Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (1): mudanças entre as edições
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<div style="background-color:#DFDFDF;width:100%;text-align:center;">'''''Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I'''''</div> | <div style="background-color:#DFDFDF;width:100%;text-align:center;">'''''Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I'''''</div> | ||
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==Logarítmicas== | ==Logarítmicas== | ||
A integral da função algébrica <math>f(x)=x^n | A integral da função algébrica <math>f(x)=x^n </math> traz uma indefinição quando <math> n= -1 </math>: | ||
<math> \int x^n d x = \frac {x^{n+1}}{n+1} ; n \ne -1 | <math> \int x^n d x = \frac {x^{n+1}}{n+1} ; n \ne -1 </math> | ||
A existência desta indefinição nos leva a uma questão: Qual o procedimento para integrar a função: <math>f(x)=\frac{1}{x} | A existência desta indefinição nos leva a uma questão: Qual o procedimento para integrar a função: <math>f(x)=\frac{1}{x} </math>? A resposta é dada na análise numérica, calculando a integral pelos métodos de análise algébrica podemos chegar a seguinte conclusão: | ||
<math>\int^x_1 \frac{1}{t} d t = \ln |x| | <math>\int^x_1 \frac{1}{t} d t = \ln |x| </math> | ||
A função ln é chamada de logaritmo natural, a sua base é chamada de [[../Análise de funções elementares (1)#O número de Euler|número de Euler]], ele é um logarítmo conseqüente do cálculo da área sob a curva da função <math>f(x)=\frac {1}{x} | A função ln é chamada de logaritmo natural, a sua base é chamada de [[../Análise de funções elementares (1)#O número de Euler|número de Euler]], ele é um logarítmo conseqüente do cálculo da área sob a curva da função <math>f(x)=\frac {1}{x} </math>, que pode ser obtido numericamente usando a integral de Riemann e outras técnicas de cálculo numérico. Aproximações deste número são possíveis utilizando-se técnicas de aproximações sucessivas com o uso de séries, discutidas em [[Cálculo (Volume 3)]]. | ||
Todos os teoremas para logaritmos, que estão incluidos nos cursos de nível médio, podem ser obtidos a partir da análise do logaritmo natural, também chamado de logaritmo Neperiano. | Todos os teoremas para logaritmos, que estão incluidos nos cursos de nível médio, podem ser obtidos a partir da análise do logaritmo natural, também chamado de logaritmo Neperiano. | ||
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Vejamos os principais teoremas para os logaritmos: | Vejamos os principais teoremas para os logaritmos: | ||
Nas citações abaixo, consideremos <math>f(x)= \ln x | Nas citações abaixo, consideremos <math>f(x)= \ln x </math>, | ||
====T36 - Produto==== | ====T36 - Produto==== | ||
<math>\ln a \cdot b = \ln a\ +\ \ln b | <math>\ln a \cdot b = \ln a\ +\ \ln b </math> | ||
'''Comprovação:''' | '''Comprovação:''' | ||
| Linha 34: | Linha 33: | ||
Da definição: | Da definição: | ||
<math>\int^{ab}_1 \frac{1}{u} d u | <math>\int^{ab}_1 \frac{1}{u} d u </math> | ||
<math>\int^a_1 \frac{1}{u} d u + \int^{ab}_a \frac{1}{u} d u | <math>\int^a_1 \frac{1}{u} d u + \int^{ab}_a \frac{1}{u} d u </math> | ||
fazendo <math>u=at , d u =a d t</math> e quando <math>u=a , t=1</math>: | fazendo <math>u=at , d u =a d t</math> e quando <math>u=a , t=1</math>: | ||
<math>\int^a_1 \frac{1}{u} d u + \int^b_1 \frac{1}{at} a d t | <math>\int^a_1 \frac{1}{u} d u + \int^b_1 \frac{1}{at} a d t </math> | ||
<math>\int^a_1 \frac{1}{u} d u + \int^b_1 \frac{1}{t} d t | <math>\int^a_1 \frac{1}{u} d u + \int^b_1 \frac{1}{t} d t </math> | ||
O que comprova o teorema. | O que comprova o teorema. | ||
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==== T37 - Razão==== | ==== T37 - Razão==== | ||
<math>\ln \frac{a}{b} = \ln a\ -\ \ln b | <math>\ln \frac{a}{b} = \ln a\ -\ \ln b </math> | ||
'''Comprovação:''' | '''Comprovação:''' | ||
Sendo <math>a = \frac{a}{b} \cdot b | Sendo <math>a = \frac{a}{b} \cdot b </math>: | ||
<math>\ln a = \ln \frac{a}{b} \cdot b | <math>\ln a = \ln \frac{a}{b} \cdot b </math> | ||
<math>\ln a = \ln \frac{a}{b} + \ln b | <math>\ln a = \ln \frac{a}{b} + \ln b </math> | ||
logo: | logo: | ||
<math> \ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b | <math> \ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b </math> | ||
==== T38 - Potência ==== | ==== T38 - Potência ==== | ||
<math>\ln a^b = b \cdot \ln a | <math>\ln a^b = b \cdot \ln a </math> | ||
'''Comprovação:''' | '''Comprovação:''' | ||
| Linha 71: | Linha 69: | ||
Sendo: | Sendo: | ||
<math> \ln a^b = \ln (a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \dots) | <math> \ln a^b = \ln (a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \dots) </math> -> b vezes, que é: | ||
<math> \ln a^b = \ln a +\ln a +\ln a +\ln a +\ln a +\ln a +\ln a +\ln a \dots) | <math> \ln a^b = \ln a +\ln a +\ln a +\ln a +\ln a +\ln a +\ln a +\ln a \dots) </math> -> b vezes, resultando: | ||
<math> \ln a^b = b \cdot \ln a | <math> \ln a^b = b \cdot \ln a </math> | ||
===Derivadas=== | ===Derivadas=== | ||
Da definição do logarítmo natural e a partir do [[../Integrais#Teorema fundamental do cálculo|teorema fundamental do cálculo]], podemos deduzir a derivada da função logarítmica natural, ou seja, se <math>f(x)=\ln x | Da definição do logarítmo natural e a partir do [[../Integrais#Teorema fundamental do cálculo|teorema fundamental do cálculo]], podemos deduzir a derivada da função logarítmica natural, ou seja, se <math>f(x)=\ln x </math> que é a integral definida de <math> \frac {1}{x} </math>, então a derivada é: | ||
<math>\frac{ d f(x)}{d x} = \frac {1}{x} | <math>\frac{ d f(x)}{d x} = \frac {1}{x} </math> | ||
===Integrais=== | ===Integrais=== | ||
Para integração de funções logarítmicas, veja o capítulo de [[../Técnicas de integração|técnicas de integração]], para uma completa abordagem do tema. | Para integração de funções logarítmicas, veja o capítulo de [[../Técnicas de integração|técnicas de integração]], para uma completa abordagem do tema. | ||
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| Linha 92: | Linha 89: | ||
==Exponenciais== | ==Exponenciais== | ||
A função <math>f(x)=a^x | A função <math>f(x)=a^x </math> é chamada de função exponencial na base ''a'', todas as funções exponenciais são introduzidas a partir da definição do logaritmo natural ''ln x'' como sua função inversa. As funções exponenciais são estas em que a parte variável é o logaritmo, ou seja: | ||
Se <math>\log_a b = x | Se <math>\log_a b = x </math> | ||
então: | então: | ||
<math>a^x =b | <math>a^x =b </math> | ||
O que implica <math>b=f(x) | O que implica <math>b=f(x)</math>, tornando-o uma função, na qual podemos atribuir valores a ''x'' e obter uma imagem. O número ''a'' é chamado '''base''', este número é facilmente identificado nos logaritmos convencionalmente abordados na matemática elementar, mas qual é a base da função <math>\ln x</math> ? | ||
Esta questão nos leva a um novo conceito abordado na próxima seção, '''o número de Euler'''. | Esta questão nos leva a um novo conceito abordado na próxima seção, '''o número de Euler'''. | ||
===O número de Euler=== | ===O número de Euler=== | ||
A base do logarítmo natural é o número de Euler, simbolizado por: ''e'', ele é obtido pela definição do logaritmo natural, esse número corresponde á área sob a curva da função: <math>f(x)= \frac {1}{x} | A base do logarítmo natural é o número de Euler, simbolizado por: ''e'', ele é obtido pela definição do logaritmo natural, esse número corresponde á área sob a curva da função: <math>f(x)= \frac {1}{x} </math>, quando seu valor é unitário, ou seja: | ||
<math>\ln e = 1 | <math>\ln e = 1</math>, | ||
mais formalmente: | mais formalmente: | ||
<math>\int^e_{1} \frac {1}{x} d x = 1 | <math>\int^e_{1} \frac {1}{x} d x = 1 </math> | ||
O valor deste número pode ser encontrado por aproximação, utilizando-se os métodos de análise de seqûencias e séries, encontrados no livro: [[Cálculo (Volume 3)]]. | O valor deste número pode ser encontrado por aproximação, utilizando-se os métodos de análise de seqûencias e séries, encontrados no livro: [[Cálculo (Volume 3)]]. | ||
| Linha 119: | Linha 115: | ||
A equação que fornece o valor do número de Euler é dada a seguir: | A equação que fornece o valor do número de Euler é dada a seguir: | ||
<math>e = \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac {1}{n} \right)^n | <math>e = \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac {1}{n} \right)^n </math> | ||
Nesta equação podemos observar que quanto mais alto o valor de ''n'' mais preciso se torna o valor de ''e''. | Nesta equação podemos observar que quanto mais alto o valor de ''n'' mais preciso se torna o valor de ''e''. | ||
| Linha 125: | Linha 121: | ||
De maneira simplificada, com base nos conceitos até agora abordados podemos encontrá-la da seguinte maneira: | De maneira simplificada, com base nos conceitos até agora abordados podemos encontrá-la da seguinte maneira: | ||
Se <math>f(x)= \ln x | Se <math>f(x)= \ln x </math> então <math>f\ '(x) = \frac {1}{x} </math>, logo: <math>f\ '(1) =1 </math> | ||
Por outro lado, pela definição: | Por outro lado, pela definição: | ||
<math>f\ '(x) = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (x+ \alpha) - \ln x}{\alpha} | <math>f\ '(x) = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (x+ \alpha) - \ln x}{\alpha} </math> | ||
Para <math>f\ '(1) = 1 | Para <math>f\ '(1) = 1 </math>: | ||
<math>1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (1+ \alpha) - \ln 1}{\alpha} | <math>1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (1+ \alpha) - \ln 1}{\alpha} </math> | ||
<math>1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (1+ \alpha)}{\alpha} | <math>1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (1+ \alpha)}{\alpha} </math> | ||
<math>1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {1}{\alpha} \ln (1+ \alpha) | <math>1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {1}{\alpha} \ln (1+ \alpha) </math> | ||
<math>1 = \lim_{\alpha \to 0} \ln (1+ \alpha)^{\frac {1}{\alpha}} | <math>1 = \lim_{\alpha \to 0} \ln (1+ \alpha)^{\frac {1}{\alpha}} </math> | ||
<math>e = \lim_{\alpha \to 0} (1+ \alpha)^{\frac {1}{\alpha}} | <math>e = \lim_{\alpha \to 0} (1+ \alpha)^{\frac {1}{\alpha}} </math> | ||
Sendo: <math>\alpha = \frac {1}{n} | Sendo: <math>\alpha = \frac {1}{n} </math> e <math>\lim_{\alpha \to 0} \alpha= \lim_{n \to \infty} \frac {1}{n} </math> | ||
Concluimos que: | Concluimos que: | ||
<math>e = \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac {1}{n} \right)^n | <math>e = \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac {1}{n} \right)^n </math> | ||
===Teoremas=== | ===Teoremas=== | ||
| Linha 155: | Linha 151: | ||
==== T39 - Soma ==== | ==== T39 - Soma ==== | ||
Seja a função <math>f(x,y)= e^{x+y} | Seja a função <math>f(x,y)= e^{x+y} </math>, pode-se afirmar que: | ||
<math>f(x,y)= e^x \cdot e^y | <math>f(x,y)= e^x \cdot e^y </math> | ||
'''Comprovação:''' | '''Comprovação:''' | ||
Considerando: <math> x=\ln\ a | Considerando: <math> x=\ln\ a </math> e <math>y=\ln\ b </math>, | ||
<math>x+y=\ln\ a\ +\ \ln\ b | <math>x+y=\ln\ a\ +\ \ln\ b </math> | ||
<math>x+y=\ln\ {ab} | <math>x+y=\ln\ {ab} </math> | ||
logo: | logo: | ||
<math>e^{x+y} = e^{\ln\ {ab}} | <math>e^{x+y} = e^{\ln\ {ab}} </math> | ||
<math>e^{x+y} = ab | <math>e^{x+y} = ab </math> | ||
sendo: <math>a = e^x | sendo: <math>a = e^x</math> e <math>b=e^y </math>, | ||
<math>e^{x+y}= e^x \cdot e^y | <math>e^{x+y}= e^x \cdot e^y </math> | ||
O que comprova o teorema. | O que comprova o teorema. | ||
| Linha 181: | Linha 177: | ||
==== T40 - Subtração ==== | ==== T40 - Subtração ==== | ||
De forma similar à análise anterior, sendo a função <math>f(x,y)= e^{x-y} | De forma similar à análise anterior, sendo a função <math>f(x,y)= e^{x-y}</math>, pode-se afirmar que: | ||
<math>f(x,y)= \frac{e^x}{e^y} | <math>f(x,y)= \frac{e^x}{e^y}</math> | ||
'''Comprovação:''' | '''Comprovação:''' | ||
Considerando: <math> x=\ln\ a | Considerando: <math> x=\ln\ a </math> e <math>y=\ln\ b </math>, | ||
<math>x-y=\ln\ a\ -\ \ln\ b | <math>x-y=\ln\ a\ -\ \ln\ b</math> | ||
<math>x-y=\ln\ \frac{a}{b} | <math>x-y=\ln\ \frac{a}{b}</math> | ||
logo: | logo: | ||
<math>e^{x-y} = e^{\ln \frac{a}{b}} | <math>e^{x-y} = e^{\ln \frac{a}{b}}</math> | ||
<math>e^{x-y} = \frac{a}{b} | <math>e^{x-y} = \frac{a}{b}</math> | ||
sendo: <math>a = e^x | sendo: <math>a = e^x</math> e <math>b=e^y</math>, | ||
<math>e^{x-y}= \frac{e^x}{e^y} | <math>e^{x-y}= \frac{e^x}{e^y}</math> | ||
O que comprova o teorema. | O que comprova o teorema. | ||
| Linha 207: | Linha 203: | ||
==== T41 - Potência ==== | ==== T41 - Potência ==== | ||
Seja a função <math>f(x,y)=\left(e^x\right)^y | Seja a função <math>f(x,y)=\left(e^x\right)^y </math>, pode-se afirmar que: | ||
<math>f(x,y)=e^{xy} | <math>f(x,y)=e^{xy}</math> | ||
'''Comprovação:''' | '''Comprovação:''' | ||
<math>f(x,y)=(e^x)^y | <math>f(x,y)=(e^x)^y</math> | ||
<math>f(x,y)=e^{{\ln(e^x)}^y} | <math>f(x,y)=e^{{\ln(e^x)}^y}</math> | ||
<math>f(x,y)=e^{y \cdot \ln(e^x)} | <math>f(x,y)=e^{y \cdot \ln(e^x)}</math> | ||
<math>f(x,y)=e^{y \cdot x} | <math>f(x,y)=e^{y \cdot x}</math> | ||
O que comprova o teorema. | O que comprova o teorema. | ||
| Linha 225: | Linha 221: | ||
===Derivadas=== | ===Derivadas=== | ||
Consideremos que <math>f(x)=e^x | Consideremos que <math>f(x)=e^x</math>, e conseqüentemente: <math> x = \ln f(x) </math>, se derivarmos implicitamente este expressão: | ||
<math> d x = \frac {1}{f(x)} d f(x) | <math> d x = \frac {1}{f(x)} d f(x) </math> | ||
Curiosamente, teremos: | Curiosamente, teremos: | ||
<math> f(x) = \frac{d f(x)}{d x} | <math> f(x) = \frac{d f(x)}{d x} </math> | ||
<math> f(x) = f\ '(x) | <math> f(x) = f\ '(x)</math> | ||
Ou seja, a função exponencial natural é invariável durante o processo de derivação, o que traz uma série de implicações simplificadoras para estas funções. | Ou seja, a função exponencial natural é invariável durante o processo de derivação, o que traz uma série de implicações simplificadoras para estas funções. | ||
Por outro lado se <math> f(x) = a^x | Por outro lado se <math> f(x) = a^x </math>, temos que: | ||
<math>a = e^{\ln a} | <math>a = e^{\ln a}</math> | ||
Fazendo <math>u = x \cdot \ln a | Fazendo <math>u = x \cdot \ln a</math> e <math>f(x)=e^u</math>, teremos: | ||
<math>f\ '(x) = e^u \cdot \frac {d u}{\mbox {d} x} | <math>f\ '(x) = e^u \cdot \frac {d u}{\mbox {d} x}</math> | ||
Se <math>\frac {d u}{\mbox {d} x} = \ln a | Se <math>\frac {d u}{\mbox {d} x} = \ln a </math>, concluimos que: | ||
<math> f\ '(x) = a^x \cdot \ln a | <math> f\ '(x) = a^x \cdot \ln a</math> | ||
Que é adotada como uma derivada mais genérica, pois pode ser empregada em qualquer exponencial, pois inclui correção para o fator da base. | Que é adotada como uma derivada mais genérica, pois pode ser empregada em qualquer exponencial, pois inclui correção para o fator da base. | ||
| Linha 253: | Linha 249: | ||
===Integrais=== | ===Integrais=== | ||
Como não poderia ser diferente, o valor da integral da função exponencial natural <math>f(x)=e^x | Como não poderia ser diferente, o valor da integral da função exponencial natural <math>f(x)=e^x </math> é a própria função, conforme a regra da reversibilidade entre a derivada e a integral, apenas sendo necessária a devida observação da base, para eventual correção da diferencial e conseqüente introdução de fator de correção, nos casos em que a função torna-se composta. | ||
Desta forma, temos: | Desta forma, temos: | ||
<math>\int e^x d x = e^x + C | <math>\int e^x d x = e^x + C </math>, | ||
Sendo ''C'' constante. | Sendo ''C'' constante. | ||
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| Linha 268: | Linha 263: | ||
Como foi visto durante o ensino médio, os logaritmos têm uma definição direta e que denota a sua finalidade de expressar o valor do expoente em uma operação exponencial, a definição pura é dada da seguinte forma: | Como foi visto durante o ensino médio, os logaritmos têm uma definição direta e que denota a sua finalidade de expressar o valor do expoente em uma operação exponencial, a definição pura é dada da seguinte forma: | ||
Se <math> x=a^n | Se <math> x=a^n </math> então, | ||
<math>\log_a x = n | <math>\log_a x = n </math> | ||
Onde: ''a'' é chamada base do logaritmo, ''x'' é o logaritmando e ''n'' é o expoente. | Onde: ''a'' é chamada base do logaritmo, ''x'' é o logaritmando e ''n'' é o expoente. | ||
| Linha 278: | Linha 273: | ||
A função logarítmica de base ''a'' pode ser expressa da seguinte forma: | A função logarítmica de base ''a'' pode ser expressa da seguinte forma: | ||
<math>f(x)=\log_a x | <math>f(x)=\log_a x </math> | ||
O que nos possibilita encontrar um valor para cada ''x'' expresso na equação. | O que nos possibilita encontrar um valor para cada ''x'' expresso na equação. | ||
| Linha 286: | Linha 281: | ||
Analisemos agora a possibilidade de encontrar uma função logarítmica de uma base ''a'' e transformá-la em uma função logarítmica de base natural, ou outra base qualquer: | Analisemos agora a possibilidade de encontrar uma função logarítmica de uma base ''a'' e transformá-la em uma função logarítmica de base natural, ou outra base qualquer: | ||
Seja a função <math>y=\log_a x | Seja a função <math>y=\log_a x </math>, podemos dizer que: | ||
<math>x= e^{\ln x} | <math>x= e^{\ln x} </math> e que <math>a=e^{\ln a} </math>, | ||
como: <math>x = a^y | como: <math>x = a^y </math>, | ||
<math> x = (e^{\ln a})^y | <math> x = (e^{\ln a})^y </math>, | ||
<math> x = e^{y \cdot \ln a} | <math> x = e^{y \cdot \ln a} </math>, | ||
<math> \ln x = y \cdot \ln a | <math> \ln x = y \cdot \ln a </math>, | ||
O que nos possibilita afirmar que: | O que nos possibilita afirmar que: | ||
| Linha 306: | Linha 301: | ||
<math>\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} </math>. | <math>\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} </math>. | ||
Note que a analogia serve para funções logarítmicas de qualquer base, visto que podemos substituir <math>\ln x | Note que a analogia serve para funções logarítmicas de qualquer base, visto que podemos substituir <math>\ln x </math> por <math>\log_z x </math> sendo ''z'' a base que substituirá ''e'' na análise anterior. | ||
O que nos possibilita considerar que quando temos duas bases, sejam: ''a'' e ''b'', podemos promover a troca das bases, de forma que: | O que nos possibilita considerar que quando temos duas bases, sejam: ''a'' e ''b'', podemos promover a troca das bases, de forma que: | ||
| Linha 331: | Linha 326: | ||
<math>f\ '(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a} </math> | <math>f\ '(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a} </math> | ||
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| Linha 347: | Linha 341: | ||
'''Figura 5''' | '''Figura 5''' | ||
Imagine que cada ponto está numa distãncia ''R'' do ponto <math> (0,0) </math> em um plano cartesiano definido por pontos <math> (x,y) | Imagine que cada ponto está numa distãncia ''R'' do ponto <math> (0,0) </math> em um plano cartesiano definido por pontos <math> (x,y) </math>, da mesma forma a reta ''R'', que é definida entre os pontos <math> (0,0) \to (x,y) </math>, forma um ângulo com o eixo ''x'', que chamaremos de <math>\alpha </math>, note que podemos identificar qualquer dos pontos no plano a partir de uma reta ''R'' e um ângulo <math> \alpha </math>. | ||
Observemos que ''R'', quando fixa, é uma reta que determina um conjunto de pontos em torno do ponto <math>(0,0) | Observemos que ''R'', quando fixa, é uma reta que determina um conjunto de pontos em torno do ponto <math>(0,0) </math>, se fizermos <math>\alpha </math> variar em todos os valores possíveis teremos uma circunferência. Quando fazemos o valor de ''R'' variar teremos diferentes valores de ''x'' e ''y'', porém a relação entre eles sempre será a mesma. | ||
Curiosamente, há uma relação entre o perímetro do círculo e o seu diâmetro, ela se apresenta constante qualquer que seja o raio do círculo; o resultado desta relação é um número transcedental chamado '''PI''', representado pela letra grega de mesmo nome: <math>\pi | Curiosamente, há uma relação entre o perímetro do círculo e o seu diâmetro, ela se apresenta constante qualquer que seja o raio do círculo; o resultado desta relação é um número transcedental chamado '''PI''', representado pela letra grega de mesmo nome: <math>\pi </math>. Resgatando esta relação para a nossa análise podemos dizer que, se chamarmos o perímetro da circunferência, formada no gráfico, de <math> l </math> e admitirmos um diâmetro de <math> 2 R </math>, então teremos: | ||
<math>\frac {l}{2 R} = \pi </math> | <math>\frac {l}{2 R} = \pi </math> | ||
| Linha 357: | Linha 351: | ||
Que resulta em: | Que resulta em: | ||
<math>l= 2 \pi R | <math>l= 2 \pi R </math> | ||
Que é uma relação bastante esclarecedora, visto que nos mostra uma dependência linear entre o raio e o comprimento de um fio imaginário que pudesse ser usado para seguir o contorno da circunferência do gráfico. Se o raio for unitário teremos um valor de referência para ''l'', que poderá ser usado para encontrar qualquer comprimento de circunferência no gráfico, bastando para isto multiplicá-lo pelo raio, este valor de referência está ligado à circunferência fechada. Por outro lado, se fizermos com que ''R'' se desloque de um ângulo nulo, ou seja, que saia do eixo ''x'' em direção a ''y'', formando um ângulo <math>\alpha | Que é uma relação bastante esclarecedora, visto que nos mostra uma dependência linear entre o raio e o comprimento de um fio imaginário que pudesse ser usado para seguir o contorno da circunferência do gráfico. Se o raio for unitário teremos um valor de referência para ''l'', que poderá ser usado para encontrar qualquer comprimento de circunferência no gráfico, bastando para isto multiplicá-lo pelo raio, este valor de referência está ligado à circunferência fechada. Por outro lado, se fizermos com que ''R'' se desloque de um ângulo nulo, ou seja, que saia do eixo ''x'' em direção a ''y'', formando um ângulo <math>\alpha </math>, teremos pedaços de circunferência, que chamamos de '''arcos''', considerando que temos um raio unitário e que percorremos um pedaço da circunferência para cada ângulo "<math> \alpha </math>" que tomamos, temos uma correspondência entre '''ângulo e arco''', ou seja: podemos nos referir a arcos como unidades de ângulos, esta unidade angular é chamada de '''Radiano'''. Qualquer círculo forma <math>2 \pi </math> radianos e todas as relações entre os pontos da circunferência que o contorna e os eixos cartesianos podem ser referenciadas como relações entre partes desta medida. | ||
Como o radiano é uma medida real, isto nos leva a outra questão: O que determina o sinal '''negativo''' ou '''positivo''' neste valor? | Como o radiano é uma medida real, isto nos leva a outra questão: O que determina o sinal '''negativo''' ou '''positivo''' neste valor? | ||
Acontece uma variação destes valores quando nos deslocamos de um ponto a outro da circunferência, quando saimos do eixo ''x'' em direção ao ponto <math>P_1 | Acontece uma variação destes valores quando nos deslocamos de um ponto a outro da circunferência, quando saimos do eixo ''x'' em direção ao ponto <math>P_1 </math> o ângulo cresce, portanto temos que concluir que é positivo, recuando-o ao encontro do eixo ''x'' os valores diminuem, portanto se ultrapassarmos o eixo ''x'' o valor deve ser menor que zero, nos revelando um ângulo negativo. | ||
===Seno e cosseno=== | ===Seno e cosseno=== | ||
Temos, portanto, uma circunferência dentro do plano cartesiano e seus pontos relacionados ao raio '''''R''''' e ao ângulo '''<math>\alpha | Temos, portanto, uma circunferência dentro do plano cartesiano e seus pontos relacionados ao raio '''''R''''' e ao ângulo '''<math>\alpha </math>''', são referenciados pelas variáveis ''x'' e ''y'' no mesmo plano, agora imaginemos funções para que seja possível a partir do raio e do ângulo encontrar as variáveis, estas funções são o '''seno''' e o '''cosseno'''. | ||
A função '''seno''', simbolizada como: | A função '''seno''', simbolizada como: | ||
<math>\ \mbox{sen} (\alpha) | <math>\ \mbox{sen} (\alpha) </math> | ||
Nos dá o valor da variável ''y'', ou seja, a altura do ponto em relação ao zero referencial, no encontro dos eixos, conforme espelhada no eixo ''y'', quando o raio '''''R''''' é unitário, caso não seja fazemos <math>y=R \ \mbox{sen} (\alpha) | Nos dá o valor da variável ''y'', ou seja, a altura do ponto em relação ao zero referencial, no encontro dos eixos, conforme espelhada no eixo ''y'', quando o raio '''''R''''' é unitário, caso não seja fazemos <math>y=R \ \mbox{sen} (\alpha) </math>. | ||
A função '''cosseno''', simbolizada como: | A função '''cosseno''', simbolizada como: | ||
<math>\cos(\alpha) | <math>\cos(\alpha) </math> | ||
Nos dá o valor da variável ''x'', ou seja, a distância do ponto em relação ao zero referencial, no encontro dos eixos, conforme espelhada no eixo ''x''quando o raio '''''R''''' é unitário, caso não seja fazemos <math>x=R \cos(\alpha) | Nos dá o valor da variável ''x'', ou seja, a distância do ponto em relação ao zero referencial, no encontro dos eixos, conforme espelhada no eixo ''x''quando o raio '''''R''''' é unitário, caso não seja fazemos <math>x=R \cos(\alpha) </math>. | ||
As funções '''seno''' e '''cosseno''' são periódicas, ou seja, pela natureza do ciclo trigonométrico, quando temos um valor em ''x'' maior que <math> 2 \pi | As funções '''seno''' e '''cosseno''' são periódicas, ou seja, pela natureza do ciclo trigonométrico, quando temos um valor em ''x'' maior que <math> 2 \pi </math> temos a representação de um ciclo completo mais um ângulo residual, na verdade o valor representa este ângulo residual, o que nos leva a constatação que sempre será calculado o valor do seno ou cosseno do resto da operação <math> \frac {x}{2 \pi} </math> quando um ângulo maior que <math>2 \pi </math> for sugerido para ''x''. | ||
{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\sin x\ ,\ \cos x</math> ou <math>\sin (x)\ ,\ \cos (x)</math> para representação de seno e cosseno respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}} | {{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\sin x\ ,\ \cos x </math> ou <math>\sin (x)\ ,\ \cos (x) </math> para representação de seno e cosseno respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}} | ||
Alguns valores de senos e cossenos de certos arcos são perfeitamente dedutíveis através da observação do ciclo, são eles: | Alguns valores de senos e cossenos de certos arcos são perfeitamente dedutíveis através da observação do ciclo, são eles: | ||
| Linha 392: | Linha 386: | ||
!''Ângulo'' | !''Ângulo'' | ||
!align=center |0 | !align=center |0 | ||
!align=center |<math> \frac {\pi}{2} | !align=center |<math> \frac {\pi}{2} </math> | ||
!align=center |<math> {\pi} | !align=center |<math> {\pi} </math> | ||
!align=center |<math> \frac {3 \pi}{2} | !align=center |<math> \frac {3 \pi}{2} </math> | ||
|- | |- | ||
!<math> \ \mbox{sen} (x) </math> | !<math> \ \mbox{sen} (x) </math> | ||
| Linha 402: | Linha 396: | ||
|align=center |-1 | |align=center |-1 | ||
|- | |- | ||
!<math> \cos(x) | !<math> \cos(x) </math> | ||
|align=center |1 | |align=center |1 | ||
|align=center |0 | |align=center |0 | ||
| Linha 411: | Linha 405: | ||
Observando o gráfico podemos também concluir que o sinal do seno é idêntico ao sinal do ângulo, enquanto que o cosseno não acompanha o sinal do ângulo, de forma que cossenos de ângulos negativos são iguais a cossenos dos valores absolutos dos ângulos, ou seja: | Observando o gráfico podemos também concluir que o sinal do seno é idêntico ao sinal do ângulo, enquanto que o cosseno não acompanha o sinal do ângulo, de forma que cossenos de ângulos negativos são iguais a cossenos dos valores absolutos dos ângulos, ou seja: | ||
sendo <math>a>0 | sendo <math>a>0 </math>, | ||
<math>\ \mbox{sen} (-a)=-\ \mbox{sen} (a) | <math>\ \mbox{sen} (-a)=-\ \mbox{sen} (a) </math> | ||
enquanto que: | enquanto que: | ||
<math>\cos(-a)=\cos(a) | <math>\cos(-a)=\cos(a) </math> | ||
Outros senos e cossenos podem ser obtidos pelas relações métricas no triângulo e são largamente utilizados, são: | Outros senos e cossenos podem ser obtidos pelas relações métricas no triângulo e são largamente utilizados, são: | ||
{|style="width:600px" border="1" cellspacing="0" | {|style="width:600px" border="1" cellspacing="0" | ||
| Linha 440: | Linha 433: | ||
|- | |- | ||
!<math> \ \mbox{sen} (x) </math> | !<math> \ \mbox{sen} (x) </math> | ||
|align=center |<math>\frac{1}{2}</math> | |align=center |<math>\frac{1}{2} </math> | ||
|align=center |<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | |align=center |<math>\frac{\sqrt{2}}{2} </math> | ||
|align=center |<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | |align=center |<math>\frac{\sqrt{3}}{2} </math> | ||
|align=center |<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | |align=center |<math>\frac{\sqrt{3}}{2} </math> | ||
|align=center |<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | |align=center |<math>\frac{\sqrt{2}}{2} </math> | ||
|align=center |<math>\frac{1}{2}</math> | |align=center |<math>\frac{1}{2} </math> | ||
|align=center |<math>-\frac{1}{2}</math> | |align=center |<math>-\frac{1}{2} </math> | ||
|align=center |<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | |align=center |<math>-\frac{\sqrt{2}}{2} </math> | ||
|align=center |<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | |align=center |<math>-\frac{\sqrt{3}}{2} </math> | ||
|align=center |<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | |align=center |<math>-\frac{\sqrt{3}}{2} </math> | ||
|align=center |<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | |align=center |<math>-\frac{\sqrt{2}}{2} </math> | ||
|align=center |<math>-\frac{1}{2}</math> | |align=center |<math>-\frac{1}{2} </math> | ||
|- | |- | ||
!<math> \cos(x) | !<math> \cos(x) </math> | ||
|align=center |<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | |align=center |<math>\frac{\sqrt{3}}{2} </math> | ||
|align=center |<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | |align=center |<math>\frac{\sqrt{2}}{2} </math> | ||
|align=center |<math>\frac{1}{2}</math> | |align=center |<math>\frac{1}{2} </math> | ||
|align=center |<math>-\frac{1}{2}</math> | |align=center |<math>-\frac{1}{2} </math> | ||
|align=center |<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | |align=center |<math>-\frac{\sqrt{2}}{2} </math> | ||
|align=center |<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | |align=center |<math>-\frac{\sqrt{3}}{2} </math> | ||
|align=center |<math>-\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | |align=center |<math>-\frac{\sqrt{3}}{2} </math> | ||
|align=center |<math>-\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | |align=center |<math>-\frac{\sqrt{2}}{2} </math> | ||
|align=center |<math>-\frac{1}{2}</math> | |align=center |<math>-\frac{1}{2} </math> | ||
|align=center |<math>\frac{1}{2}</math> | |align=center |<math>\frac{1}{2} </math> | ||
|align=center |<math>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> | |align=center |<math>\frac{\sqrt{2}}{2} </math> | ||
|align=center |<math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math> | |align=center |<math>\frac{\sqrt{3}}{2} </math> | ||
|} | |} | ||
==== Identidades (1) ==== | ==== Identidades (1) ==== | ||
| Linha 477: | Linha 469: | ||
As funções seno e cosseno estão relacionadas pela equação: | As funções seno e cosseno estão relacionadas pela equação: | ||
<math>sen^2 (a) + cos^2 (a) = 1 | <math>sen^2 (a) + cos^2 (a) = 1 </math> | ||
'''Comprovação:''' | '''Comprovação:''' | ||
Observando o ciclo trigonométrico, temos um triângulo cujos catetos são: <math>\ \mbox{sen} (a)</math> e <math>\cos(a)</math> e sua hipotenusa é 1, portanto a identidade é conseqüente do conhecido teorema de Pitágoras. | Observando o ciclo trigonométrico, temos um triângulo cujos catetos são: <math>\ \mbox{sen} (a) </math> e <math>\cos(a) </math> e sua hipotenusa é 1, portanto a identidade é conseqüente do conhecido teorema de Pitágoras. | ||
==== I-2 Cosseno da soma ==== | ==== I-2 Cosseno da soma ==== | ||
Sejam os ângulos ''a'' e ''b'', o cosseno de sua soma é<ref>Ver também [http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28a%2Bb%29 no Wolfram Alpha]</ref>: | Sejam os ângulos ''a'' e ''b'', o cosseno de sua soma é<ref name="no Wolfram Alpha">Ver também [http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28a%2Bb%29 no Wolfram Alpha]</ref>: | ||
<math>\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) | <math>\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) </math> | ||
'''Comprovação:''' | '''Comprovação:''' | ||
| Linha 493: | Linha 485: | ||
Nos pontos ''A'' e ''B'' do ciclo trigonométrico, temos os arcos para os ângulos ''a'' e ''b'': | Nos pontos ''A'' e ''B'' do ciclo trigonométrico, temos os arcos para os ângulos ''a'' e ''b'': | ||
[[Imagem: | [[Imagem:Soma sen cos.png]] | ||
'''Figura 6''' | '''Figura 6''' | ||
| Linha 499: | Linha 491: | ||
A distância entre os pontos P e (A+B) é igual à distância entre -A e B, o quadrado das duas é: | A distância entre os pontos P e (A+B) é igual à distância entre -A e B, o quadrado das duas é: | ||
<math>[\cos(a+b)-1]^2 + sen^2 (a+b) = [\cos(b)-\cos(-a)]^2 + [\ \mbox{sen} (b)-\ \mbox{sen} (-a)]^2 | <math>[\cos(a+b)-1]^2 + sen^2 (a+b) = [\cos(b)-\cos(-a)]^2 + [\ \mbox{sen} (b)-\ \mbox{sen} (-a)]^2 </math> | ||
Da identidade básica: | Da identidade básica: | ||
<math>cos^2 (a+b) - 2\cos(a+b) +1 + sen^2 (a+b) = cos^2 (b) - 2 \cos(-a)\cos(b) + cos^2 (-a) + sen^2 (b)-2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b)+ sen^2 (-a) | <math>cos^2 (a+b) - 2\cos(a+b) +1 + sen^2 (a+b) = cos^2 (b) - 2 \cos(-a)\cos(b) + cos^2 (-a) + sen^2 (b)-2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b)+ sen^2 (-a) </math> | ||
<math>cos^2 (a+b) - 2\cos(a+b) +1 + 1 - cos^2 (a+b) = cos^2 (b) - 2 \cos(-a)\cos(b) + cos^2 (-a) + sen^2 (b)-2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b)+ sen^2 (-a) | <math>cos^2 (a+b) - 2\cos(a+b) +1 + 1 - cos^2 (a+b) = cos^2 (b) - 2 \cos(-a)\cos(b) + cos^2 (-a) + sen^2 (b)-2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b)+ sen^2 (-a) </math> | ||
<math>- 2\cos(a+b) +1 + 1 = [cos^2 (b) + sen^2 (b)] - 2 \cos(-a)\cos(b) + [cos^2 (-a) + sen^2 (-a)] -2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b) | <math>- 2\cos(a+b) +1 + 1 = [cos^2 (b) + sen^2 (b)] - 2 \cos(-a)\cos(b) + [cos^2 (-a) + sen^2 (-a)] -2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b) </math> | ||
<math>- 2\cos(a+b) +2 = 1 - 2 \cos(-a)\cos(b) + 1 -2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b) | <math>- 2\cos(a+b) +2 = 1 - 2 \cos(-a)\cos(b) + 1 -2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b) </math> | ||
<math>- 2\cos(a+b) = - 2 \cos(-a)\cos(b) - 2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b) | <math>- 2\cos(a+b) = - 2 \cos(-a)\cos(b) - 2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b) </math> | ||
<math>\cos(a+b) = \cos(-a)\cos(b) + \ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b) | <math>\cos(a+b) = \cos(-a)\cos(b) + \ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b) </math> | ||
Como <math> \ \mbox{sen} (-a) = -\ \mbox{sen} (a) | Como <math> \ \mbox{sen} (-a) = -\ \mbox{sen} (a) </math> e <math>\cos(-a)=\cos(a) </math> : | ||
<math>\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) | <math>\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) </math> | ||
O que comprova a identidade. | O que comprova a identidade. | ||
| Linha 525: | Linha 517: | ||
Sejam os ângulos ''a'' e ''b'', o cosseno de sua diferença é<ref>Ver também [http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28a-b%29 no Wolfram Alpha]</ref>: | Sejam os ângulos ''a'' e ''b'', o cosseno de sua diferença é<ref>Ver também [http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28a-b%29 no Wolfram Alpha]</ref>: | ||
<math>\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) | <math>\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) </math> | ||
'''Comprovação:''' | '''Comprovação:''' | ||
| Linha 531: | Linha 523: | ||
Do cosseno da soma: | Do cosseno da soma: | ||
<math>\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) | <math>\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) </math> | ||
Substituindo ''b'' por ''-b'': | Substituindo ''b'' por ''-b'': | ||
<math>\cos(a+(-b)) = \cos(a)\cos(-b) - \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (-b) | <math>\cos(a+(-b)) = \cos(a)\cos(-b) - \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (-b) </math> | ||
<math>\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) </math> | <math>\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) </math> | ||
| Linha 543: | Linha 535: | ||
==== I-4 Equivalência angular ==== | ==== I-4 Equivalência angular ==== | ||
Se o ângulo a é <math>\frac{\pi}{2} | Se o ângulo a é <math>\frac{\pi}{2} </math> e b é x, então: | ||
<math>\cos \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \cos \left(\frac{\pi}{2} \right) \cos(x) + \ \mbox{sen} \left(\frac{\pi}{2} \right) \ \mbox{sen} (x) | <math>\cos \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \cos \left(\frac{\pi}{2} \right) \cos(x) + \ \mbox{sen} \left(\frac{\pi}{2} \right) \ \mbox{sen} (x) </math> | ||
<math>\cos \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = 0 + 1 \cdot \ \mbox{sen} (x) | <math>\cos \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = 0 + 1 \cdot \ \mbox{sen} (x) </math> | ||
logo: | logo: | ||
<math>\cos \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \ \mbox{sen} (x) | <math>\cos \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \ \mbox{sen} (x) </math> | ||
Por outro lado, se: | Por outro lado, se: | ||
<math>y = \left(\frac{\pi}{2} - x \right) | <math>y = \left(\frac{\pi}{2} - x \right) </math> e | ||
<math>x = \left(\frac{\pi}{2} - y \right) | <math>x = \left(\frac{\pi}{2} - y \right) </math>, obtemos: | ||
<math>\ \mbox{sen} \left(\frac{\pi}{2} - y \right) = \cos(y) </math> | |||
==== I-5 Seno da soma ==== | ==== I-5 Seno da soma ==== | ||
| Linha 566: | Linha 557: | ||
Sejam os ângulos ''a'' e ''b'', o seno de sua soma é<ref>Ver também [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sen%28a%2Bb%29 no Wolfram Alpha]</ref>: | Sejam os ângulos ''a'' e ''b'', o seno de sua soma é<ref>Ver também [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sen%28a%2Bb%29 no Wolfram Alpha]</ref>: | ||
<math>\ \mbox{sen} (a+b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)+\ \mbox{sen} (b)\cos(a) | <math>\ \mbox{sen} (a+b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)+\ \mbox{sen} (b)\cos(a) </math> | ||
'''Comprovação:''' | '''Comprovação:''' | ||
| Linha 576: | Linha 567: | ||
<math>\ \mbox{sen} (a+b) = \cos \left [\left(\frac{\pi}{2}-a \right) -b\right ] </math> | <math>\ \mbox{sen} (a+b) = \cos \left [\left(\frac{\pi}{2}-a \right) -b\right ] </math> | ||
<math>\ \mbox{sen} (a+b) = \cos \left(\frac{\pi}{2}-a \right)\cos(b) + \ \mbox{sen} \left(\frac{\pi}{2}-a \right)\ \mbox{sen} (b)</math> | <math>\ \mbox{sen} (a+b) = \cos \left(\frac{\pi}{2}-a \right)\cos(b) + \ \mbox{sen} \left(\frac{\pi}{2}-a \right)\ \mbox{sen} (b) </math> | ||
<math>\ \mbox{sen} (a+b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)+\ \mbox{sen} (b)\cos(a) | <math>\ \mbox{sen} (a+b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)+\ \mbox{sen} (b)\cos(a) </math> | ||
O que comprova a identidade. | O que comprova a identidade. | ||
| Linha 584: | Linha 575: | ||
==== I-6 Seno da diferença ==== | ==== I-6 Seno da diferença ==== | ||
Sejam os ângulos ''a'' e ''b'', o seno de sua diferença é<ref | Sejam os ângulos ''a'' e ''b'', o seno de sua diferença é<ref name="no Wolfram Alpha"/>: | ||
<math>\ \mbox{sen} (a-b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)-\ \mbox{sen} (b)\cos(a) | <math>\ \mbox{sen} (a-b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)-\ \mbox{sen} (b)\cos(a) </math> | ||
'''Comprovação:''' | '''Comprovação:''' | ||
Se <math>\ \mbox{sen} (a+b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)+\ \mbox{sen} (b)\cos(a) | Se <math>\ \mbox{sen} (a+b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)+\ \mbox{sen} (b)\cos(a) </math>, | ||
Substituindo ''b'' por ''-b'', temos: | Substituindo ''b'' por ''-b'', temos: | ||
<math>\ \mbox{sen} (a-b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(-b)+\ \mbox{sen} (-b)\cos(a) | <math>\ \mbox{sen} (a-b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(-b)+\ \mbox{sen} (-b)\cos(a) </math> | ||
e <math>\ \mbox{sen} (-b)=-\ \mbox{sen} (b) | e <math>\ \mbox{sen} (-b)=-\ \mbox{sen} (b) </math> enquanto que <math>\cos(-b)=\cos(b) </math>, logo: | ||
<math>\ \mbox{sen} (a-b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)-\ \mbox{sen} (b)\cos(a) | <math>\ \mbox{sen} (a-b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)-\ \mbox{sen} (b)\cos(a) </math> | ||
O que comprova a identidade. | O que comprova a identidade. | ||
| Linha 606: | Linha 597: | ||
Sejam os ângulos ''a'' e ''b'', o produto de seus senos é<ref>Ver também [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sen%28a%29sen%28b%29 no Wolfram Alpha]</ref>: | Sejam os ângulos ''a'' e ''b'', o produto de seus senos é<ref>Ver também [http://www.wolframalpha.com/input/?i=sen%28a%29sen%28b%29 no Wolfram Alpha]</ref>: | ||
<math> \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) = \frac{1}{2} \cdot [\cos(a-b)-\cos(a+b)] | <math> \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) = \frac{1}{2} \cdot [\cos(a-b)-\cos(a+b)] </math> | ||
'''Comprovação:''' | '''Comprovação:''' | ||
| Linha 626: | Linha 617: | ||
Sejam os ângulos ''a'' e ''b'', o produto de seus cossenos é<ref>Ver também [http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28a%29cos%28b%29 no Wolfram Alpha]</ref>: | Sejam os ângulos ''a'' e ''b'', o produto de seus cossenos é<ref>Ver também [http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28a%29cos%28b%29 no Wolfram Alpha]</ref>: | ||
<math> \cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2} \cdot [\cos(a+b)+\cos(a-b)] | <math> \cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2} \cdot [\cos(a+b)+\cos(a-b)] </math> | ||
'''Comprovação:''' | '''Comprovação:''' | ||
| Linha 739: | Linha 730: | ||
'''Comprovação:''' | '''Comprovação:''' | ||
substituimos ''q'' e ''q'', por <math>\frac{p+q}{2}</math> e <math>\frac{p-q}{2}</math> em: | substituimos ''q'' e ''q'', por <math>\frac{p+q}{2} </math> e <math>\frac{p-q}{2} </math> em: | ||
<math> | <math> | ||
| Linha 755: | Linha 746: | ||
Precisaremos de um limite fundamental nas próximas seções, se trata de um limite que é utilizado na dedução das derivadas do seno e do cosseno, faremos sua dedução nesta seção. Considere o ciclo trigonométrico representado a seguir: | Precisaremos de um limite fundamental nas próximas seções, se trata de um limite que é utilizado na dedução das derivadas do seno e do cosseno, faremos sua dedução nesta seção. Considere o ciclo trigonométrico representado a seguir: | ||
[[Imagem:Limite sen.png]] | |||
[[Imagem: | |||
'''Figura 7''' | '''Figura 7''' | ||
A '''figura 7''' mostra a representação de um ângulo <math> \alpha | A '''figura 7''' mostra a representação de um ângulo <math> \alpha </math> no ciclo trigonométrico, o nosso propósito é deduzir o seguinte limite: | ||
<math> \lim_{\alpha \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (\alpha)}{\alpha} </math> | <math> \lim_{\alpha \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (\alpha)}{\alpha} </math> | ||
Para isto, imagine o triângulo inscrito na circunferência, podemos dizer que o segmento de reta ''n'' é uma aproximação grosseira do arco <math>\alpha | Para isto, imagine o triângulo inscrito na circunferência, podemos dizer que o segmento de reta ''n'' é uma aproximação grosseira do arco <math>\alpha </math>, porém observe que quando o ângulo se aproxima de zero o segmento se torna mais parecido com o respectivo ângulo, algébricamente podemos expressar que: | ||
<math>\lim_{\alpha \to 0} \frac{1}{\alpha} =\lim_{n \to 0} \frac {1}{n} </math> | <math>\lim_{\alpha \to 0} \frac{1}{\alpha} =\lim_{n \to 0} \frac {1}{n} </math> | ||
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Por outro lado façamos o cálculo do valor do ''n''; observando o triângulo podemos dizer que: | Por outro lado façamos o cálculo do valor do ''n''; observando o triângulo podemos dizer que: | ||
<math>n^2 = sen^2 (\alpha) + [1-\cos(\alpha)]^2 | <math>n^2 = sen^2 (\alpha) + [1-\cos(\alpha)]^2 </math> | ||
<math>n^2 = 2[1-\cos(\alpha)] | <math>n^2 = 2[1-\cos(\alpha)] </math> | ||
Logo: | Logo: | ||
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Voltando para o nosso limite, temos que usar as nossas equações anteriores desta forma: | Voltando para o nosso limite, temos que usar as nossas equações anteriores desta forma: | ||
<math>\left[\lim_{\alpha \to 0} \frac{1}{\alpha} =\lim_{n \to 0} \frac {1}{n} \right] \cdot \ \mbox{sen} (\alpha) | <math>\left[\lim_{\alpha \to 0} \frac{1}{\alpha} =\lim_{n \to 0} \frac {1}{n} \right] \cdot \ \mbox{sen} (\alpha) </math> | ||
<math>\lim_{\alpha \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (\alpha)}{\alpha} =\lim_{n \to 0} \frac {\ \mbox{sen} (\alpha)}{n} </math> | <math>\lim_{\alpha \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (\alpha)}{\alpha} =\lim_{n \to 0} \frac {\ \mbox{sen} (\alpha)}{n} </math> | ||
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Agora podemos verificar qual a variação da função seno em relação ao seu ângulo, aplicando a definição da derivada ao seno, temos: | Agora podemos verificar qual a variação da função seno em relação ao seu ângulo, aplicando a definição da derivada ao seno, temos: | ||
<math>f(x)=\ \mbox{sen} (x) | <math>f(x)=\ \mbox{sen} (x) </math> | ||
<math>f\ '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (x+h)-\ \mbox{sen} (x)}{h} </math> | <math>f\ '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (x+h)-\ \mbox{sen} (x)}{h} </math> | ||
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Temos, então, o limite fundamental que é igual a ''1'', logo: | Temos, então, o limite fundamental que é igual a ''1'', logo: | ||
<math>f\ '(x) = \cos(x) | <math>f\ '(x) = \cos(x) </math> | ||
==== Derivada do cosseno ==== | ==== Derivada do cosseno ==== | ||
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Também podemos verificar qual a variação da função cosseno em relação ao seu ângulo, aplicando a definição da derivada ao cosseno, temos: | Também podemos verificar qual a variação da função cosseno em relação ao seu ângulo, aplicando a definição da derivada ao cosseno, temos: | ||
<math>f(x)=\cos(x) | <math>f(x)=\cos(x) </math> | ||
<math>f\ '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h} </math> | <math>f\ '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h} </math> | ||
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Novamente temos o limite fundamental, logo: | Novamente temos o limite fundamental, logo: | ||
<math>f\ '(x) = -\ \mbox{sen} (x) | <math>f\ '(x) = -\ \mbox{sen} (x) </math> | ||
==== Integral do seno ==== | ==== Integral do seno ==== | ||
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== Notas == | == Notas == | ||
<references/> | <references/> | ||
{{AutoCat}} | {{AutoCat}} | ||
Edição atual tal como às 01h08min de 28 de dezembro de 2013
O estudo das funções deste capítulo refere-se às funções não puramente algébricas, relacionadas a números transcendentais, algumas das quais já conhecemos da matemática elementar, porém é necessário um aprofundamento do tema para o ambiente acadêmico, onde temos que lidar com análises mais detalhadas e complexas.
Logarítmicas
A integral da função algébrica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=x^n } traz uma indefinição quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n= -1 } :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int x^n d x = \frac {x^{n+1}}{n+1} ; n \ne -1 }
A existência desta indefinição nos leva a uma questão: Qual o procedimento para integrar a função: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} } ? A resposta é dada na análise numérica, calculando a integral pelos métodos de análise algébrica podemos chegar a seguinte conclusão:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int^x_1 \frac{1}{t} d t = \ln |x| }
A função ln é chamada de logaritmo natural, a sua base é chamada de número de Euler, ele é um logarítmo conseqüente do cálculo da área sob a curva da função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\frac {1}{x} } , que pode ser obtido numericamente usando a integral de Riemann e outras técnicas de cálculo numérico. Aproximações deste número são possíveis utilizando-se técnicas de aproximações sucessivas com o uso de séries, discutidas em Cálculo (Volume 3).
Todos os teoremas para logaritmos, que estão incluidos nos cursos de nível médio, podem ser obtidos a partir da análise do logaritmo natural, também chamado de logaritmo Neperiano.
Teoremas
Vejamos os principais teoremas para os logaritmos:
Nas citações abaixo, consideremos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)= \ln x } ,
T36 - Produto
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln a \cdot b = \ln a\ +\ \ln b }
Comprovação:
Da definição:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int^{ab}_1 \frac{1}{u} d u }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int^a_1 \frac{1}{u} d u + \int^{ab}_a \frac{1}{u} d u }
fazendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=at , d u =a d t} e quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=a , t=1} :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int^a_1 \frac{1}{u} d u + \int^b_1 \frac{1}{at} a d t }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int^a_1 \frac{1}{u} d u + \int^b_1 \frac{1}{t} d t }
O que comprova o teorema.
T37 - Razão
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln \frac{a}{b} = \ln a\ -\ \ln b }
Comprovação:
Sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = \frac{a}{b} \cdot b } :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln a = \ln \frac{a}{b} \cdot b }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln a = \ln \frac{a}{b} + \ln b }
logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b }
T38 - Potência
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln a^b = b \cdot \ln a }
Comprovação:
Sendo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln a^b = \ln (a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \dots) } -> b vezes, que é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln a^b = \ln a +\ln a +\ln a +\ln a +\ln a +\ln a +\ln a +\ln a \dots) } -> b vezes, resultando:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln a^b = b \cdot \ln a }
Derivadas
Da definição do logarítmo natural e a partir do teorema fundamental do cálculo, podemos deduzir a derivada da função logarítmica natural, ou seja, se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\ln x } que é a integral definida de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {1}{x} } , então a derivada é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{ d f(x)}{d x} = \frac {1}{x} }
Integrais
Para integração de funções logarítmicas, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.
Exponenciais
A função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=a^x } é chamada de função exponencial na base a, todas as funções exponenciais são introduzidas a partir da definição do logaritmo natural ln x como sua função inversa. As funções exponenciais são estas em que a parte variável é o logaritmo, ou seja:
Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_a b = x }
então:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^x =b }
O que implica Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=f(x)} , tornando-o uma função, na qual podemos atribuir valores a x e obter uma imagem. O número a é chamado base, este número é facilmente identificado nos logaritmos convencionalmente abordados na matemática elementar, mas qual é a base da função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln x} ?
Esta questão nos leva a um novo conceito abordado na próxima seção, o número de Euler.
O número de Euler
A base do logarítmo natural é o número de Euler, simbolizado por: e, ele é obtido pela definição do logaritmo natural, esse número corresponde á área sob a curva da função: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)= \frac {1}{x} } , quando seu valor é unitário, ou seja:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln e = 1} ,
mais formalmente:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int^e_{1} \frac {1}{x} d x = 1 }
O valor deste número pode ser encontrado por aproximação, utilizando-se os métodos de análise de seqûencias e séries, encontrados no livro: Cálculo (Volume 3).
A equação que fornece o valor do número de Euler é dada a seguir:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e = \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac {1}{n} \right)^n }
Nesta equação podemos observar que quanto mais alto o valor de n mais preciso se torna o valor de e.
De maneira simplificada, com base nos conceitos até agora abordados podemos encontrá-la da seguinte maneira:
Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)= \ln x } então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \frac {1}{x} } , logo: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(1) =1 }
Por outro lado, pela definição:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (x+ \alpha) - \ln x}{\alpha} }
Para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(1) = 1 } :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (1+ \alpha) - \ln 1}{\alpha} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {\ln (1+ \alpha)}{\alpha} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 = \lim_{\alpha \to 0} \frac {1}{\alpha} \ln (1+ \alpha) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 = \lim_{\alpha \to 0} \ln (1+ \alpha)^{\frac {1}{\alpha}} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e = \lim_{\alpha \to 0} (1+ \alpha)^{\frac {1}{\alpha}} }
Sendo: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = \frac {1}{n} } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\alpha \to 0} \alpha= \lim_{n \to \infty} \frac {1}{n} }
Concluimos que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e = \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac {1}{n} \right)^n }
Teoremas
A maioria dos teoremas relacionados, têm origem nas conclusões obtidas no estudo do logarítmo natural, dos quais relacionamos os mais usados:
T39 - Soma
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x,y)= e^{x+y} } , pode-se afirmar que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x,y)= e^x \cdot e^y }
Comprovação:
Considerando: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\ln\ a } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ln\ b } ,
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x+y=\ln\ a\ +\ \ln\ b }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x+y=\ln\ {ab} }
logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{x+y} = e^{\ln\ {ab}} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{x+y} = ab }
sendo: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = e^x} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=e^y } ,
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{x+y}= e^x \cdot e^y }
O que comprova o teorema.
T40 - Subtração
De forma similar à análise anterior, sendo a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x,y)= e^{x-y}} , pode-se afirmar que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x,y)= \frac{e^x}{e^y}}
Comprovação:
Considerando: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\ln\ a } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ln\ b } ,
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x-y=\ln\ a\ -\ \ln\ b}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x-y=\ln\ \frac{a}{b}}
logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{x-y} = e^{\ln \frac{a}{b}}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{x-y} = \frac{a}{b}}
sendo: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = e^x} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=e^y} ,
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{x-y}= \frac{e^x}{e^y}}
O que comprova o teorema.
T41 - Potência
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x,y)=\left(e^x\right)^y } , pode-se afirmar que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x,y)=e^{xy}}
Comprovação:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x,y)=(e^x)^y}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x,y)=e^{{\ln(e^x)}^y}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x,y)=e^{y \cdot \ln(e^x)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x,y)=e^{y \cdot x}}
O que comprova o teorema.
Derivadas
Consideremos que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=e^x} , e conseqüentemente: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \ln f(x) } , se derivarmos implicitamente este expressão:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d x = \frac {1}{f(x)} d f(x) }
Curiosamente, teremos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \frac{d f(x)}{d x} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = f\ '(x)}
Ou seja, a função exponencial natural é invariável durante o processo de derivação, o que traz uma série de implicações simplificadoras para estas funções.
Por outro lado se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = a^x } , temos que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = e^{\ln a}}
Fazendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u = x \cdot \ln a} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=e^u} , teremos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = e^u \cdot \frac {d u}{\mbox {d} x}}
Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {d u}{\mbox {d} x} = \ln a } , concluimos que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = a^x \cdot \ln a}
Que é adotada como uma derivada mais genérica, pois pode ser empregada em qualquer exponencial, pois inclui correção para o fator da base.
Integrais
Como não poderia ser diferente, o valor da integral da função exponencial natural Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=e^x } é a própria função, conforme a regra da reversibilidade entre a derivada e a integral, apenas sendo necessária a devida observação da base, para eventual correção da diferencial e conseqüente introdução de fator de correção, nos casos em que a função torna-se composta.
Desta forma, temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int e^x d x = e^x + C }
,
Sendo C constante.
Logarítmicas com outras bases
Como foi visto durante o ensino médio, os logaritmos têm uma definição direta e que denota a sua finalidade de expressar o valor do expoente em uma operação exponencial, a definição pura é dada da seguinte forma:
Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=a^n } então,
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_a x = n }
Onde: a é chamada base do logaritmo, x é o logaritmando e n é o expoente.
O logaritmo é, portanto, a operação pela qual se obtém o expoente necessário para que a base seja elevada, numa operação exponencial e se obtenha o número x.
A função logarítmica de base a pode ser expressa da seguinte forma:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\log_a x }
O que nos possibilita encontrar um valor para cada x expresso na equação.
Mudança de base
Analisemos agora a possibilidade de encontrar uma função logarítmica de uma base a e transformá-la em uma função logarítmica de base natural, ou outra base qualquer:
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\log_a x } , podemos dizer que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x= e^{\ln x} } e que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=e^{\ln a} } ,
como: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = a^y } ,
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = (e^{\ln a})^y } ,
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = e^{y \cdot \ln a} } ,
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln x = y \cdot \ln a } ,
O que nos possibilita afirmar que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = \frac{\ln x}{\ln a} }
,
ou
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} }
.
Note que a analogia serve para funções logarítmicas de qualquer base, visto que podemos substituir Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln x } por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_z x } sendo z a base que substituirá e na análise anterior.
O que nos possibilita considerar que quando temos duas bases, sejam: a e b, podemos promover a troca das bases, de forma que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} }
Derivadas
A derivada da função logarítmica com base diferente de e pode ser feita por substituição da base. Considerando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\log_a x } , temos que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \log_a x = \frac{1}{\ln a} \cdot \ln x } ,
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \frac{1}{\ln a} \cdot \ln x } ,
logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \frac {d \left( \frac{1}{\ln a} \cdot \ln x \right)}{d x} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac {d (\ln x)}{d x} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac {1}{x} }
Que nos dá a derivada:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \frac{1}{x \cdot \ln a} }
Trigonométricas I
A trigonometria, tal qual vista na matemática elementar, está relacionada com as relações métricas do triângulo retângulo e do ciclo trigonométrico, agora introduziremos o estudo infinitesimal das funções trigonométricas que são largamente utilizadas nas ciências exatas.
Conceitos básicos (Radianos)
Em um plano definido pelos eixos x e y podemos estabelecer coordenadas cartesianas para cada ponto, o que nos permite identificar cada um dos pontos em qualquer posição do plano, existe outra maneira de encontrar um ponto neste plano; se quisermos estabelecer uma relação triangular podemos determinar a posição de cada ponto no plano da seguinte forma:
Figura 5
Imagine que cada ponto está numa distãncia R do ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (0,0) } em um plano cartesiano definido por pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,y) } , da mesma forma a reta R, que é definida entre os pontos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (0,0) \to (x,y) } , forma um ângulo com o eixo x, que chamaremos de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha } , note que podemos identificar qualquer dos pontos no plano a partir de uma reta R e um ângulo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha } .
Observemos que R, quando fixa, é uma reta que determina um conjunto de pontos em torno do ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (0,0) } , se fizermos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha } variar em todos os valores possíveis teremos uma circunferência. Quando fazemos o valor de R variar teremos diferentes valores de x e y, porém a relação entre eles sempre será a mesma.
Curiosamente, há uma relação entre o perímetro do círculo e o seu diâmetro, ela se apresenta constante qualquer que seja o raio do círculo; o resultado desta relação é um número transcedental chamado PI, representado pela letra grega de mesmo nome: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \pi } . Resgatando esta relação para a nossa análise podemos dizer que, se chamarmos o perímetro da circunferência, formada no gráfico, de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle l } e admitirmos um diâmetro de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 R } , então teremos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {l}{2 R} = \pi }
Que resulta em:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle l= 2 \pi R }
Que é uma relação bastante esclarecedora, visto que nos mostra uma dependência linear entre o raio e o comprimento de um fio imaginário que pudesse ser usado para seguir o contorno da circunferência do gráfico. Se o raio for unitário teremos um valor de referência para l, que poderá ser usado para encontrar qualquer comprimento de circunferência no gráfico, bastando para isto multiplicá-lo pelo raio, este valor de referência está ligado à circunferência fechada. Por outro lado, se fizermos com que R se desloque de um ângulo nulo, ou seja, que saia do eixo x em direção a y, formando um ângulo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha } , teremos pedaços de circunferência, que chamamos de arcos, considerando que temos um raio unitário e que percorremos um pedaço da circunferência para cada ângulo "Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha } " que tomamos, temos uma correspondência entre ângulo e arco, ou seja: podemos nos referir a arcos como unidades de ângulos, esta unidade angular é chamada de Radiano. Qualquer círculo forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 \pi } radianos e todas as relações entre os pontos da circunferência que o contorna e os eixos cartesianos podem ser referenciadas como relações entre partes desta medida.
Como o radiano é uma medida real, isto nos leva a outra questão: O que determina o sinal negativo ou positivo neste valor?
Acontece uma variação destes valores quando nos deslocamos de um ponto a outro da circunferência, quando saimos do eixo x em direção ao ponto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_1 } o ângulo cresce, portanto temos que concluir que é positivo, recuando-o ao encontro do eixo x os valores diminuem, portanto se ultrapassarmos o eixo x o valor deve ser menor que zero, nos revelando um ângulo negativo.
Seno e cosseno
Temos, portanto, uma circunferência dentro do plano cartesiano e seus pontos relacionados ao raio R e ao ângulo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha } , são referenciados pelas variáveis x e y no mesmo plano, agora imaginemos funções para que seja possível a partir do raio e do ângulo encontrar as variáveis, estas funções são o seno e o cosseno.
A função seno, simbolizada como:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (\alpha) }
Nos dá o valor da variável y, ou seja, a altura do ponto em relação ao zero referencial, no encontro dos eixos, conforme espelhada no eixo y, quando o raio R é unitário, caso não seja fazemos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=R \ \mbox{sen} (\alpha) } .
A função cosseno, simbolizada como:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(\alpha) }
Nos dá o valor da variável x, ou seja, a distância do ponto em relação ao zero referencial, no encontro dos eixos, conforme espelhada no eixo xquando o raio R é unitário, caso não seja fazemos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=R \cos(\alpha) } .
As funções seno e cosseno são periódicas, ou seja, pela natureza do ciclo trigonométrico, quando temos um valor em x maior que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 \pi } temos a representação de um ciclo completo mais um ângulo residual, na verdade o valor representa este ângulo residual, o que nos leva a constatação que sempre será calculado o valor do seno ou cosseno do resto da operação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {x}{2 \pi} } quando um ângulo maior que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2 \pi } for sugerido para x.
Alguns valores de senos e cossenos de certos arcos são perfeitamente dedutíveis através da observação do ciclo, são eles:
| Ângulo | 0 | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {\pi}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\pi} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {3 \pi}{2} } |
|---|---|---|---|---|
| Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (x) } | 0 | 1 | 0 | -1 |
| Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(x) } | 1 | 0 | -1 | 0 |
Observando o gráfico podemos também concluir que o sinal do seno é idêntico ao sinal do ângulo, enquanto que o cosseno não acompanha o sinal do ângulo, de forma que cossenos de ângulos negativos são iguais a cossenos dos valores absolutos dos ângulos, ou seja:
sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a>0 } ,
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (-a)=-\ \mbox{sen} (a) }
enquanto que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(-a)=\cos(a) }
Outros senos e cossenos podem ser obtidos pelas relações métricas no triângulo e são largamente utilizados, são:
| Ângulo | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {\pi}{6} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {\pi}{4} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {\pi}{3} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {2\pi}{3} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {3\pi}{4} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {5\pi}{6} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {7\pi}{6} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {5\pi}{4} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {4\pi}{3} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {5\pi}{3} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {7\pi}{4} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {11\pi}{6} } |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (x) } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{1}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{1}{2} } |
| Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(x) } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{1}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{1}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} } | Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} } |
Identidades (1)
As equações desta seção são conseqüência das características dos senos e cossenos, seu comportamento cíclico e sua relação com uma circunferência de raio unitário lhes conferem uma excelente operatividade, possibilitando-nos fácil intercâmbio entre as mesmas.
I-1 Identidade relacional básica
As funções seno e cosseno estão relacionadas pela equação:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle sen^2 (a) + cos^2 (a) = 1 }
Comprovação:
Observando o ciclo trigonométrico, temos um triângulo cujos catetos são: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (a) } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(a) } e sua hipotenusa é 1, portanto a identidade é conseqüente do conhecido teorema de Pitágoras.
I-2 Cosseno da soma
Sejam os ângulos a e b, o cosseno de sua soma é[1]:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) }
Comprovação:
Nos pontos A e B do ciclo trigonométrico, temos os arcos para os ângulos a e b:
Figura 6
A distância entre os pontos P e (A+B) é igual à distância entre -A e B, o quadrado das duas é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [\cos(a+b)-1]^2 + sen^2 (a+b) = [\cos(b)-\cos(-a)]^2 + [\ \mbox{sen} (b)-\ \mbox{sen} (-a)]^2 }
Da identidade básica:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle cos^2 (a+b) - 2\cos(a+b) +1 + sen^2 (a+b) = cos^2 (b) - 2 \cos(-a)\cos(b) + cos^2 (-a) + sen^2 (b)-2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b)+ sen^2 (-a) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle cos^2 (a+b) - 2\cos(a+b) +1 + 1 - cos^2 (a+b) = cos^2 (b) - 2 \cos(-a)\cos(b) + cos^2 (-a) + sen^2 (b)-2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b)+ sen^2 (-a) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle - 2\cos(a+b) +1 + 1 = [cos^2 (b) + sen^2 (b)] - 2 \cos(-a)\cos(b) + [cos^2 (-a) + sen^2 (-a)] -2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle - 2\cos(a+b) +2 = 1 - 2 \cos(-a)\cos(b) + 1 -2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle - 2\cos(a+b) = - 2 \cos(-a)\cos(b) - 2\ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(a+b) = \cos(-a)\cos(b) + \ \mbox{sen} (-a)\ \mbox{sen} (b) }
Como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (-a) = -\ \mbox{sen} (a) } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(-a)=\cos(a) } :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) }
O que comprova a identidade.
I-3 Cosseno da diferença
Sejam os ângulos a e b, o cosseno de sua diferença é[2]:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) }
Comprovação:
Do cosseno da soma:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) }
Substituindo b por -b:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(a+(-b)) = \cos(a)\cos(-b) - \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (-b) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) }
O que comprova a identidade.
I-4 Equivalência angular
Se o ângulo a é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\pi}{2} } e b é x, então:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \cos \left(\frac{\pi}{2} \right) \cos(x) + \ \mbox{sen} \left(\frac{\pi}{2} \right) \ \mbox{sen} (x) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = 0 + 1 \cdot \ \mbox{sen} (x) }
logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = \ \mbox{sen} (x) }
Por outro lado, se:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = \left(\frac{\pi}{2} - x \right) } e
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \left(\frac{\pi}{2} - y \right) } , obtemos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} \left(\frac{\pi}{2} - y \right) = \cos(y) }
I-5 Seno da soma
Sejam os ângulos a e b, o seno de sua soma é[3]:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (a+b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)+\ \mbox{sen} (b)\cos(a) }
Comprovação:
Sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \left[\frac{\pi}{2} - (a+b) \right] = \ \mbox{sen} (a+b) } , temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (a+b) = \cos \left [\frac{\pi}{2} - (a+b) \right ] }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (a+b) = \cos \left [\left(\frac{\pi}{2}-a \right) -b\right ] }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (a+b) = \cos \left(\frac{\pi}{2}-a \right)\cos(b) + \ \mbox{sen} \left(\frac{\pi}{2}-a \right)\ \mbox{sen} (b) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (a+b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)+\ \mbox{sen} (b)\cos(a) }
O que comprova a identidade.
I-6 Seno da diferença
Sejam os ângulos a e b, o seno de sua diferença é[1]:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (a-b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)-\ \mbox{sen} (b)\cos(a) }
Comprovação:
Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (a+b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)+\ \mbox{sen} (b)\cos(a) } ,
Substituindo b por -b, temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (a-b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(-b)+\ \mbox{sen} (-b)\cos(a) }
e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (-b)=-\ \mbox{sen} (b) } enquanto que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(-b)=\cos(b) } , logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (a-b)=\ \mbox{sen} (a)\cos(b)-\ \mbox{sen} (b)\cos(a) }
O que comprova a identidade.
I-7 Produto de dois senos
Sejam os ângulos a e b, o produto de seus senos é[4]:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) = \frac{1}{2} \cdot [\cos(a-b)-\cos(a+b)] }
Comprovação:
Considerando a identidade do cosseno da diferença de dois ângulos e subtraindo de cada um de seus membros os membros correspondentes da identidade do cosseno da soma de dois ângulos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{ \begin{matrix} \cos(a-b) & = &\ \cos(a)\cos(b) + \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b)\\ & - & \\ \cos(a+b) & = &\ \cos(a)\cos(b) - \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b)\\ \end{matrix} }{ \begin{matrix} \cos(a-b)-\cos(a+b)& = &2 \ \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b) \end{matrix}} }
O que comprova a identidade.
I-8 Produto de dois cossenos
Sejam os ângulos a e b, o produto de seus cossenos é[5]:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(a)\cos(b) = \frac{1}{2} \cdot [\cos(a+b)+\cos(a-b)] }
Comprovação:
Considerando a identidade do cosseno da soma de dois ângulos e somando a cada um de seus membros os membros correspondentes da identidade do cosseno da diferença de dois ângulos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{ \begin{matrix} \cos(a+b) & = &\ \cos(a)\cos(b) - \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b)\\ & + & \\ \cos(a-b) & = &\ \cos(a)\cos(b) + \mbox{sen} (a)\ \mbox{sen} (b)\\ \end{matrix} }{ \begin{matrix} \cos(a+b)+\cos(a-b)& = & +2 \ \mbox{cos} (a)\ \mbox{cos} (b) \end{matrix}} }
O que comprova a identidade.
I-9 Produto de seno e cosseno
Sejam os ângulos a e b, o produto do seno de a pelo cosseno de b é[6]:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (a)\cos(b) = \frac{1}{2} \cdot [\ \mbox{sen} (a+b)+\ \mbox{sen} (a-b)] }
Comprovação:
Considerando a identidade do seno da soma de dois ângulos e somando a cada um de seus membros os membros correspondentes da identidade do seno da diferença de dois ângulos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{ \begin{matrix} \ \mbox{sen} (a+b) & = & \ \mbox{sen} (a)\cos(b)+\cos(a)\ \mbox{sen} (b)\\ & + & \\ \ \mbox{sen} (a-b) & = & \ \mbox{sen} (a)\cos(b)-\cos(a)\ \mbox{sen} (b)\\ \end{matrix} }{ \begin{matrix} \ \mbox{sen} (a+b)+\ \mbox{sen} (a-b)& = &2 \ \mbox{sen} (a)\cos(b) \end{matrix}} }
O que comprova a identidade.
I-10 Soma de dois senos
Sejam os ângulos p e q, a soma dos senos de p e de q é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (p)+\ \mbox{sen} (q) = 2\ \mbox{sen} \left(\frac{p+q}{2} \right)\cos \left(\frac{p-q}{2} \right) }
Comprovação:
Podemos dizer que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\left \{ \begin{matrix} a+b & = & p\\ & + & \\ a-b & = & q \end{matrix}\right. }{ \begin{matrix} & & & 2a & = & p+q\\ \\ a & = & \frac{p+q}{2} &;& b & = & \frac{p-q}{2} \end{matrix}} }
substituindo na identidade:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix} \ \mbox{sen} (a+b)+\ \mbox{sen} (a-b)& = &2 \ \mbox{sen} (a)\cos(b)\\ \ \mbox{sen} (p) + \ \mbox{sen} (q) & = &2 \ \mbox{sen} \left(\frac{p+q}{2} \right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right) \end{matrix} }
O que comprova a identidade.
I-11 Soma de dois cossenos
Sejam os ângulos p e q, a soma dos cossenos de p e de q é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(p)+\cos(q) = 2\cos \left(\frac{p+q}{2} \right)\cos \left(\frac{p-q}{2}\right) }
Comprovação:
Seguindo a analogia anterior:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix} \cos(a+b)+\cos(a-b)& = &2 \cos(a)\cos(b)\\ \cos(p) + \cos(q) & = &2 \cos \left(\frac{p+q}{2} \right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right) \end{matrix} }
O que comprova a identidade.
I-12 Diferença de dois senos
Sejam os ângulos p e q, a diferença dos senos de p e de q é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (p)-\ \mbox{sen} (q) = 2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\ \mbox{sen} \left(\frac{p-q}{2}\right) }
Comprovação:
substituindo q por -q em:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix} \ \mbox{sen} (p) + \ \mbox{sen} (q) & = &2 \ \mbox{sen} \left(\frac{p+q}{2} \right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)\\ \ \mbox{sen} (p) + \ \mbox{sen} (-q) & = &2 \ \mbox{sen} \left(\frac{p-q}{2} \right) \cos \left(\frac{p+q}{2}\right) \end{matrix} }
O que comprova a identidade.
I-13 Diferença de dois cossenos
Sejam os ângulos p e q, a diferença dos cossenos de p e de q é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(p)-\cos(q) = -2\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\cos \left(\frac{p-q}{2} \right) }
Comprovação:
substituimos q e q, por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{p+q}{2} } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{p-q}{2} } em:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix} \cos(a-b)-\cos(a+b) & = &2\cos(a)\cos(b)\\ \cos(q) - \cos(p) & = &2 \cos \left(\frac{p+q}{2} \right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)\\ \cos(p) - \cos(q) & = &-2 \cos \left(\frac{p+q}{2} \right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right) \end{matrix} }
O que comprova a identidade.
Limíte trigonométrico fundamental
Precisaremos de um limite fundamental nas próximas seções, se trata de um limite que é utilizado na dedução das derivadas do seno e do cosseno, faremos sua dedução nesta seção. Considere o ciclo trigonométrico representado a seguir:
Figura 7
A figura 7 mostra a representação de um ângulo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha } no ciclo trigonométrico, o nosso propósito é deduzir o seguinte limite:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\alpha \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (\alpha)}{\alpha} }
Para isto, imagine o triângulo inscrito na circunferência, podemos dizer que o segmento de reta n é uma aproximação grosseira do arco Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha } , porém observe que quando o ângulo se aproxima de zero o segmento se torna mais parecido com o respectivo ângulo, algébricamente podemos expressar que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\alpha \to 0} \frac{1}{\alpha} =\lim_{n \to 0} \frac {1}{n} }
Por outro lado façamos o cálculo do valor do n; observando o triângulo podemos dizer que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n^2 = sen^2 (\alpha) + [1-\cos(\alpha)]^2 }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n^2 = 2[1-\cos(\alpha)] }
Logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle cos (\alpha) = \left (1-\frac{n^2}{2}\right) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 - sen^2 (\alpha) = \left (1-\frac{n^2}{2}\right)^2 }
Simplificando temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen} (\alpha) = n \left [1 - \frac{n^2}{4} \right]^{\frac{1}{2}} }
Voltando para o nosso limite, temos que usar as nossas equações anteriores desta forma:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left[\lim_{\alpha \to 0} \frac{1}{\alpha} =\lim_{n \to 0} \frac {1}{n} \right] \cdot \ \mbox{sen} (\alpha) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\alpha \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (\alpha)}{\alpha} =\lim_{n \to 0} \frac {\ \mbox{sen} (\alpha)}{n} }
Substituindo o valor do seno no lado da equação relaciondado ao n, teremos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\alpha \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (\alpha)}{\alpha} =\lim_{n \to 0} \left[1-\frac {n^2}{4}\right]^{\frac{1}{2}} }
O que nos leva ao resultado:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\alpha \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (\alpha)}{\alpha} = 1 }
A interpretação desse limite é a seguinte:
Uma vez que o ângulo diminui até valores próximos de zero e o arco tende a se assemelhar a uma reta em regiões próximas do zero, o valor do seno é igual ao valor do arco no limite, quando o seu valor se aproxima de ser nulo.
Derivada do seno
Agora podemos verificar qual a variação da função seno em relação ao seu ângulo, aplicando a definição da derivada ao seno, temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\ \mbox{sen} (x) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (x+h)-\ \mbox{sen} (x)}{h} }
Aplicando o seno da soma:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (x)\cos(h)+\ \mbox{sen} (h)\cos(x)-\ \mbox{sen} (x)}{h} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (x)\cos(h)}{h}+\lim_{h \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (h)\cos(x)}{h}-\lim_{h \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (x)}{h} }
Aplicando os limites:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (h)}{h}\cos(x) }
Temos, então, o limite fundamental que é igual a 1, logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \cos(x) }
Derivada do cosseno
Também podemos verificar qual a variação da função cosseno em relação ao seu ângulo, aplicando a definição da derivada ao cosseno, temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\cos(x) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h} }
Aplicando o seno da soma:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x)\cos(h)-\ \mbox{sen} (x)\ \mbox{sen} (h)-\cos(x)}{h} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x)\cos(h)}{h}-\lim_{h \to 0} \frac{\ \mbox{sen} (x)\ \mbox{sen} (h)}{h}-\lim_{h \to 0} \frac{\cos(x)}{h} }
Aplicando os limites:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \lim_{h \to 0} -\frac{\ \mbox{sen} (h)}{h}\ \mbox{sen} (x) }
Novamente temos o limite fundamental, logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = -\ \mbox{sen} (x) }
Integral do seno
Como conseqüência do resultado da derivada do seno, podemos deduzir que a sua integral, como operação inversa é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \ \mbox{sen} (x) dx = -\cos(x) + C }
Cuja constante C é a constante devido a indefinição no processo de antidiferenciação, conforme já estudamos anteriormente.
Integral do cosseno
Segundo o mesmo princípio colocado no caso da integral do seno, podemos afirmar que a operação de integração do cosseno é definida por:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \cos(x) dx = \ \mbox{sen} (x) + C }
Cuja constante C é a constante devido a indefinição no processo de antidiferenciação
Notas
- ↑ 1,0 1,1 Ver também no Wolfram Alpha
- ↑ Ver também no Wolfram Alpha
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- ↑ Ver também no Wolfram Alpha
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