Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2): mudanças entre as edições
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<div style="background-color:#DFDFDF;width:100%;text-align:center;">'''''Wikiversidade - Disciplina: Cálculo I'''''</div> | |||
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== Trigonométricas II == | |||
Esta seção é a continuação do estudo trigonométrico, iniciado no capítulo anterior, que foi criada após o aumento progressivo do conteúdo. | Esta seção é a continuação do estudo trigonométrico, iniciado no capítulo anterior, que foi criada após o aumento progressivo do conteúdo. | ||
=== Tangente e secante === | |||
Quando definimos o seno e o cosseno fizemos a referência a seu significado no ciclo trigonométrico, da mesma forma introduziremos a tangente neste momento. Como já vimos anteriormente a derivada é uma função que representa a declividade de uma curva, da mesma forma podemos definir a tangente, pois | Quando definimos o seno e o cosseno fizemos a referência a seu significado no ciclo trigonométrico, da mesma forma introduziremos a tangente neste momento. Como já vimos anteriormente a derivada é uma função que representa a declividade de uma curva, da mesma forma podemos definir a tangente, pois essencialmente, ela representa a declividade do ciclo para cada ângulo em particular, ou seja, se traçarmos uma reta orgononal a cada ponto do ciclo trigonométrico e relacionarmos ao ângulo que forma com o eixo ''x'', teremos retas com declividades iguais às tangentes desses ângulos. Como cada ponto do ciclo é definido por <math>[\cos(\alpha),\ \mbox{sen}(\alpha)]</math> e o valor inicial <math>(\Delta x)</math> é sempre nulo, temos um valor de declividade tal que: | ||
<math>tg(x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> | <math>\ \mbox{tg}(x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}</math> | ||
que é: | que é: | ||
<math>tg(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}</math> | <math>\ \mbox{tg}(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}</math> | ||
Desta forma também podemos concluir que a tangente é a representação do cateto oposto ao ângulo quando mantemos o cateto adjacente constante e unitário, | {{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\tan x\ ,\ \sec x</math> ou <math>\tan (x)\ ,\ \sec (x)</math> para representação de tangente e secante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}} | ||
Desta forma também podemos concluir que a tangente é a representação do cateto oposto ao ângulo quando mantemos o cateto adjacente constante e unitário, cosiderando este ponto de vista, qual seria o valor da hipotenusa? | |||
Para definir ''h'', a hipotenusa, façamos : | Para definir ''h'', a hipotenusa, façamos : | ||
<math>h^2 (x)= 1^2 + tg^2 (x) </math> | <math>h^2 (x)= 1^2 + \ \mbox{tg}^2 (x) </math> | ||
<math>h^2 (x)= 1^2 + \frac{sen^2 (x)}{cos^2 (x)} </math> | <math>h^2 (x)= 1^2 + \frac{\ \mbox{sen}^2 (x)}{\cos^2 (x)} </math> | ||
<math>h^2 (x)= \frac{cos^2 (x) + sen^2 (x)}{cos^2 (x)} </math> | <math>h^2 (x)= \frac{\cos^2 (x) + \ \mbox{sen}^2 (x)}{\cos^2 (x)} </math> | ||
Da identidade relacional temos: | Da identidade relacional temos: | ||
<math>h^2 (x)= \frac{1}{cos^2 (x)} </math> | <math>h^2 (x)= \frac{1}{\cos^2 (x)} </math> | ||
portanto: | portanto: | ||
<math>h(x)= \frac{1}{cos(x)} </math> | <math>h(x)= \frac{1}{\cos(x)} </math> | ||
Este valor é o que chamamos de '''secante''', que é outra função importante para o estudo trigonométrico, então podemos dizer que: | Este valor é o que chamamos de '''secante''', que é outra função importante para o estudo trigonométrico, então podemos dizer que: | ||
<math>sec(x)= \frac{1}{cos(x)} </math> | <math>\sec(x)= \frac{1}{\cos(x)} </math> | ||
Nas próximas seções veremos que a secante mantém íntimas ralações com a tangente. | Nas próximas seções veremos que a secante mantém íntimas ralações com a tangente. | ||
==== Identidades (2)==== | |||
Como definimos as identidades entre seno e cosseno, incluiremos as identidades que incluem tangente e secante nesta seção, todas são algebricamente dedutíveis e intercambiaveis. | Como definimos as identidades entre seno e cosseno, incluiremos as identidades que incluem tangente e secante nesta seção, todas são algebricamente dedutíveis e intercambiaveis. | ||
==== I-14 Relacionando tangente e secante ==== | |||
Seja ''x'' uma variável que expressa o ângulo em cada ponto do ciclo trigonométrico, entre <math>tg(x)\ e\ sec(x)</math> podemos afirmar que: | Seja ''x'' uma variável que expressa o ângulo em cada ponto do ciclo trigonométrico, entre <math>\ \mbox{tg}(x)\ e\ \sec(x)</math> podemos afirmar que: | ||
<math>1 + tg^2(x)=sec^2(x) </math> | <math>1 + \ \mbox{tg}^2(x)=\sec^2(x) </math> | ||
Conforme visto nos conceitos iniciais logo acima, a relação é conseqüência direta das relações triangulares que definem as funções tangente e secante. | Conforme visto nos conceitos iniciais logo acima, a relação é conseqüência direta das relações triangulares que definem as funções tangente e secante. | ||
==== I-15 Tangente da diferença ==== | |||
Sendo ''a'' e ''b'' dois ângulos no ciclo trigonométrico: | Sendo ''a'' e ''b'' dois ângulos no ciclo trigonométrico: | ||
<math>tg(a-b)=\frac{tg(a)-tg(b)}{1+tg(a)tg(b)} </math> | <math>\ \mbox{tg}(a-b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)-\ \mbox{tg}(b)}{1+\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} </math> | ||
'''Comprovação:''' | '''Comprovação:''' | ||
Linha 65: | Linha 65: | ||
Considerando a definição da tangente temos: | Considerando a definição da tangente temos: | ||
<math>tg(a-b)= \frac{sen(a-b)}{cos(a-b)}</math> | <math>\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\ \mbox{sen}(a-b)}{\cos(a-b)}</math> | ||
<math>tg(a-b)= \frac{sen(a)cos(b)-sen(b)cos(a)}{cos(a)cos(b)+sen(a)sen(b)}</math> | <math>\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\ \mbox{sen}(a)\cos(b)-\ \mbox{sen}(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)+\ \mbox{sen}(a)\ \mbox{sen}(b)}</math> | ||
<math>tg(a-b)= \frac{\frac{sen(a)cos(b)}{cos(a)cos(b)}-\frac{sen(b)cos(a)}{cos(a)cos(b)}} | <math>\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\frac{\ \mbox{sen}(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}-\frac{\ \mbox{sen}(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)}} | ||
{\frac{cos(a)cos(b)}{cos(a)cos(b)}+\frac{sen(a)sen(b)}{cos(a)cos(b)}}</math> | {\frac{\cos(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}+\frac{\ \mbox{sen}(a)\ \mbox{sen}(b)}{\cos(a)\cos(b)}}</math> | ||
<math>tg(a-b)= \frac{\frac{sen(a)}{cos(a)}-\frac{sen(b)}{cos(b)}} | <math>\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\frac{\ \mbox{sen}(a)}{\cos(a)}-\frac{\ \mbox{sen}(b)}{\cos(b)}} | ||
{1+\frac{sen(a)sen(b)}{cos(a)cos(b)}}</math> | {1+\frac{\ \mbox{sen}(a)\ \mbox{sen}(b)}{\cos(a)\cos(b)}}</math> | ||
<math>tg(a-b)= \frac{\frac{sen(a)}{cos(a)}-\frac{sen(b)}{cos(b)}} | <math>\ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\frac{\ \mbox{sen}(a)}{\cos(a)}-\frac{\ \mbox{sen}(b)}{\cos(b)}} | ||
{1+\frac{sen(a)}{cos(a)}\frac{sen(b)}{cos(b)}}</math> | {1+\frac{\ \mbox{sen}(a)}{\cos(a)}\frac{\ \mbox{sen}(b)}{\cos(b)}}</math> | ||
Resultando em: | Resultando em: | ||
<math>tg(a-b)=\frac{tg(a)-tg(b)}{1+tg(a)tg(b)} </math> | <math>\ \mbox{tg}(a-b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)-\ \mbox{tg}(b)}{1+\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} </math> | ||
O que comprova a identidade. | O que comprova a identidade. | ||
==== I-16 Tangente da soma ==== | |||
<math>\ \mbox{tg}(a+b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)+\ \mbox{tg}(b)}{1-\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} </math> | |||
<math>tg(a+b)=\frac{tg(a)+tg(b)}{1-tg(a)tg(b)} </math> | |||
'''Comprovação:''' | '''Comprovação:''' | ||
Linha 93: | Linha 92: | ||
Admitamos <math>b = - b</math> e teremos pela tangente da diferença: | Admitamos <math>b = - b</math> e teremos pela tangente da diferença: | ||
<math>tg(a-(-b))=\frac{tg(a)-tg(-b)}{1+tg(a)tg(-b)} </math> | <math>\ \mbox{tg}(a-(-b))=\frac{\ \mbox{tg}(a)-\ \mbox{tg}(-b)}{1+\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(-b)} </math> | ||
Considerando que a tangente é: | Considerando que a tangente é: | ||
<math>tg(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)} </math> | <math>\ \mbox{tg}(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} </math> | ||
E que o seno é determinante para o sinal enquanto o cosseno não é, concluímos que o sinal da tangente é igual ao da variável, tal qual se comporta o seno, logo: | E que o seno é determinante para o sinal enquanto o cosseno não é, concluímos que o sinal da tangente é igual ao da variável, tal qual se comporta o seno, logo: | ||
<math>tg(a+b)=\frac{tg(a)+tg(b)}{1-tg(a)tg(b)} </math> | <math>\ \mbox{tg}(a+b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)+\ \mbox{tg}(b)}{1-\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} </math> | ||
O que comprova a identidade. | O que comprova a identidade. | ||
==== Derivada da tangente ==== | |||
Seja <math>f(x)=tg(x)</math>, uma função contínua em <math>\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ) </math>, visto que <math>\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} tg(x)\quad \not\exists </math>, o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que: | Seja <math>f(x)=\ \mbox{tg}(x)</math>, uma função contínua em <math>\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ) </math>, visto que <math>\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \ \mbox{tg}(x)\quad \not\exists </math>, o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que: | ||
<math>f(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)} </math> | <math>f(x) = \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} </math> | ||
logo, pela [[ | logo, pela [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]: | ||
<math>f\ '(x)=\frac{cos(x)cos(x)-sen(x)[-sen(x)]}{cos^2 (x)}</math> | <math>f\ '(x)=\frac{\cos(x)\cos(x)-\ \mbox{sen}(x)[-\ \mbox{sen}(x)]}{\cos^2 (x)}</math> | ||
<math>f\ '(x)=\frac{cos^2 (x)+sen^2 (x)}{cos^2 (x)}</math> | <math>f\ '(x)=\frac{\cos^2 (x)+\ \mbox{sen}^2 (x)}{\cos^2 (x)}</math> | ||
<math>f\ '(x)=\frac{1}{cos^2 (x)}</math> | <math>f\ '(x)=\frac{1}{\cos^2 (x)}</math> | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>f\ '(x)=sec^2 (x)</math> | <math>f\ '(x)=\sec^2 (x)</math> | ||
==== Derivada da secante ==== | |||
Seja <math>f(x)=sec(x)</math>, uma função contínua em <math>\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ) </math>, visto que <math>\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} sec(x)\quad \not\exists </math>, o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que: | Seja <math>f(x)=\sec(x)</math>, uma função contínua em <math>\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ) </math>, visto que <math>\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sec(x)\quad \not\exists </math>, o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que: | ||
<math>f(x) = \frac{1}{cos(x)} </math> | <math>f(x) = \frac{1}{\cos(x)} </math> | ||
logo, pela [[ | logo, pela [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]: | ||
<math>f\ '(x) = \frac{cos(x) \cdot (0) - 1 \cdot (-sen(x))}{cos^2 (x)}</math> | <math>f\ '(x) = \frac{\cos(x) \cdot (0) - 1 \cdot (-\ \mbox{sen}(x))}{\cos^2 (x)}</math> | ||
<math>f\ '(x) = \frac{sen(x)}{cos^2 (x)}</math> | <math>f\ '(x) = \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos^2 (x)}</math> | ||
<math>f\ '(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)} \cdot \frac{1}{cos(x)}</math> | <math>f\ '(x) = \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{1}{\cos(x)}</math> | ||
O que nos revela: | O que nos revela: | ||
<math>f\ '(x) = tg(x)sec(x) </math> | <math>f\ '(x) = \ \mbox{tg}(x)\sec(x) </math> | ||
==== Integral da tangente ==== | |||
Seja a função <math>f(x)=tg(x)</math>, definida contínua no intervalo onde seus valores estão sendo considerados, podemos deduzir que: | Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{tg}(x) </math>, definida contínua no intervalo onde seus valores estão sendo considerados, podemos deduzir que: | ||
<math>F(x)= \int tg(x) dx</math> | <math>F(x)= \int \ \mbox{tg}(x) dx</math> | ||
<math>F(x)= \int \frac{sen(x)}{cos(x)} dx</math> | <math>F(x)= \int \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} dx</math> | ||
Por outro lado, se: | Por outro lado, se: | ||
<math>u=cos(x)</math> | <math>u=\cos(x) </math> | ||
<math>du=-sen(x)dx</math> | <math>du=-\ \mbox{sen}(x)dx </math> | ||
O que nos possibilita afirmar que: | O que nos possibilita afirmar que: | ||
Linha 159: | Linha 158: | ||
<math>F(x)= - \int \frac{du}{u}</math> | <math>F(x)= - \int \frac{du}{u}</math> | ||
<math>F(x)= - \ln|cos(x)| </math> | <math>F(x)= - \ln|\cos(x)| </math> | ||
<math>F(x)= \ln \left|\frac{1}{cos(x)} \right| </math> | <math>F(x)= \ln \left|\frac{1}{\cos(x)} \right| </math> | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>F(x)= ln|sec(x)| + C </math> | <math>F(x)= \ln|\sec(x)| + C </math> | ||
==== Integral da secante ==== | |||
Seja a função <math>f(x)=sec(x)</math>, dizemos que sua integral é a função <math>F(x)</math> e podemos deduzí-la através de substituições algébricas como segue: | Seja a função <math>f(x)=\sec(x)</math>, dizemos que sua integral é a função <math>F(x)</math> e podemos deduzí-la através de substituições algébricas como segue: | ||
<math>F(x)=\int sec(x) dx </math> | <math>F(x)=\int \sec(x) dx </math> | ||
multiplicando e dividindo <math>sec(x) + tg(x)</math>: | multiplicando e dividindo <math>\sec(x) + \ \mbox{tg}(x)</math>: | ||
<math>F(x)=\int \frac{sec^2(x)+sec(x)tg(x)}{sec(x)+tg(x)} dx</math> | <math>F(x)=\int \frac{\sec^2(x)+\sec(x)\ \mbox{tg}(x)}{\sec(x)+\ \mbox{tg}(x)} dx</math> | ||
Por outro lado, se: | Por outro lado, se: | ||
<math>u = sec(x) + tg(x)</math>, | <math>u = \sec(x) + \ \mbox{tg}(x)</math>, | ||
<math>du = [sec(x)tg(x) + sec^2(x)]dx</math> | <math>du = [\sec(x)\ \mbox{tg}(x) + \sec^2(x)]dx</math> | ||
logo, por substituição, temos: | logo, por substituição, temos: | ||
<math>\int \frac{du}{u} </math>, sendo <math>u = sec(x) + tg(x)</math>, o que nos permite fazer: | <math>\int \frac{du}{u} </math>, sendo <math>u = \sec(x) + \ \mbox{tg}(x)</math>, o que nos permite fazer: | ||
<math>F(x)= \ln |u|</math> | <math>F(x)= \ln |u|</math> | ||
Linha 191: | Linha 190: | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>F(x)=\ln|sec(x) + tg(x)| + C </math> | <math>F(x)=\ln|\sec(x) + \ \mbox{tg}(x)| + C </math> | ||
=== Cotangente e cossecante === | |||
Considerando a semelhança entre as definições das funções trigonométricas até aqui abordadas, observamos que para cada função, curiosamente há uma "co-função", assim como temos um seno e um "co-seno" temos uma tangente e uma "co-tangente". A função | Considerando a semelhança entre as definições das funções trigonométricas até aqui abordadas, observamos que para cada função, curiosamente há uma "co-função", assim como temos um seno e um "co-seno" temos uma tangente e uma "co-tangente". A função | ||
cotangente é definida tal qual a analogia adotada antes para seno e cosseno; podemos dizer que as funções estão relacionadas ao eixo ''y'' e as "co-funções" estão relacionadas ao eixo ''x'', a imagem de um ponto no ciclo trigonométrico a partir do eixo ''x'' é o cosseno do ângulo e o seno é a imagem do mesmo ponto vista pelo eixo ''y''. Para verificar essa relação observe o gráfico: | cotangente é definida tal qual a analogia adotada antes para seno e cosseno; podemos dizer que as funções estão relacionadas ao eixo ''y'' e as "co-funções" estão relacionadas ao eixo ''x'', a imagem de um ponto no ciclo trigonométrico a partir do eixo ''x'' é o cosseno do ângulo e o seno é a imagem do mesmo ponto vista pelo eixo ''y''. Para verificar essa relação observe o gráfico: | ||
[[ | [[Imagem:Circunferência trigonométrica.svg|400px]] | ||
'''Figura 8''' | '''Figura 8''' | ||
Linha 207: | Linha 206: | ||
Podemos deduzir a fórmula de definição da função cotangente fazendo uma análise de semelhança de triângulos, notamos no ciclo que: | Podemos deduzir a fórmula de definição da função cotangente fazendo uma análise de semelhança de triângulos, notamos no ciclo que: | ||
<math>\frac{1}{cotg(x)}=\frac{sen(x)}{cos(x)}</math> | <math>\frac{1}{\ \mbox{cotg}(x)}=\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}</math> | ||
O que nos revela: | O que nos revela: | ||
<math>cotg(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}</math> | <math>\ \mbox{cotg}(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}</math> | ||
{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\cot x\ ,\ \csc x</math> ou <math>\cot (x)\ ,\ \csc (x)</math> para representação de cotangente e cossecante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}} | |||
Da mesma forma podemos verificar uma relação de semelhança de triângulos para determinar a cossecante, vemos que existe a seguinte relação: | Da mesma forma podemos verificar uma relação de semelhança de triângulos para determinar a cossecante, vemos que existe a seguinte relação: | ||
<math>\frac{1}{cosec(x)}=\frac{cos(x)}{cotg(x)}</math> | <math>\frac{1}{\ \mbox{cosec}(x)}=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{cotg}(x)}</math> | ||
<math>\frac{1}{cosec(x)}=cos(x)\frac{sen(x)}{cos(x)}</math> | <math>\frac{1}{\ \mbox{cosec}(x)}=\cos(x)\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}</math> | ||
Que define a cossecante como: | Que define a cossecante como: | ||
<math>cosec(x)=\frac{1}{sen(x)}</math> | <math>\ \mbox{cosec}(x)=\frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}</math> | ||
====Identidades (3) ==== | |||
Algumas identidades são conseqüentes das definições, apresentamos as mais usuais que poderão ser úteis nos demais capítulos deste livro, as identidades, de modo geral, são altamente intercambiáveis devido a natureza cíclica das funções trigonométricas, no nosso estudo abordamos as mais utilizadas. | Algumas identidades são conseqüentes das definições, apresentamos as mais usuais que poderão ser úteis nos demais capítulos deste livro, as identidades, de modo geral, são altamente intercambiáveis devido a natureza cíclica das funções trigonométricas, no nosso estudo abordamos as mais utilizadas. | ||
Linha 230: | Linha 231: | ||
'''Conseqüentes das definições:''' | '''Conseqüentes das definições:''' | ||
<math>sen(x)cosec(x)=1</math> | <math>\ \mbox{sen}(x)\ \mbox{cosec}(x)=1</math> | ||
<math>cos(x)sec(x)=1</math> | <math>\cos(x)\sec(x)=1 </math> | ||
<math>tg(x)cotg(x)=1</math> | <math>\mbox{tg}(x)\ \mbox{cotg}(x)=1</math> | ||
==== Derivada da cotangente ==== | |||
Seja a função <math>f(x)=cotg(x)</math>, considerando que: | Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cotg}(x)</math>, considerando que: | ||
<math>f(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}</math> | <math>f(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}</math> | ||
Novamente usamos a regra da [[ | Novamente usamos a regra da [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]: | ||
<math>f\ '(x)=\frac{sen(x)[-sen(x)]-cos(x)cos(x)}{sen^2 (x)}</math> | <math>f\ '(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)[-\ \mbox{sen}(x)]-\cos(x)\cos(x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}</math> | ||
<math>f\ '(x)=-\frac{sen^2 (x)+cos^2 (x)}{sen^2 (x)}</math> | <math>f\ '(x)=-\frac{\ \mbox{sen}^2 (x)+cos^2 (x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}</math> | ||
<math>f\ '(x)=-\frac{1}{sen^2 (x)}</math> | <math>f\ '(x)=-\frac{1}{\ \mbox{sen}^2 (x)}</math> | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>f\ '(x)=-cosec^2 (x)</math> | <math>f\ '(x)=-\ \mbox{cosec}^2 (x)</math> | ||
==== Derivada da cossecante ==== | |||
Seja a função <math>f(x)=cosec(x)</math>, considerando que: | Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cosec}(x)</math>, considerando que: | ||
<math>f(x)=\frac{1}{sen(x)}</math> | <math>f(x)=\frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}</math> | ||
Novamente usamos a regra da [[ | Novamente usamos a regra da [[../Derivadas#T - 9 Razão|derivada da razão]]: | ||
<math>f\ '(x)=\frac{sen(x)\cdot 0 - 1 \cdot cos(x)}{sen^2 (x)}</math> | <math>f\ '(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)\cdot 0 - 1 \cdot \cos(x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}</math> | ||
<math>f\ '(x)=\frac{-cos(x)}{sen(x)} \cdot \frac{1}{sen(x)}</math> | <math>f\ '(x)=\frac{-\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)} \cdot \frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}</math> | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>f\ '(x)=-cotg(x)cosec(x)</math> | <math>f\ '(x)=-\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)</math> | ||
==== Integral da cotangente ==== | |||
Seja a função <math>f(x)=cotg(x)</math>, considerando que: | Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cotg}(x)</math>, considerando que: | ||
<math>f(x)=\frac{cos(x)}{sen(x)}</math> | <math>f(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}</math> | ||
Sua integral é: | Sua integral é: | ||
<math>F(x)=\int cotg(x) dx </math> | <math>F(x)=\int \ \mbox{cotg}(x) dx </math> | ||
<math>F(x)=\int \frac{cos(x)}{sen(x)} dx </math> | <math>F(x)=\int \frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)} dx </math> | ||
Sendo <math>u=sen(x)<math>: | Sendo <math>u=\ \mbox{sen}(x)</math>: | ||
<math>du= cos(x) dx</math> | <math>du= \cos(x) dx</math> | ||
Logo: | Logo: | ||
Linha 293: | Linha 294: | ||
E, por substituição: | E, por substituição: | ||
<math>F(x)=ln|sen(x)| + C </math> | <math>F(x)=\ln|\ \mbox{sen}(x)| + C </math> | ||
==== Integral da cossecante ==== | |||
Seja a função <math>f(x)=cosec(x)</math>, | Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cosec}(x)</math>, | ||
Sua integral é: | Sua integral é: | ||
<math>F(x)=\int cosec(x) dx </math> | <math>F(x)=\int \ \mbox{cosec}(x) dx </math> | ||
Sendo <math>u=cotg(x)-cosec(x)<math>: | Sendo <math>u=\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)</math>: | ||
<math>du= [cosec^2 (x) | <math>du= [-\ \mbox{cosec}^2 (x)+\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)]dx</math> | ||
Podemos então multiplicar e dividir ''u'' na equação da integral anterior: | Podemos então multiplicar e dividir ''u'' na equação da integral anterior: | ||
<math>F(x)=\int \frac{cosec^2 (x) | <math>F(x)=\int \frac{-\ \mbox{cosec}^2 (x)+\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)}{\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)} dx </math> | ||
Logo: | Logo: | ||
Linha 317: | Linha 318: | ||
E, por substituição: | E, por substituição: | ||
<math>F(x)=ln|cotg(x)-cosec(x)| + C </math> | <math>F(x)=\ln|\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)| + C </math> | ||
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== Inversas das trigonométricas == | |||
O conjunto de equações até o momento abordadas nos trazem uma nova questão: Quais as funções que nos permitem encontrar o ângulo a partir do resultado de uma função trigonométrica? | O conjunto de equações até o momento abordadas nos trazem uma nova questão: Quais as funções que nos permitem encontrar o ângulo a partir do resultado de uma função trigonométrica? | ||
Linha 328: | Linha 328: | ||
A resposta está nas inversas das funções trigonométricas, também chamamos de arc-funções. Uma arc-função é uma função na qual podemos inserir o valor da função e encontrar o arco que originou este resultado, por isto dizemos que a '''<math>arcfunc(x)</math>''' é aquela que retorna o valor do arco cuja função resulta em ''x''. | A resposta está nas inversas das funções trigonométricas, também chamamos de arc-funções. Uma arc-função é uma função na qual podemos inserir o valor da função e encontrar o arco que originou este resultado, por isto dizemos que a '''<math>arcfunc(x)</math>''' é aquela que retorna o valor do arco cuja função resulta em ''x''. | ||
=== | === arcseno e arccosseno === | ||
Conforme o anteriormente | Conforme o anteriormente exposto, temos que encontrar as funções que nos dão o valor do arco que forma um seno ''x'' e o arco que forma um cosseno ''x'', para isto cabe uma observação: | ||
#:O seno e o cosseno podem ser resultado de vários ângulos diferentes, devido a característica cíclica que as mesmas apresentam quando assumimos valores em <math>(- \infty , \infty)</math>, portanto não existem as funções inversas do seno e cosseno neste intervalo. | #:O seno e o cosseno podem ser resultado de vários ângulos diferentes, devido a característica cíclica que as mesmas apresentam quando assumimos valores em <math>(- \infty , \infty)</math>, portanto não existem as funções inversas do seno e cosseno neste intervalo. | ||
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Assim, dizemos que: | Assim, dizemos que: | ||
<math>y=arcsen(x)\ \exists \quad \forall \ x=sen(y) \ | <math>y=\ \mbox{arcsen}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\ \mbox{sen}(y) \land y \in\ \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] </math> | ||
Da mesma forma que: | Da mesma forma que: | ||
<math>y=arccos(x)\ \exists \quad \forall \ x=cos(y) \ | <math>y=\ \mbox{arccos}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\cos(y) \land y \in\ \left [0,\pi\right ] </math> | ||
{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\sin^{-1} x\ ,\ \cos^{-1} x</math> ou <math>\sin^{-1} (x)\ ,\ \cos^{-1} (x)</math> ou <math>\arcsin x\ ,\ \ \mbox{arccos} x</math> ou ainda <math>\arcsin (x)\ ,\ \ \mbox{arccos} (x)</math>para representação de arcseno e arccosseno respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}} | |||
==== Derivadas do arcseno e arccosseno ==== | |||
Seja a função <math>y=arcsen(x)</math>, sendo a sua inversa: | Seja a função <math>y=\ \mbox{arcsen}(x) </math>, sendo a sua inversa: | ||
<math>x=sen(y)</math>, | <math>x=\ \mbox{sen}(y)</math>, | ||
podemos operá-la desta forma: | podemos operá-la desta forma: | ||
<math>dx=cos(y)dy</math> | <math>dx=\cos(y)dy</math> | ||
<math>\frac{dx}{dy}=cos(y)</math>, | <math>\frac{dx}{dy}=\cos(y)</math>, | ||
Por outro lado: | Por outro lado: | ||
<math>sen^2(y)+cos^2(y)=1</math> | <math>\ \mbox{sen}^2(y)+\cos^2(y)=1</math> | ||
<math>cos(y)=\sqrt{1-sen^2(y)}</math> | <math>\cos(y)=\sqrt{1-\ \mbox{sen}^2(y)}</math> | ||
<math>cos(y)=\sqrt{1-x^2}</math> | <math>\cos(y)=\sqrt{1-x^2}</math> | ||
O que nos dá: | O que nos dá: | ||
Linha 373: | Linha 374: | ||
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> | ||
Ainda temos que a função <math>z=arccos(x)</math>, sendo a sua inversa: | Ainda temos que a função <math>z=\ \mbox{arccos}(x)</math>, sendo a sua inversa: | ||
<math>x=cos(z)</math>, | <math>x=\cos(z)</math>, | ||
podemos operá-la desta forma: | podemos operá-la desta forma: | ||
<math>dx=-sen(z)dz</math> | <math>dx=-\ \mbox{sen}(z)dz</math> | ||
<math>\frac{dx}{dz}=-sen(z)</math>, | <math>\frac{dx}{dz}=-\ \mbox{sen}(z)</math>, | ||
Por outro lado: | Por outro lado: | ||
<math>sen^2(z)+cos^2(z)=1</math> | <math>\ \mbox{sen}^2(z)+\cos^2(z)=1</math> | ||
<math>sen(z)=\sqrt{1-cos^2(z)}</math> | <math>\ \mbox{sen}(z)=\sqrt{1-\cos^2(z)}</math> | ||
<math>sen(z)=\sqrt{1-x^2}</math> | <math>\ \mbox{sen}(z)=\sqrt{1-x^2}</math> | ||
O que nos dá: | O que nos dá: | ||
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<math>\frac{dz}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> | <math>\frac{dz}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> | ||
==== Integrais do arcseno e arccosseno ==== | |||
Para integração das funções arcseno e arccosseno, veja o capítulo de [[ | Para integração das funções arcseno e arccosseno, veja o capítulo de [[../Técnicas de integração|técnicas de integração]], para uma completa abordagem do tema. | ||
=== Arctangente e arccotangente === | |||
Definimos a função: | Definimos a função: | ||
Linha 412: | Linha 413: | ||
<math>x=tg(y)</math>, | <math>x=tg(y)</math>, | ||
{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\tan^{-1} x\ ,\ \cot^{-1} x</math> ou <math>\tan^{-1} (x)\ ,\ \cot^{-1} (x)</math> ou <math>\arctan x\ ,\ \arccot x</math> ou ainda <math>\arctan (x)\ ,\ \arccot (x)</math>para representação de arctangente e arccotangente respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}} | |||
tangente de ''y'', para todo o intervalo <math>(-\infty, \infty)</math>, porque no mesmo há apenas um valor de tangente para cada arco. | tangente de ''y'', para todo o intervalo <math>(-\infty, \infty)</math>, porque no mesmo há apenas um valor de tangente para cada arco. | ||
Linha 425: | Linha 428: | ||
cotangente de ''z'', para todo o intervalo <math>(-\infty, \infty)</math>, porque no mesmo há apenas um valor de cotangente para cada arco. | cotangente de ''z'', para todo o intervalo <math>(-\infty, \infty)</math>, porque no mesmo há apenas um valor de cotangente para cada arco. | ||
==== Derivadas da arctangente e arccotangente ==== | |||
Seja a função <math>y=arctg(x)</math>, sendo a sua inversa: | Seja a função <math>y=arctg(x)</math>, sendo a sua inversa: | ||
Linha 467: | Linha 470: | ||
<math>\frac{dz}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}</math> | <math>\frac{dz}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}</math> | ||
==== Integrais da arctangente e arccotangente ==== | |||
Para integração das funções arctangente e arccotangente, veja o capítulo de [[ | Para integração das funções arctangente e arccotangente, veja o capítulo de [[../Técnicas de integração|técnicas de integração]], para uma completa abordagem do tema. | ||
=== Arcsecante e arccossecante === | |||
Definimos a função: | Definimos a função: | ||
<math>y=arcsec(x)</math>, | <math>y=\ \mbox{arcsec}(x)</math>, | ||
arcsecante de ''x'', como a inversa da função: | |||
<math>x=\sec(y) </math>, | |||
{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\sec^{-1} x\ ,\ \csc^{-1} x</math> ou <math>\sec^{-1} (x)\ ,\ \csc^{-1} (x)</math> ou <math>\arcsec x\ ,\ \arccsc x</math> ou <math>\arcsec (x)\ ,\ \arccsc (x)</math> para representação de arcsecante e arccossecante respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}} | |||
secante de ''y'', para os intervalos de ''x'': <math>(-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)</math>, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco. | secante de ''y'', para os intervalos de ''x'': <math>(-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)</math>, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco. | ||
A função <math>arcsec(x)</math> é relacionada a função <math>arccos(x)</math> como segue: | A função <math>\ \mbox{arcsec}(x)</math> é relacionada a função <math>\ \mbox{arccos}(x)</math> como segue: | ||
<math>arcsec(x)=arccos \left(\frac{1}{x} \right)</math> | <math>\ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arccos} \left(\frac{1}{x} \right)</math> | ||
Do mesmo modo podemos definir a função: | Do mesmo modo podemos definir a função: | ||
<math>z=arccosec(t)</math>, | <math>z=\ \mbox{arccosec}(t)</math>, | ||
arccosecante de ''t'', como a inversa da função: | arccosecante de ''t'', como a inversa da função: | ||
<math>t=cosec(z)</math>, | <math>t=\ \mbox{cosec}(z)</math>, | ||
cosecante de ''y'', para os intervalos de ''x'': <math>(-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)</math>, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco. | cosecante de ''y'', para os intervalos de ''x'': <math>(-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)</math>, onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco. | ||
A função <math>arccosec(x)</math> é relacionada a função <math>arcsen(x)</math> como segue: | A função <math>\ \mbox{arccosec}(x)</math> é relacionada a função <math>\ \mbox{arcsen}(x)</math> como segue: | ||
<math>arcsec(x)=arcsen \left(\frac{1}{x} \right)</math> | <math>\ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arcsen} \left(\frac{1}{x} \right)</math> | ||
==== Derivadas da arcsecante e arccossecante ==== | |||
Seja a função: | Seja a função: | ||
<math>y=arcsec(x)</math> | <math>y=\ \mbox{arcsec}(x)</math> | ||
que tem correspondência em: | que tem correspondência em: | ||
<math>arcsec(x)=arccos \left (\frac{1}{ | <math>\ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arccos} \left (\frac{1}{x} \right)</math> | ||
Sendo: | Sendo: | ||
<math>\frac{d[arccos(t)]}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \left(\frac{dt}{dx}\right)</math> | <math>\frac{d[\ \mbox{arccos}(t)]}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \left(\frac{dt}{dx}\right)</math> | ||
<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{x} \right)^2}} \left( - \frac{1}{x^2}\right)</math> | <math>\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{x} \right)^2}} \left( - \frac{1}{x^2}\right)</math> | ||
Linha 525: | Linha 530: | ||
para <math>|x|>1</math> | para <math>|x|>1</math> | ||
==== Integrais da arcsecante e arccossecante ==== | |||
Para integração das funções arcsecante e arccossecante, veja o capítulo de [[ | Para integração das funções arcsecante e arccossecante, veja o capítulo de [[../Técnicas de integração|técnicas de integração]], para uma completa abordagem do tema. | ||
=== Trigonométricas inversas como integrais algébricas === | |||
Como resultado das derivadas de funções trigonométricas inversas algumas integrais de funções algébricas podem ser convertidas em "arc-funções", são elas: | Como resultado das derivadas de funções trigonométricas inversas algumas integrais de funções algébricas podem ser convertidas em "arc-funções", são elas: | ||
<math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = arcsen(x)+C</math> | <math>\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \ \mbox{arcsen}(x)+C</math> | ||
<math>\int \frac{dx}{1+x^2} = arctg(x)+C</math> | <math>\int \frac{dx}{1+x^2} = \ \mbox{arctg}(x)+C</math> | ||
<math>\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} = arcsec(|x|)+C</math> | <math>\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} = \ \mbox{arcsec}(|x|)+C</math> | ||
Em todas, como é de costume, encontramos a constante de antidiferenciação ''C''. | Em todas, como é de costume, encontramos a constante de antidiferenciação ''C''. | ||
---- | ---- | ||
== hiperbólicas == | |||
A hipérbole é uma das funções [[w:Cónicas|cônicas]] exploradas em geometria analítica e tem como característica uma íntima relação com as exponenciais <math>e^x</math> e <math>e^{-x}</math>, as funções desta seção são obtidas segundo o mesmo princípio das funções trigonométricas utilizando-se da hipérbole como função geratriz, ou seja, para cada ponto cartesiano de um gráfico da hipérbole podemos adotar a análise feita no ciclo trigonométrico, desta análise resultam as funções discutidas nesta seção. | A hipérbole é uma das funções [[w:Cónicas|cônicas]] exploradas em geometria analítica e tem como característica uma íntima relação com as exponenciais <math>e^x</math> e <math>e^{-x}</math>, as funções desta seção são obtidas segundo o mesmo princípio das funções trigonométricas utilizando-se da hipérbole como função geratriz, ou seja, para cada ponto cartesiano de um gráfico da hipérbole podemos adotar a análise feita no ciclo trigonométrico, desta análise resultam as funções discutidas nesta seção. | ||
As funções hiperbólicas são | As funções hiperbólicas são essencialmente exponenciais, portanto o seu estudo é simplificado nesta seção, visto que suas conseqüências são imediatamente dedutíveis pelos princípios já vistos na seção que trata de funções exponenciais. | ||
=== Seno e cosseno hiperbólicos === | |||
= | A função seno hiperbólico é obtida a partir da hipérbole da mesma forma que o seno no ciclo trigonométrico, sua definição pode ser obtida por análise geométrica do gráfico da hipérbole <math>y=\frac{1}{2x}</math>, onde encontramos: | ||
<math>\ \mbox{senh}(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{2} </math> | |||
A função cosseno hiperbólico, que referenciamos ao cosseno no ciclo trigonométrico pode ser encontrado pela seguinte expressão: | |||
<math>\cosh(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{2} </math> | |||
Sendo obtida de forma similar a anterior. | |||
O fato destas funções serem resultantes da soma e subtração de uma exponencial crescente <math>e^x</math> e uma exponencial decrescente <math>e^{-x}</math> lhes conferem propriedades únicas, do mesmo modo temos a possibilidade de fazer analogias para uma fácil assimilação dos seus conceitos. Estas funções também são largamente úteis devido ao fato de serem comuns em problemas reais na física, na química e nas engenharias. | O fato destas funções serem resultantes da soma e subtração de uma exponencial crescente <math>e^x</math> e uma exponencial decrescente <math>e^{-x}</math> lhes conferem propriedades únicas, do mesmo modo temos a possibilidade de fazer analogias para uma fácil assimilação dos seus conceitos. Estas funções também são largamente úteis devido ao fato de serem comuns em problemas reais na física, na química e nas engenharias. | ||
==== Relacionando seno e cosseno hiperbólico ==== | |||
Considere a operação: <math>cosh^2 (x) - senh^2 (x) </math>, | Considere a operação: <math>\cosh^2 (x) - \ \mbox{senh}^2 (x) </math>, | ||
Da definição temos: | Da definição temos: | ||
Linha 579: | Linha 584: | ||
logo: | logo: | ||
<math>cosh^2 (x) - senh^2 (x) = 1</math> | <math>\cosh^2 (x) - \ \mbox{senh}^2 (x) = 1</math> | ||
==== Derivada do seno hiperbólico ==== | |||
Seja a função seno hiperbólico <math>y=senh(x)</math>, podemos dizer que: | Seja a função seno hiperbólico <math>y=\ \mbox{senh}(x)</math>, podemos dizer que: | ||
<math>y=\frac{e^x - e^{-x}}{2} </math> | <math>y=\frac{e^x - e^{-x}}{2} </math> | ||
Linha 596: | Linha 600: | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>\frac{dy}{dx}=cosh(x)</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\cosh(x)</math> | ||
==== Derivada do cosseno hiperbólico ==== | |||
Seja a função cosseno hiperbólico <math>y=cosh(x)</math>, podemos dizer que: | Seja a função cosseno hiperbólico <math>y=\cosh(x)</math>, podemos dizer que: | ||
<math>y=\frac{e^x + e^{-x}}{2} </math> | <math>y=\frac{e^x + e^{-x}}{2} </math> | ||
Linha 613: | Linha 616: | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>\frac{dy}{dx}=senh(x)</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\ \mbox{senh}(x)</math> | ||
==== Integral do seno hiperbólico ==== | |||
A integral do seno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição: | A integral do seno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição: | ||
Linha 630: | Linha 632: | ||
Concluimos que: | Concluimos que: | ||
<math>\int senh(x) = cosh(x) + C </math> | <math>\int \ \mbox{senh}(x) = \cosh(x) + C </math> | ||
==== Integral do cosseno hiperbólico ==== | |||
A integral do cosseno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição: | A integral do cosseno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição: | ||
Linha 646: | Linha 648: | ||
Concluimos que: | Concluimos que: | ||
<math>\int cosh(x) = senh(x) + C </math> | <math>\int \cosh(x) = \ \mbox{senh}(x) + C </math> | ||
=== Tangente e secante hiperbólicas === | |||
Da mesma forma que no caso trigonométrico a tangente e as outras funções hiperbólicas são definidas através do seno e do cosseno, ou seja, a tangente é definida como: | Da mesma forma que no caso trigonométrico a tangente e as outras funções hiperbólicas são definidas através do seno e do cosseno, ou seja, a tangente é definida como: | ||
<math>tgh(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}</math> | <math>\ \mbox{tgh}(x)=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}</math> | ||
ou | ou | ||
<math>tgh(x)=\frac{senh(x)}{cosh(x)}</math> | <math>\ \mbox{tgh}(x)=\frac{\ \mbox{senh}(x)}{\cosh(x)}</math> | ||
A secante hiperbólica é definida como: | A secante hiperbólica é definida como: | ||
<math>sech(x)=\frac{2}{e^x + e^{-x}}</math> | <math>\ \mbox{sech}(x)=\frac{2}{e^x + e^{-x}}</math> | ||
ou | ou | ||
<math>sech(x)=\frac{1}{cosh(x)}</math> | <math>\ \mbox{sech}(x)=\frac{1}{\cosh(x)}</math> | ||
==== Relacionando tangente e secante hiperbólicas ==== | |||
Vamos desenvolver a expressão abaixo: | Vamos desenvolver a expressão abaixo: | ||
<math>1-tgh^2(x)</math> | <math>1-\ \mbox{tgh}^2(x)</math> | ||
<math>1-\left( \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \right)^2 </math> | <math>1-\left( \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \right)^2 </math> | ||
Linha 680: | Linha 682: | ||
<math>\frac{4}{\left(e^{x} + e^{-x}\right)^2} </math> | <math>\frac{4}{\left(e^{x} + e^{-x}\right)^2} </math> | ||
<math>\frac{1}{cosh^2(x)}</math> | <math>\frac{1}{\cosh^2(x)}</math> | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>1-tgh^2(x)=sech^2(x)</math> | <math>1-\ \mbox{tgh}^2(x)=\ \mbox{sech}^2(x)</math> | ||
==== Derivada da tangente hiperbólica ==== | |||
Seja a função <math>y=tgh(x)</math>, temos: | Seja a função <math>y=\ \mbox{tgh}(x)</math>, temos: | ||
<math>y=\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}</math> | <math>y=\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}</math> | ||
Linha 694: | Linha 696: | ||
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right) - \left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right)}{\left(e^{x} + e^{-x} \right)^2}</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right) - \left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right)}{\left(e^{x} + e^{-x} \right)^2}</math> | ||
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left( cosh^2(x) \right) - \left( senh^2(x) \right)}{\left( cosh^2(x) \right)}</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left( \cosh^2(x) \right) - \left( \ \mbox{senh}^2(x) \right)}{\left( \cosh^2(x) \right)}</math> | ||
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{cosh^2(x)}</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cosh^2(x)}</math> | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>\frac{dy}{dx}=sech^2(x)</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\ \mbox{sech}^2(x)</math> | ||
==== Derivada da secante hiperbólica ==== | |||
Seja a função <math>y=sech(x)</math>, temos: | Seja a função <math>y=\ \mbox{sech}(x)</math>, temos: | ||
<math>y=\frac{2}{e^{x} + e^{-x}}</math> | <math>y=\frac{2}{e^{x} + e^{-x}}</math> | ||
Linha 715: | Linha 716: | ||
e finalmente: | e finalmente: | ||
<math>\frac{dy}{dx}=-sech(x)tgh(x)</math> | <math>\frac{dy}{dx}=-\ \mbox{sech}(x)\ \mbox{tgh}(x)</math> | ||
==== Integral da tangente hiperbólica ==== | |||
Seja a função <math>f(x)=tgh(x)</math>, temos: | Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{tgh}(x)</math>, temos: | ||
<math>F(x)=\int \frac{senh(x)}{cosh(x)} dx</math> | <math>F(x)=\int \frac{\ \mbox{senh}(x)}{\cosh(x)} dx</math> | ||
Se fizermos: | Se fizermos: | ||
<math>u=cosh(x)</math> | <math>u=\cosh(x)</math> | ||
<math>du=senh(x)dx</math> | <math>du=\ \mbox{senh}(x)dx</math> | ||
verificamos: | verificamos: | ||
Linha 737: | Linha 738: | ||
e finalmente: | e finalmente: | ||
<math>F(x)=\ln |cosh(x)| + C </math> | <math>F(x)=\ln |\cosh(x)| + C </math> | ||
==== Integral da secante hiperbólica ==== | |||
Para integração da função secante hiperbólica, veja o capítulo de [[ | Para integração da função secante hiperbólica, veja o capítulo de [[../Técnicas de integração|técnicas de integração]], para uma completa abordagem do tema. | ||
=== Cotangente e cossecante hiperbólicas === | |||
A cotangente hiperbólica é definida como: | A cotangente hiperbólica é definida como: | ||
<math>cotgh(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}</math> | <math>\ \mbox{cotgh}(x)=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}</math> | ||
ou | ou | ||
<math>cotgh(x)=\frac{cosh(x)}{senh(x)}</math> | <math>\ \mbox{cotgh}(x)=\frac{\cosh(x)}{\ \mbox{senh}(x)}</math> | ||
A cosecante hiperbólica é definida como: | A cosecante hiperbólica é definida como: | ||
<math>cosech(x)=\frac{2}{e^x - e^{-x}}</math> | <math>\ \mbox{cosech}(x)=\frac{2}{e^x - e^{-x}}</math> | ||
ou | ou | ||
<math>cosech(x)=\frac{1}{senh(x)}</math> | <math>\ \mbox{cosech}(x)=\frac{1}{\ \mbox{senh}(x)}</math> | ||
==== Relacionando cotangente e cossecante hiperbólicas ==== | |||
Vamos desenvolver a expressão abaixo: | Vamos desenvolver a expressão abaixo: | ||
<math>1-cotgh^2(x)</math> | <math>1-\ \mbox{cotgh}^2(x)</math> | ||
<math>1-\left( \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \right)^2 </math> | <math>1-\left( \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \right)^2 </math> | ||
Linha 776: | Linha 776: | ||
<math>-\frac{4}{\left(e^{x} - e^{-x}\right)^2} </math> | <math>-\frac{4}{\left(e^{x} - e^{-x}\right)^2} </math> | ||
<math>-\frac{1}{senh^2(x)}</math> | <math>-\frac{1}{\ \mbox{senh}^2(x)}</math> | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>1-cotgh^2(x)=cosech^2(x)</math> | <math>1-\ \mbox{cotgh}^2(x)=\ \mbox{cosech}^2(x)</math> | ||
==== Derivada da cotangente hiperbólica ==== | |||
Seja a função <math>y=cotgh(x)</math>, temos: | Seja a função <math>y=\ \mbox{cotgh}(x)</math>, temos: | ||
<math>y=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}</math> | <math>y=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}</math> | ||
Linha 790: | Linha 790: | ||
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right) - \left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right)}{\left(e^{x} - e^{-x} \right)^2}</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left(e^{x} - e^{-x}\right)\left(e^{x} - e^{-x}\right) - \left(e^{x} + e^{-x}\right)\left(e^{x} + e^{-x}\right)}{\left(e^{x} - e^{-x} \right)^2}</math> | ||
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left( senh^2(x) \right) - \left( cosh^2(x) \right)}{\left( senh^2(x) \right)}</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\frac{\left( \ \mbox{senh}^2(x) \right) - \left( cosh^2(x) \right)}{\left( \ \mbox{senh}^2(x) \right)}</math> | ||
<math>\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{senh^2(x)}</math> | <math>\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\ \mbox{senh}^2(x)}</math> | ||
Portanto: | Portanto: | ||
<math>\frac{dy}{dx}=-cosech^2(x)</math> | <math>\frac{dy}{dx}=-\ \mbox{cosech}^2(x)</math> | ||
==== Derivada da cossecante hiperbólica ==== | |||
Seja a função <math>y=\ \mbox{cosech}(x)</math>, temos: | |||
Seja a função <math>y=cosech(x)</math>, temos: | |||
<math>y=\frac{2}{e^{x} - e^{-x}}</math> | <math>y=\frac{2}{e^{x} - e^{-x}}</math> | ||
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e finalmente: | e finalmente: | ||
<math>\frac{dy}{dx}=-cosech(x)cotgh(x)</math> | <math>\frac{dy}{dx}=-\ \mbox{cosech}(x)\ \mbox{cotgh}(x)</math> | ||
==== Integral da cotangente hiperbólica ==== | |||
Seja a função <math>f(x)=cotgh(x)</math>, temos: | Seja a função <math>f(x)=\ \mbox{cotgh}(x)</math>, temos: | ||
<math>F(x)=\int \frac{cosh(x)}{senh(x)} dx</math> | <math>F(x)=\int \frac{\cosh(x)}{\ \mbox{senh}(x)} dx</math> | ||
Se fizermos: | Se fizermos: | ||
<math>u=senh(x)</math> | <math>u=\ \mbox{senh}(x)</math> | ||
<math>du=cosh(x)dx</math> | <math>du=\cosh(x)dx</math> | ||
verificamos: | verificamos: | ||
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e finalmente: | e finalmente: | ||
<math>F(x)=\ln |senh(x)| + C </math> | <math>F(x)=\ln |\ \mbox{senh}(x)| + C </math> | ||
==== Integral da cossecante hiperbólica ==== | |||
Para integração da função cossecante hiperbólica, veja o capítulo de [[ | Para integração da função cossecante hiperbólica, veja o capítulo de [[../Técnicas de integração|técnicas de integração]], para uma completa abordagem do tema. | ||
== Inversas das hiperbólicas == | |||
As funções hiperbólicas inversas são particularmente interessantes, elas estão ligadas ao logaritmo natural e por este motivo, sua análise é excencialmente exponencial, como a análise das funções hiperbólicas, deste fato nascem novas possibilidades para lidar com problemas relacionados a análises de estruturas não lineares. | As funções hiperbólicas inversas são particularmente interessantes, elas estão ligadas ao logaritmo natural e por este motivo, sua análise é excencialmente exponencial, como a análise das funções hiperbólicas, deste fato nascem novas possibilidades para lidar com problemas relacionados a análises de estruturas não lineares. | ||
=== Análise da inversão das variáveis === | |||
As funções hiperbólicas são característicamente analisadas de forma semelhante às trigonométricas, o que nos sugere a análise da inversão das variáveis das equações hiperbólicas da forma: | As funções hiperbólicas são característicamente analisadas de forma semelhante às trigonométricas, o que nos sugere a análise da inversão das variáveis das equações hiperbólicas da forma: | ||
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É importante notar que, embora as funções hiperbólicas sejam semelhantes às trigonométricas, estas funções se baseiam em ângulos que devem ser analisados de forma diferente dos trigonométricos, lembre-se que o raio de uma função circular é constante, o que não acotece com uma função baseada em uma cônica, neste caso a hipérbole, por isso escolhemos a nomeclatura de '''''arg'''funch(x)'', pois não podemos classificar os ângulos hiperbólicos como arcos. | É importante notar que, embora as funções hiperbólicas sejam semelhantes às trigonométricas, estas funções se baseiam em ângulos que devem ser analisados de forma diferente dos trigonométricos, lembre-se que o raio de uma função circular é constante, o que não acotece com uma função baseada em uma cônica, neste caso a hipérbole, por isso escolhemos a nomeclatura de '''''arg'''funch(x)'', pois não podemos classificar os ângulos hiperbólicos como arcos. | ||
=== argsenh e argcosenh === | |||
Agora consideremos a função '''<math>t=senh(x)</math>''', então: | Agora consideremos a função '''<math>t=\ \mbox{senh}(x)</math>''', então: | ||
<math>t=\frac{e^x - e^{-x}}{2}</math> | <math>t=\frac{e^x - e^{-x}}{2}</math> | ||
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Substituindo as variáveis ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'', temos a inversa de <math>senh(x)</math> que é: | Substituindo as variáveis ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'', temos a inversa de <math>senh(x)</math> que é: | ||
<math>argsenh(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|</math> | <math>\ \mbox{argsenh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|</math> | ||
No caso de '''<math>t=cosh(x)</math>''', a dedução é similar: | No caso de '''<math>t=\cosh(x) </math>''', a dedução é similar: | ||
<math>t=\frac{e^x + e^{-x}}{2}</math> | <math>t=\frac{e^x + e^{-x}}{2}</math> | ||
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Substituindo as variáveis ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'', temos a inversa de <math>cosh(x)</math> que é: | Substituindo as variáveis ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'', temos a inversa de <math>cosh(x)</math> que é: | ||
<math>argcosh(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 - 1}|</math> | <math>\ \mbox{argcosh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 - 1}|</math>, <math>|x|>1</math> | ||
==== Derivadas de argsenh(x) e argcosh(x) ==== | |||
Considerando as fórmulas deduzidas acima, temos: | Considerando as fórmulas deduzidas acima, temos: | ||
'''<math>y=argsenh(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|</math>''' | '''<math>y=\ \mbox{argsenh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 + 1}|</math>''' | ||
de onde deduzimos: | de onde deduzimos: | ||
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<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}</math> | ||
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E para '''<math>y=\ \mbox{argcosh}(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 - 1}|</math>''' | |||
E para '''<math>y=argcosh(x)=\ln|x + \sqrt{x^2 - 1}|</math>''' | |||
de onde deduzimos: | de onde deduzimos: | ||
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e finalmente: | e finalmente: | ||
<math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math> | <math>\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}</math>, <math>|x|>1</math> | ||
==== Integrais de argsenh(x) e argcosh(x) ==== | |||
As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: [[ | As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: [[../Técnicas de integração|Técnicas de integração]], proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo. | ||
=== argtgh e argsech === | |||
Considerando <math>t=tgh(x)</math>, temos: | Considerando '''<math>t=\ \mbox{tgh}(x)</math>''', temos: | ||
<math>t=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}</math> | <math>t=\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}</math> | ||
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<math>(t-1)u^2 + t + 1 = 0</math> | <math>(t-1)u^2 + t + 1 = 0</math> | ||
cujas raízes são: | |||
<math>u= \pm \sqrt{\frac{1+t}{1-t}}</math> | <math>u= \pm \sqrt{\frac{1+t}{1-t}}</math> | ||
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Substituindo ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'': | Substituindo ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'': | ||
<math>y = \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}</math> | <math>y = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}</math> | ||
Que é a inversa da <math>\ \mbox{tgh}(x)</math>, portanto: | |||
<math>\ \mbox{argtgh}(x) = \ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}</math>, <math> |x|<1 </math> | |||
Ou, | |||
<math>\ \mbox{argtgh}(x) = \frac{1}{2} \ln {\frac{1+x}{1-x}}</math>, <math> |x|<1 </math> | |||
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Considerando '''<math>t=\ \mbox{sech}(x)</math>''', temos: | |||
<math>t=\frac{2}{e^x + e^{-x}}</math> | |||
se <math>u=e^x</math>: | |||
<math>t=\frac{2}{u + u^{-1}}</math> | |||
o que resulta na equação: | |||
<math>tu^2 - 2u + t = 0</math> | |||
Cujas raízes são: | |||
<math>u=\frac{1 \pm \sqrt{1-t^2}}{t}</math> | |||
Onde apenas podemos admitir <math>u > 0 </math> e <math>0 < t < 1 </math>: | |||
<math>e^x=\frac{1 - \sqrt{1-t^2}}{t}</math> | |||
Substituindo ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'': | |||
<math>y=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x}\right|</math> | |||
Que é a inversa da <math>sech(x)</math>, portanto: | |||
<math>\ \mbox{argsech}(x)=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x}\right|</math>, <math>0 < x < 1 </math> | |||
==== Derivadas de argtgh e argsech ==== | |||
Seja '''<math>y = \ \mbox{argtgh}(x)</math>''' <math>= \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}</math>, <math>|x|<1</math> | |||
Deduzimos que sua derivada é: | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\ \mbox{argtgh}(x)]}{dx}</math> | |||
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna: | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1-x}{1+x} \right) \left[\frac{1-x - (1+x)(-1)}{(1-x)^2}\right]</math> | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{1-x}{1+x} \right) \left[\frac{2}{(1-x)^2}\right]</math> | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[\frac{2}{(1+x)(1-x)} \right] </math> | |||
e, finalmente: | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^2} </math>, <math>|x|<1</math> | |||
Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não existe fora deste domínio. | |||
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Seja '''<math>y = \ \mbox{argsech}(x)</math>''' <math>= \ln \left|\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{x}\right|</math>, | |||
Deduzimos que sua derivada é: | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\mbox{argsenh}(x)]}{dx}</math> | |||
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna: | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}} \left[ \frac{x \frac{-(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}-\left(1-\sqrt{1-x^2} \right)}{x^2}\right]</math> | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}} \left( \frac{x^2 - \sqrt{1-x^2} + 1 - x^2}{x^2 \sqrt{1-x^2}}\right)</math> | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1-x^2}} \left( \frac{1 - \sqrt{1-x^2}}{x^2 \sqrt{1-x^2}}\right)</math> | |||
e, finalmente: | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \sqrt{1-x^2}}</math> | |||
==== Integrais de argtgh e argsech ==== | |||
As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: [[../Técnicas de integração|Técnicas de integração]], proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo. | |||
=== argcotgh e argcosech === | |||
Considerando '''<math>t=\ \mbox{cotgh}(x)</math>''', temos: | |||
<math>t=\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}</math> | |||
se <math>u=e^x</math>: | |||
<math>t=\frac{u + u^{-1}}{u - u^{-1}}</math> | |||
o que resulta na equação: | |||
<math>(1-t)u^2 - t - 1 = 0</math> | |||
cujas raízes são: | |||
<math>u= \pm \sqrt{\frac{t+1}{t-1}}</math> | |||
Onde apenas podemos admitir <math>u > 0 </math> e <math> t < 1 </math>: | |||
<math>e^x = \sqrt{\frac{t+1}{t-1}}</math> | |||
Substituindo ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'': | |||
<math>y = \ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}</math> | |||
Que é a inversa da <math>\ \mbox{cotgh}(x)</math>, portanto: | |||
<math>\ \mbox{argcotgh}(x) = \ln \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}</math>, <math>|x|>1</math> | |||
Ou, | |||
<math>\ \mbox{argcotgh}(x) = \frac{1}{2} \ln {\frac{x+1}{x-1}}</math>, <math>|x|>1</math> | |||
---- | |||
Considerando '''<math>t=\ \mbox{cosech}(x)</math>''', temos: | |||
<math>t=\frac{2}{e^x - e^{-x}}</math> | |||
se <math>u=e^x</math>: | |||
<math>t=\frac{2}{u - u^{-1}}</math> | |||
o que resulta na equação: | |||
<math>tu^2 - 2u - t = 0</math> | |||
Cujas raízes são: | |||
<math>u=\frac{1 \pm \sqrt{1+t^2}}{t}</math> | |||
Onde apenas podemos admitir <math>u > 0 </math>: | |||
<math>e^x=\frac{1 - \sqrt{1+t^2}}{t}</math> | |||
Substituindo ''x'' por ''y'' e ''t'' por ''x'': | |||
<math>y=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x}\right|</math> | |||
Que é a inversa da <math>cosech(x)</math>, portanto: | |||
<math>\ \mbox{argcosech}(x)=\ln \left|\frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x}\right|</math> | |||
==== Derivadas de argcotgh e argcosech ==== | |||
Seja '''<math>y = \ \mbox{argcotgh}(x)</math>''' <math>= \frac{1}{2} \ln \frac{x-1}{x+1}</math>, <math>|x|>1</math> | |||
Deduzimos que sua derivada é: | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\ \mbox{argcotgh}(x)]}{dx}</math> | |||
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna: | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{x+1}{x-1} \right) \left[\frac{x+1 - (x-1)}{(x+1)^2}\right]</math> | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{x+1}{x-1} \right) \left[\frac{2}{(x+1)^2}\right]</math> | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left[\frac{2}{(x-1)(x+1)} \right] </math> | |||
e, finalmente: | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^2} </math>, <math>|x|>1</math> | |||
Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio. | |||
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Seja '''<math>y = \ \mbox{argcosech}(x)</math>''' <math>= \ln \left|\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x}\right|</math>, | |||
Deduzimos que sua derivada é: | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{d[\mbox{argcosh}(x)]}{dx}</math> | |||
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna: | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}} \left[ \frac{x \frac{-2x}{2\sqrt{1+x^2}}-\left(1-\sqrt{1+x^2} \right)}{x^2}\right]</math> | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}} \left( \frac{-x^2 - \sqrt{1+x^2} + 1 + x^2}{x^2 \sqrt{1+x^2}}\right)</math> | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-\sqrt{1+x^2}} \left( \frac{1 - \sqrt{1+x^2}}{x^2 \sqrt{1+x^2}}\right)</math> | |||
e, finalmente: | |||
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x| \sqrt{1+x^2}}</math>, <math>x \ne 0 </math> | |||
==== Integrais de argcotgh e argcosech ==== | |||
As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: [[../Técnicas de integração|Técnicas de integração]], proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo. | |||
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Edição atual tal como às 16h45min de 2 de fevereiro de 2019
Trigonométricas II
Esta seção é a continuação do estudo trigonométrico, iniciado no capítulo anterior, que foi criada após o aumento progressivo do conteúdo.
Tangente e secante
Quando definimos o seno e o cosseno fizemos a referência a seu significado no ciclo trigonométrico, da mesma forma introduziremos a tangente neste momento. Como já vimos anteriormente a derivada é uma função que representa a declividade de uma curva, da mesma forma podemos definir a tangente, pois essencialmente, ela representa a declividade do ciclo para cada ângulo em particular, ou seja, se traçarmos uma reta orgononal a cada ponto do ciclo trigonométrico e relacionarmos ao ângulo que forma com o eixo x, teremos retas com declividades iguais às tangentes desses ângulos. Como cada ponto do ciclo é definido por e o valor inicial é sempre nulo, temos um valor de declividade tal que:
que é:
Desta forma também podemos concluir que a tangente é a representação do cateto oposto ao ângulo quando mantemos o cateto adjacente constante e unitário, cosiderando este ponto de vista, qual seria o valor da hipotenusa?
Para definir h, a hipotenusa, façamos :
Da identidade relacional temos:
portanto:
Este valor é o que chamamos de secante, que é outra função importante para o estudo trigonométrico, então podemos dizer que:
Nas próximas seções veremos que a secante mantém íntimas ralações com a tangente.
Identidades (2)
Como definimos as identidades entre seno e cosseno, incluiremos as identidades que incluem tangente e secante nesta seção, todas são algebricamente dedutíveis e intercambiaveis.
I-14 Relacionando tangente e secante
Seja x uma variável que expressa o ângulo em cada ponto do ciclo trigonométrico, entre podemos afirmar que:
Conforme visto nos conceitos iniciais logo acima, a relação é conseqüência direta das relações triangulares que definem as funções tangente e secante.
I-15 Tangente da diferença
Sendo a e b dois ângulos no ciclo trigonométrico:
Comprovação:
Considerando a definição da tangente temos:
Resultando em:
O que comprova a identidade.
I-16 Tangente da soma
Comprovação:
Admitamos e teremos pela tangente da diferença:
Considerando que a tangente é:
E que o seno é determinante para o sinal enquanto o cosseno não é, concluímos que o sinal da tangente é igual ao da variável, tal qual se comporta o seno, logo:
O que comprova a identidade.
Derivada da tangente
Seja , uma função contínua em , visto que , o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:
logo, pela derivada da razão:
Portanto:
Derivada da secante
Seja , uma função contínua em , visto que , o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:
logo, pela derivada da razão:
O que nos revela:
Integral da tangente
Seja a função , definida contínua no intervalo onde seus valores estão sendo considerados, podemos deduzir que:
Por outro lado, se:
O que nos possibilita afirmar que:
Portanto:
Integral da secante
Seja a função , dizemos que sua integral é a função e podemos deduzí-la através de substituições algébricas como segue:
multiplicando e dividindo :
Por outro lado, se:
,
logo, por substituição, temos:
, sendo , o que nos permite fazer:
Portanto:
Cotangente e cossecante
Considerando a semelhança entre as definições das funções trigonométricas até aqui abordadas, observamos que para cada função, curiosamente há uma "co-função", assim como temos um seno e um "co-seno" temos uma tangente e uma "co-tangente". A função cotangente é definida tal qual a analogia adotada antes para seno e cosseno; podemos dizer que as funções estão relacionadas ao eixo y e as "co-funções" estão relacionadas ao eixo x, a imagem de um ponto no ciclo trigonométrico a partir do eixo x é o cosseno do ângulo e o seno é a imagem do mesmo ponto vista pelo eixo y. Para verificar essa relação observe o gráfico:
Figura 8
Se nós fizermos a mesma observação entre tangente e cotangente concluiremos que a tangente é a imagem deste ponto do ciclo trigonométrico no eixo paralelo ao eixo y traçado a partir da coordenada (1,0) e a cotangente é a sua "co-função" que espelha o ponto no eixo paralelo ao eixo x na coordenada (0,1). Segundo o mesmo critério de analogia podemos dizer que a função cossecante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a cotangente relacionada a um ponto do ciclo, da mesma forma que a secante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a tangente do mesmo ponto.
Podemos deduzir a fórmula de definição da função cotangente fazendo uma análise de semelhança de triângulos, notamos no ciclo que:
O que nos revela:
Da mesma forma podemos verificar uma relação de semelhança de triângulos para determinar a cossecante, vemos que existe a seguinte relação:
Que define a cossecante como:
Identidades (3)
Algumas identidades são conseqüentes das definições, apresentamos as mais usuais que poderão ser úteis nos demais capítulos deste livro, as identidades, de modo geral, são altamente intercambiáveis devido a natureza cíclica das funções trigonométricas, no nosso estudo abordamos as mais utilizadas.
Conseqüentes das definições:
Derivada da cotangente
Seja a função , considerando que:
Novamente usamos a regra da derivada da razão:
Portanto:
Derivada da cossecante
Seja a função , considerando que:
Novamente usamos a regra da derivada da razão:
Portanto:
Integral da cotangente
Seja a função , considerando que:
Sua integral é:
Sendo :
Logo:
E, por substituição:
Integral da cossecante
Seja a função ,
Sua integral é:
Sendo :
Podemos então multiplicar e dividir u na equação da integral anterior:
Logo:
E, por substituição:
Inversas das trigonométricas
O conjunto de equações até o momento abordadas nos trazem uma nova questão: Quais as funções que nos permitem encontrar o ângulo a partir do resultado de uma função trigonométrica?
A resposta está nas inversas das funções trigonométricas, também chamamos de arc-funções. Uma arc-função é uma função na qual podemos inserir o valor da função e encontrar o arco que originou este resultado, por isto dizemos que a é aquela que retorna o valor do arco cuja função resulta em x.
arcseno e arccosseno
Conforme o anteriormente exposto, temos que encontrar as funções que nos dão o valor do arco que forma um seno x e o arco que forma um cosseno x, para isto cabe uma observação:
- O seno e o cosseno podem ser resultado de vários ângulos diferentes, devido a característica cíclica que as mesmas apresentam quando assumimos valores em , portanto não existem as funções inversas do seno e cosseno neste intervalo.
O exposto nos obriga a limitar o intervalo do seno e do cosseno dentro de uma faixa que possibilite encontrar apenas um arco para cada valor, é necessário que escolhamos um intervalo onde as funções sejam monótonas. Considerando a função seno dentro da faixa: , podemos dizer que a condição de inversibilidade é satisfeita, da mesma forma a função cosseno dentro da faixa: também apresenta valores únicos para cada arco tomado.
Assim, dizemos que:
Da mesma forma que:
Derivadas do arcseno e arccosseno
Seja a função , sendo a sua inversa:
,
podemos operá-la desta forma:
,
Por outro lado:
O que nos dá:
,
Logo:
Ainda temos que a função , sendo a sua inversa:
,
podemos operá-la desta forma:
,
Por outro lado:
O que nos dá:
,
Logo:
Integrais do arcseno e arccosseno
Para integração das funções arcseno e arccosseno, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.
Arctangente e arccotangente
Definimos a função:
,
arctangente de x, como a inversa da função:
,
tangente de y, para todo o intervalo , porque no mesmo há apenas um valor de tangente para cada arco.
Do mesmo modo podemos definir a função:
,
arccotangente de t, como a inversa da função:
,
cotangente de z, para todo o intervalo , porque no mesmo há apenas um valor de cotangente para cada arco.
Derivadas da arctangente e arccotangente
Seja a função , sendo a sua inversa:
,
podemos operá-la desta forma:
,
Por outro lado:
O que nos dá:
,
Logo:
Ainda temos que a função , sendo a sua inversa:
.
Por outro lado:
O que nos dá:
,
Logo:
Integrais da arctangente e arccotangente
Para integração das funções arctangente e arccotangente, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.
Arcsecante e arccossecante
Definimos a função:
,
arcsecante de x, como a inversa da função:
,
secante de y, para os intervalos de x: , onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.
A função é relacionada a função como segue:
Do mesmo modo podemos definir a função:
,
arccosecante de t, como a inversa da função:
,
cosecante de y, para os intervalos de x: , onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.
A função é relacionada a função como segue:
Derivadas da arcsecante e arccossecante
Seja a função:
que tem correspondência em:
Sendo:
Portanto:
para
Integrais da arcsecante e arccossecante
Para integração das funções arcsecante e arccossecante, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.
Trigonométricas inversas como integrais algébricas
Como resultado das derivadas de funções trigonométricas inversas algumas integrais de funções algébricas podem ser convertidas em "arc-funções", são elas:
Em todas, como é de costume, encontramos a constante de antidiferenciação C.
hiperbólicas
A hipérbole é uma das funções cônicas exploradas em geometria analítica e tem como característica uma íntima relação com as exponenciais e , as funções desta seção são obtidas segundo o mesmo princípio das funções trigonométricas utilizando-se da hipérbole como função geratriz, ou seja, para cada ponto cartesiano de um gráfico da hipérbole podemos adotar a análise feita no ciclo trigonométrico, desta análise resultam as funções discutidas nesta seção.
As funções hiperbólicas são essencialmente exponenciais, portanto o seu estudo é simplificado nesta seção, visto que suas conseqüências são imediatamente dedutíveis pelos princípios já vistos na seção que trata de funções exponenciais.
Seno e cosseno hiperbólicos
A função seno hiperbólico é obtida a partir da hipérbole da mesma forma que o seno no ciclo trigonométrico, sua definição pode ser obtida por análise geométrica do gráfico da hipérbole , onde encontramos:
A função cosseno hiperbólico, que referenciamos ao cosseno no ciclo trigonométrico pode ser encontrado pela seguinte expressão:
Sendo obtida de forma similar a anterior.
O fato destas funções serem resultantes da soma e subtração de uma exponencial crescente e uma exponencial decrescente lhes conferem propriedades únicas, do mesmo modo temos a possibilidade de fazer analogias para uma fácil assimilação dos seus conceitos. Estas funções também são largamente úteis devido ao fato de serem comuns em problemas reais na física, na química e nas engenharias.
Relacionando seno e cosseno hiperbólico
Considere a operação: ,
Da definição temos:
logo:
Derivada do seno hiperbólico
Seja a função seno hiperbólico , podemos dizer que:
sendo:
Portanto:
Derivada do cosseno hiperbólico
Seja a função cosseno hiperbólico , podemos dizer que:
sendo:
Portanto:
Integral do seno hiperbólico
A integral do seno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:
Concluimos que:
Integral do cosseno hiperbólico
A integral do cosseno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:
Concluimos que:
Tangente e secante hiperbólicas
Da mesma forma que no caso trigonométrico a tangente e as outras funções hiperbólicas são definidas através do seno e do cosseno, ou seja, a tangente é definida como:
ou
A secante hiperbólica é definida como:
ou
Relacionando tangente e secante hiperbólicas
Vamos desenvolver a expressão abaixo:
Portanto:
Derivada da tangente hiperbólica
Seja a função , temos:
Portanto:
Derivada da secante hiperbólica
Seja a função , temos:
e finalmente:
Integral da tangente hiperbólica
Seja a função , temos:
Se fizermos:
verificamos:
e finalmente:
Integral da secante hiperbólica
Para integração da função secante hiperbólica, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.
Cotangente e cossecante hiperbólicas
A cotangente hiperbólica é definida como:
ou
A cosecante hiperbólica é definida como:
ou
Relacionando cotangente e cossecante hiperbólicas
Vamos desenvolver a expressão abaixo:
Portanto:
Derivada da cotangente hiperbólica
Seja a função , temos:
Portanto:
Derivada da cossecante hiperbólica
Seja a função , temos:
e finalmente:
Integral da cotangente hiperbólica
Seja a função , temos:
Se fizermos:
verificamos:
e finalmente:
Integral da cossecante hiperbólica
Para integração da função cossecante hiperbólica, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.
Inversas das hiperbólicas
As funções hiperbólicas inversas são particularmente interessantes, elas estão ligadas ao logaritmo natural e por este motivo, sua análise é excencialmente exponencial, como a análise das funções hiperbólicas, deste fato nascem novas possibilidades para lidar com problemas relacionados a análises de estruturas não lineares.
Análise da inversão das variáveis
As funções hiperbólicas são característicamente analisadas de forma semelhante às trigonométricas, o que nos sugere a análise da inversão das variáveis das equações hiperbólicas da forma:
,
Para a forma:
Isto é particularmente fácil de implementar para funções do tipo , que são funções monótonas e contínuas, para as demais que restringem sua continuidade em um determinado intervalo, devemos adotar faixas para o domínio de cada uma em particular.
É importante notar que, embora as funções hiperbólicas sejam semelhantes às trigonométricas, estas funções se baseiam em ângulos que devem ser analisados de forma diferente dos trigonométricos, lembre-se que o raio de uma função circular é constante, o que não acotece com uma função baseada em uma cônica, neste caso a hipérbole, por isso escolhemos a nomeclatura de argfunch(x), pois não podemos classificar os ângulos hiperbólicos como arcos.
argsenh e argcosenh
Agora consideremos a função , então:
Podemos fazer , logo:
O que resulta na equação:
cujas raízes são:
Podemos apenas admitir: , consequentemente:
Substituindo as variáveis x por y e t por x, temos a inversa de que é:
No caso de , a dedução é similar:
Podemos fazer , logo:
O que resulta na equação:
cujas raízes são:
Podemos apenas admitir: , consequentemente:
Substituindo as variáveis x por y e t por x, temos a inversa de que é:
,
Derivadas de argsenh(x) e argcosh(x)
Considerando as fórmulas deduzidas acima, temos:
de onde deduzimos:
resultando:
E para
de onde deduzimos:
e finalmente:
,
Integrais de argsenh(x) e argcosh(x)
As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.
argtgh e argsech
Considerando , temos:
se :
o que resulta na equação:
cujas raízes são:
Onde apenas podemos admitir e :
Substituindo x por y e t por x:
Que é a inversa da , portanto:
,
Ou,
,
Considerando , temos:
se :
o que resulta na equação:
Cujas raízes são:
Onde apenas podemos admitir e :
Substituindo x por y e t por x:
Que é a inversa da , portanto:
,
Derivadas de argtgh e argsech
Seja ,
Deduzimos que sua derivada é:
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
e, finalmente:
,
Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não existe fora deste domínio.
Seja ,
Deduzimos que sua derivada é:
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
e, finalmente:
Integrais de argtgh e argsech
As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.
argcotgh e argcosech
Considerando , temos:
se :
o que resulta na equação:
cujas raízes são:
Onde apenas podemos admitir e :
Substituindo x por y e t por x:
Que é a inversa da , portanto:
,
Ou,
,
Considerando , temos:
se :
o que resulta na equação:
Cujas raízes são:
Onde apenas podemos admitir :
Substituindo x por y e t por x:
Que é a inversa da , portanto:
Derivadas de argcotgh e argcosech
Seja ,
Deduzimos que sua derivada é:
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
e, finalmente:
,
Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio.
Seja ,
Deduzimos que sua derivada é:
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
e, finalmente:
,
Integrais de argcotgh e argcosech
As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.