<math>\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} f\ '(x) \cdot \Delta x </math> | |||
Temos ainda que <math>y=f(x)+C</math>, fazendo-nos deduzir que precisamos operar: | |||
<math> \lim_{\Delta x \to 0} f\ '(x) \cdot \Delta x </math> | |||
Para encontrar ''y''. | |||
Esta operação é chamada de antidiferencial e é simbolizada por: | |||
<math> \int</math> | |||
De forma mais completa a antidiferencial da função <math>f\ '(x)</math> é: | |||
<math> \int f\ '(x) \cdot \mbox{d}x </math> | |||
===Definições=== | ===Definições=== |
Edição das 02h11min de 6 de setembro de 2005
Integrais
Uma vez que podemos analisar a variação de determinados valores em uma função, como poderíamos reverter a análise, ou seja, se é possível criar uma função a partir de outra utilizando a diferenciação, o que teríamos se fizéssemos a operação inversa? Esta é uma questão que nos leva a mais um método do cálculo, a integração é uma forma de reverter a derivação, com ela temos um artifício para recuperar a função original a partir da sua derivada. Outra característica interessante da integral é que o valor numérico de uma integral definida exatamente em um intervalo é correspondente ao valor da área do desenho delimitado pela curva da função e o eixo x (abscissas). Vamos analisar em seguida como funciona o mecanismo básico de integração e nos capítulos seguintes nos aprofundaremos no tema, que é bastante vasto.
Antiderivadas e antidiferenciais
Como procedemos para reverter a derivação? O princípio é verificado através da análise da inversão, da seguinte forma:
Considere a função cuja derivada , então dizemos que é a antiderivada de , a nossa primeira constatação é que a função primitiva inclui uma constante, que durante o processo de derivação é descartada, já que sua derivada é nula, se fizermos o processo inverso para obter a função original teríamos para operar e consegui-lo, isso nos leva a uma indefinição da função obtida através da antiderivada, a menos que conheçamos o valor da constante. Se quisermos obter a função original teríamos que operar e zero, o primeiro requesito é, a princípio, plausível de ser conseguido, porém operar zero para obtenção de qualquer constante parece algo não concebível.
Ao operar a inversa da derivada, podemos fazer a análise com as diferenciais, ou seja, cosidere a função , então temos: , o que nos leva a algo muito interessante:
O que nos lembra:
Temos ainda que , fazendo-nos deduzir que precisamos operar:
Para encontrar y.
Esta operação é chamada de antidiferencial e é simbolizada por:
De forma mais completa a antidiferencial da função é: