Cálculo (Volume 1)/Integrais: mudanças entre as edições
imported>Marcos Antônio Nunes de Moura |
imported>Marcos Antônio Nunes de Moura |
||
Linha 17: | Linha 17: | ||
Considere a função <math> F(x)=f(x)+C </math> cuja derivada <math>F\ '(x) = f\ '(x)</math>, então dizemos que <math>F(x)</math> é a antiderivada de <math>f\ '(x)</math>, a nossa primeira constatação é que a função primitiva inclui uma constante, que durante o processo de derivação é descartada, já que sua derivada é nula, se fizermos o processo inverso para obter a função original teríamos <math>f\ '(x)</math> para operar e consegui-lo, isso nos leva a uma indefinição da função obtida através da antiderivada, a menos que conheçamos o valor da constante. Se quisermos obter a função original teríamos que operar <math> f\ '(x)</math> e zero, o primeiro requesito é, a princípio, plausível de ser conseguido, porém operar zero para obtenção de qualquer constante parece algo não concebível. | Considere a função <math> F(x)=f(x)+C </math> cuja derivada <math>F\ '(x) = f\ '(x)</math>, então dizemos que <math>F(x)</math> é a antiderivada de <math>f\ '(x)</math>, a nossa primeira constatação é que a função primitiva inclui uma constante, que durante o processo de derivação é descartada, já que sua derivada é nula, se fizermos o processo inverso para obter a função original teríamos <math>f\ '(x)</math> para operar e consegui-lo, isso nos leva a uma indefinição da função obtida através da antiderivada, a menos que conheçamos o valor da constante. Se quisermos obter a função original teríamos que operar <math> f\ '(x)</math> e zero, o primeiro requesito é, a princípio, plausível de ser conseguido, porém operar zero para obtenção de qualquer constante parece algo não concebível. | ||
Podemos então dizer: | |||
A antiderivação é a operação pela qual operamos a derivada de uma função para encontrar a sua exata função primitiva. | |||
O que nos | O que nos leva a conclusão que a antiderivação exige que tenhamos meios para encontrar a constante que pertencia a função quando ela foi derivada, ou que deduções, a partir de suas características e dos fenômenos utilizados para sua formulação, possam fornecer a constante. | ||
<math> | No caso da antidiferencial, analisamos apenas os processos para dedução de um esboço da função, o que chamamos de fórmula geral, no formato: <math>f(x)+C</math>. | ||
Como podemos encontrar diversas constantes, temos diversas funções, o que nos dá a possibilidade de operar, por exemplo as funções: <math>f\ '(x)\quad ;\quad g\ '(x)</math> derivadas de <math>f(x)+C\quad ; \quad g(x)+D</math>, mesmo que <math>f\ '(x)=g\ '(x)</math>, ao operarmos as funções derivadas utilizando a antidiferenciação teremos <math>f(x)\quad ;\quad g(x)</math>, que não nos garante meios de encontrar as primitivas, visto que não conhecemos meios para deduzir as constantes. | |||
<math> | |||
<math> \ | |||
<math> | |||
===Definições=== | ===Definições=== |
Edição das 15h58min de 6 de setembro de 2005
Integrais
Uma vez que podemos analisar a variação de determinados valores em uma função, como poderíamos reverter a análise, ou seja, se é possível criar uma função a partir de outra utilizando a diferenciação, o que teríamos se fizéssemos a operação inversa? Esta é uma questão que nos leva a mais um método do cálculo, a integração é uma forma de reverter a derivação, com ela temos um artifício para recuperar a função original a partir da sua derivada. Outra característica interessante da integral é que o valor numérico de uma integral definida exatamente em um intervalo é correspondente ao valor da área do desenho delimitado pela curva da função e o eixo x (abscissas). Vamos analisar em seguida como funciona o mecanismo básico de integração e nos capítulos seguintes nos aprofundaremos no tema, que é bastante vasto.
Uma breve introdução dos conceitos que detalharemos neste capítulo pode ser encontrada em:
Antiderivadas e antidiferenciais
Como procedemos para reverter a derivação? O princípio é verificado através da análise da inversão, da seguinte forma:
Considere a função cuja derivada , então dizemos que é a antiderivada de , a nossa primeira constatação é que a função primitiva inclui uma constante, que durante o processo de derivação é descartada, já que sua derivada é nula, se fizermos o processo inverso para obter a função original teríamos para operar e consegui-lo, isso nos leva a uma indefinição da função obtida através da antiderivada, a menos que conheçamos o valor da constante. Se quisermos obter a função original teríamos que operar e zero, o primeiro requesito é, a princípio, plausível de ser conseguido, porém operar zero para obtenção de qualquer constante parece algo não concebível.
Podemos então dizer:
A antiderivação é a operação pela qual operamos a derivada de uma função para encontrar a sua exata função primitiva.
O que nos leva a conclusão que a antiderivação exige que tenhamos meios para encontrar a constante que pertencia a função quando ela foi derivada, ou que deduções, a partir de suas características e dos fenômenos utilizados para sua formulação, possam fornecer a constante.
No caso da antidiferencial, analisamos apenas os processos para dedução de um esboço da função, o que chamamos de fórmula geral, no formato: .
Como podemos encontrar diversas constantes, temos diversas funções, o que nos dá a possibilidade de operar, por exemplo as funções: derivadas de , mesmo que , ao operarmos as funções derivadas utilizando a antidiferenciação teremos , que não nos garante meios de encontrar as primitivas, visto que não conhecemos meios para deduzir as constantes.