Cálculo (Volume 1)/Análise de funções elementares (2): mudanças entre as edições
imported>He7d3r (hack obsoleto: as fórmulas já aparecem em PNG e não há mais como exibi-las em HTML nem MathML (futuramente teremos MathJax)) |
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Assim, dizemos que: | Assim, dizemos que: | ||
<math>y=\ \mbox{arcsen}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\ \mbox{sen}(y) \ | <math>y=\ \mbox{arcsen}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\ \mbox{sen}(y) \land y \in\ \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] </math> | ||
Da mesma forma que: | Da mesma forma que: | ||
<math>y=\ \mbox{arccos}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\cos(y) \ | <math>y=\ \mbox{arccos}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\cos(y) \land y \in\ \left [0,\pi\right ] </math> | ||
{{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\sin^{-1} x\ ,\ \cos^{-1} x</math> ou <math>\sin^{-1} (x)\ ,\ \cos^{-1} (x)</math> ou <math>\arcsin x\ ,\ \ \mbox{arccos} x</math> ou ainda <math>\arcsin (x)\ ,\ \ \mbox{arccos} (x)</math>para representação de arcseno e arccosseno respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}} | {{aviso|Este livro utiliza a notação de funções trigonométricas inversas da '''lingua portuguesa''', também é possível encontrar, em outros livros, as notações <math>\sin^{-1} x\ ,\ \cos^{-1} x</math> ou <math>\sin^{-1} (x)\ ,\ \cos^{-1} (x)</math> ou <math>\arcsin x\ ,\ \ \mbox{arccos} x</math> ou ainda <math>\arcsin (x)\ ,\ \ \mbox{arccos} (x)</math>para representação de arcseno e arccosseno respectivamente, utilizadas na língua inglesa.}} | ||
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<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^2} </math>, <math>|x|<1</math> | <math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-x^2} </math>, <math>|x|<1</math> | ||
Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não | Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não existe fora deste domínio. | ||
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Edição atual tal como às 16h45min de 2 de fevereiro de 2019
Trigonométricas II
Esta seção é a continuação do estudo trigonométrico, iniciado no capítulo anterior, que foi criada após o aumento progressivo do conteúdo.
Tangente e secante
Quando definimos o seno e o cosseno fizemos a referência a seu significado no ciclo trigonométrico, da mesma forma introduziremos a tangente neste momento. Como já vimos anteriormente a derivada é uma função que representa a declividade de uma curva, da mesma forma podemos definir a tangente, pois essencialmente, ela representa a declividade do ciclo para cada ângulo em particular, ou seja, se traçarmos uma reta orgononal a cada ponto do ciclo trigonométrico e relacionarmos ao ângulo que forma com o eixo x, teremos retas com declividades iguais às tangentes desses ângulos. Como cada ponto do ciclo é definido por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [\cos(\alpha),\ \mbox{sen}(\alpha)]} e o valor inicial Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\Delta x)} é sempre nulo, temos um valor de declividade tal que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(x)=\frac{\Delta y}{\Delta x}}
que é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}}
Desta forma também podemos concluir que a tangente é a representação do cateto oposto ao ângulo quando mantemos o cateto adjacente constante e unitário, cosiderando este ponto de vista, qual seria o valor da hipotenusa?
Para definir h, a hipotenusa, façamos :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h^2 (x)= 1^2 + \ \mbox{tg}^2 (x) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h^2 (x)= 1^2 + \frac{\ \mbox{sen}^2 (x)}{\cos^2 (x)} }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h^2 (x)= \frac{\cos^2 (x) + \ \mbox{sen}^2 (x)}{\cos^2 (x)} }
Da identidade relacional temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h^2 (x)= \frac{1}{\cos^2 (x)} }
portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(x)= \frac{1}{\cos(x)} }
Este valor é o que chamamos de secante, que é outra função importante para o estudo trigonométrico, então podemos dizer que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec(x)= \frac{1}{\cos(x)} }
Nas próximas seções veremos que a secante mantém íntimas ralações com a tangente.
Identidades (2)
Como definimos as identidades entre seno e cosseno, incluiremos as identidades que incluem tangente e secante nesta seção, todas são algebricamente dedutíveis e intercambiaveis.
I-14 Relacionando tangente e secante
Seja x uma variável que expressa o ângulo em cada ponto do ciclo trigonométrico, entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(x)\ e\ \sec(x)} podemos afirmar que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 + \ \mbox{tg}^2(x)=\sec^2(x) }
Conforme visto nos conceitos iniciais logo acima, a relação é conseqüência direta das relações triangulares que definem as funções tangente e secante.
I-15 Tangente da diferença
Sendo a e b dois ângulos no ciclo trigonométrico:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a-b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)-\ \mbox{tg}(b)}{1+\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} }
Comprovação:
Considerando a definição da tangente temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\ \mbox{sen}(a-b)}{\cos(a-b)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\ \mbox{sen}(a)\cos(b)-\ \mbox{sen}(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)+\ \mbox{sen}(a)\ \mbox{sen}(b)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\frac{\ \mbox{sen}(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}-\frac{\ \mbox{sen}(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)}} {\frac{\cos(a)\cos(b)}{\cos(a)\cos(b)}+\frac{\ \mbox{sen}(a)\ \mbox{sen}(b)}{\cos(a)\cos(b)}}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\frac{\ \mbox{sen}(a)}{\cos(a)}-\frac{\ \mbox{sen}(b)}{\cos(b)}} {1+\frac{\ \mbox{sen}(a)\ \mbox{sen}(b)}{\cos(a)\cos(b)}}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a-b)= \frac{\frac{\ \mbox{sen}(a)}{\cos(a)}-\frac{\ \mbox{sen}(b)}{\cos(b)}} {1+\frac{\ \mbox{sen}(a)}{\cos(a)}\frac{\ \mbox{sen}(b)}{\cos(b)}}}
Resultando em:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a-b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)-\ \mbox{tg}(b)}{1+\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} }
O que comprova a identidade.
I-16 Tangente da soma
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a+b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)+\ \mbox{tg}(b)}{1-\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} }
Comprovação:
Admitamos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b = - b} e teremos pela tangente da diferença:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a-(-b))=\frac{\ \mbox{tg}(a)-\ \mbox{tg}(-b)}{1+\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(-b)} }
Considerando que a tangente é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} }
E que o seno é determinante para o sinal enquanto o cosseno não é, concluímos que o sinal da tangente é igual ao da variável, tal qual se comporta o seno, logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{tg}(a+b)=\frac{\ \mbox{tg}(a)+\ \mbox{tg}(b)}{1-\ \mbox{tg}(a)\ \mbox{tg}(b)} }
O que comprova a identidade.
Derivada da tangente
Seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\ \mbox{tg}(x)} , uma função contínua em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ) } , visto que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \ \mbox{tg}(x)\quad \not\exists } , o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} }
logo, pela derivada da razão:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=\frac{\cos(x)\cos(x)-\ \mbox{sen}(x)[-\ \mbox{sen}(x)]}{\cos^2 (x)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=\frac{\cos^2 (x)+\ \mbox{sen}^2 (x)}{\cos^2 (x)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=\frac{1}{\cos^2 (x)}}
Portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=\sec^2 (x)}
Derivada da secante
Seja Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\sec(x)} , uma função contínua em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right ) } , visto que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sec(x)\quad \not\exists } , o que nos obriga a excluí-lo do intervalo, podemos verificar que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \frac{1}{\cos(x)} }
logo, pela derivada da razão:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \frac{\cos(x) \cdot (0) - 1 \cdot (-\ \mbox{sen}(x))}{\cos^2 (x)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos^2 (x)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} \cdot \frac{1}{\cos(x)}}
O que nos revela:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x) = \ \mbox{tg}(x)\sec(x) }
Integral da tangente
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\ \mbox{tg}(x) } , definida contínua no intervalo onde seus valores estão sendo considerados, podemos deduzir que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)= \int \ \mbox{tg}(x) dx}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)= \int \frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)} dx}
Por outro lado, se:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=\cos(x) }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle du=-\ \mbox{sen}(x)dx }
O que nos possibilita afirmar que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)= - \int \frac{du}{u}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)= - \ln|\cos(x)| }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)= \ln \left|\frac{1}{\cos(x)} \right| }
Portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)= \ln|\sec(x)| + C }
Integral da secante
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\sec(x)} , dizemos que sua integral é a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)} e podemos deduzí-la através de substituições algébricas como segue:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \sec(x) dx }
multiplicando e dividindo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sec(x) + \ \mbox{tg}(x)} :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \frac{\sec^2(x)+\sec(x)\ \mbox{tg}(x)}{\sec(x)+\ \mbox{tg}(x)} dx}
Por outro lado, se:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u = \sec(x) + \ \mbox{tg}(x)} ,
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle du = [\sec(x)\ \mbox{tg}(x) + \sec^2(x)]dx}
logo, por substituição, temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int \frac{du}{u} } , sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u = \sec(x) + \ \mbox{tg}(x)} , o que nos permite fazer:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)= \ln |u|}
Portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\ln|\sec(x) + \ \mbox{tg}(x)| + C }
Cotangente e cossecante
Considerando a semelhança entre as definições das funções trigonométricas até aqui abordadas, observamos que para cada função, curiosamente há uma "co-função", assim como temos um seno e um "co-seno" temos uma tangente e uma "co-tangente". A função cotangente é definida tal qual a analogia adotada antes para seno e cosseno; podemos dizer que as funções estão relacionadas ao eixo y e as "co-funções" estão relacionadas ao eixo x, a imagem de um ponto no ciclo trigonométrico a partir do eixo x é o cosseno do ângulo e o seno é a imagem do mesmo ponto vista pelo eixo y. Para verificar essa relação observe o gráfico:
Figura 8
Se nós fizermos a mesma observação entre tangente e cotangente concluiremos que a tangente é a imagem deste ponto do ciclo trigonométrico no eixo paralelo ao eixo y traçado a partir da coordenada (1,0) e a cotangente é a sua "co-função" que espelha o ponto no eixo paralelo ao eixo x na coordenada (0,1). Segundo o mesmo critério de analogia podemos dizer que a função cossecante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a cotangente relacionada a um ponto do ciclo, da mesma forma que a secante é o valor da hipotenusa do triângulo formado entre o raio unitário do ciclo e a tangente do mesmo ponto.
Podemos deduzir a fórmula de definição da função cotangente fazendo uma análise de semelhança de triângulos, notamos no ciclo que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\ \mbox{cotg}(x)}=\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}}
O que nos revela:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{cotg}(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}}
Da mesma forma podemos verificar uma relação de semelhança de triângulos para determinar a cossecante, vemos que existe a seguinte relação:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\ \mbox{cosec}(x)}=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{cotg}(x)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{\ \mbox{cosec}(x)}=\cos(x)\frac{\ \mbox{sen}(x)}{\cos(x)}}
Que define a cossecante como:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{cosec}(x)=\frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}}
Identidades (3)
Algumas identidades são conseqüentes das definições, apresentamos as mais usuais que poderão ser úteis nos demais capítulos deste livro, as identidades, de modo geral, são altamente intercambiáveis devido a natureza cíclica das funções trigonométricas, no nosso estudo abordamos as mais utilizadas.
Conseqüentes das definições:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen}(x)\ \mbox{cosec}(x)=1} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(x)\sec(x)=1 } Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mbox{tg}(x)\ \mbox{cotg}(x)=1}
Derivada da cotangente
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\ \mbox{cotg}(x)} , considerando que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}}
Novamente usamos a regra da derivada da razão:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)[-\ \mbox{sen}(x)]-\cos(x)\cos(x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=-\frac{\ \mbox{sen}^2 (x)+cos^2 (x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=-\frac{1}{\ \mbox{sen}^2 (x)}}
Portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=-\ \mbox{cosec}^2 (x)}
Derivada da cossecante
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\ \mbox{cosec}(x)} , considerando que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}}
Novamente usamos a regra da derivada da razão:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=\frac{\ \mbox{sen}(x)\cdot 0 - 1 \cdot \cos(x)}{\ \mbox{sen}^2 (x)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=\frac{-\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)} \cdot \frac{1}{\ \mbox{sen}(x)}}
Portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\ '(x)=-\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)}
Integral da cotangente
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\ \mbox{cotg}(x)} , considerando que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)}}
Sua integral é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \ \mbox{cotg}(x) dx }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \frac{\cos(x)}{\ \mbox{sen}(x)} dx }
Sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=\ \mbox{sen}(x)} :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle du= \cos(x) dx}
Logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \frac{du}{u}}
E, por substituição:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\ln|\ \mbox{sen}(x)| + C }
Integral da cossecante
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\ \mbox{cosec}(x)} ,
Sua integral é:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \ \mbox{cosec}(x) dx }
Sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u=\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)} :
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle du= [-\ \mbox{cosec}^2 (x)+\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)]dx}
Podemos então multiplicar e dividir u na equação da integral anterior:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \frac{-\ \mbox{cosec}^2 (x)+\ \mbox{cotg}(x)\ \mbox{cosec}(x)}{\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)} dx }
Logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\int \frac{du}{u}}
E, por substituição:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x)=\ln|\ \mbox{cotg}(x)-\ \mbox{cosec}(x)| + C }
Inversas das trigonométricas
O conjunto de equações até o momento abordadas nos trazem uma nova questão: Quais as funções que nos permitem encontrar o ângulo a partir do resultado de uma função trigonométrica?
A resposta está nas inversas das funções trigonométricas, também chamamos de arc-funções. Uma arc-função é uma função na qual podemos inserir o valor da função e encontrar o arco que originou este resultado, por isto dizemos que a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle arcfunc(x)} é aquela que retorna o valor do arco cuja função resulta em x.
arcseno e arccosseno
Conforme o anteriormente exposto, temos que encontrar as funções que nos dão o valor do arco que forma um seno x e o arco que forma um cosseno x, para isto cabe uma observação:
- O seno e o cosseno podem ser resultado de vários ângulos diferentes, devido a característica cíclica que as mesmas apresentam quando assumimos valores em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (- \infty , \infty)} , portanto não existem as funções inversas do seno e cosseno neste intervalo.
O exposto nos obriga a limitar o intervalo do seno e do cosseno dentro de uma faixa que possibilite encontrar apenas um arco para cada valor, é necessário que escolhamos um intervalo onde as funções sejam monótonas. Considerando a função seno dentro da faixa: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] } , podemos dizer que a condição de inversibilidade é satisfeita, da mesma forma a função cosseno dentro da faixa: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left [0,\pi\right ] } também apresenta valores únicos para cada arco tomado.
Assim, dizemos que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ \mbox{arcsen}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\ \mbox{sen}(y) \land y \in\ \left [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right ] }
Da mesma forma que:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ \mbox{arccos}(x)\ \exists \quad \forall \ x=\cos(y) \land y \in\ \left [0,\pi\right ] }
Derivadas do arcseno e arccosseno
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ \mbox{arcsen}(x) } , sendo a sua inversa:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\ \mbox{sen}(y)} ,
podemos operá-la desta forma:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dx=\cos(y)dy}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx}{dy}=\cos(y)} ,
Por outro lado:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen}^2(y)+\cos^2(y)=1}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(y)=\sqrt{1-\ \mbox{sen}^2(y)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(y)=\sqrt{1-x^2}}
O que nos dá:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx}{dy}=\sqrt{1-x^2}} ,
Logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}
Ainda temos que a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=\ \mbox{arccos}(x)} , sendo a sua inversa:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\cos(z)} ,
podemos operá-la desta forma:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dx=-\ \mbox{sen}(z)dz}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx}{dz}=-\ \mbox{sen}(z)} ,
Por outro lado:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen}^2(z)+\cos^2(z)=1}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen}(z)=\sqrt{1-\cos^2(z)}}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{sen}(z)=\sqrt{1-x^2}}
O que nos dá:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx}{dz}=-\sqrt{1-x^2}} ,
Logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dz}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}
Integrais do arcseno e arccosseno
Para integração das funções arcseno e arccosseno, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.
Arctangente e arccotangente
Definimos a função:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=arctg(x)} ,
arctangente de x, como a inversa da função:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=tg(y)} ,
tangente de y, para todo o intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-\infty, \infty)} , porque no mesmo há apenas um valor de tangente para cada arco.
Do mesmo modo podemos definir a função:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=arccotg(t)} ,
arccotangente de t, como a inversa da função:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=cotg(z)} ,
cotangente de z, para todo o intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-\infty, \infty)} , porque no mesmo há apenas um valor de cotangente para cada arco.
Derivadas da arctangente e arccotangente
Seja a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=arctg(x)} , sendo a sua inversa:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=tg(y)} ,
podemos operá-la desta forma:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dx=sec^2 (y)dy}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx}{dy}=sec^2 (y)} ,
Por outro lado:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle sec^2(y)=1+tg^2(y)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle sec^2(y)=1+x^2}
O que nos dá:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dx}{dy}=1+x^2} ,
Logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}}
Ainda temos que a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=arccotg(x)} , sendo a sua inversa:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=cotg(z)} .
Por outro lado:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle arccotg(z)=\frac{\pi}{2} - arctg(z)}
O que nos dá:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dz}{dx}=0-\frac{d[arctg(z)]}{dx}} ,
Logo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dz}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}}
Integrais da arctangente e arccotangente
Para integração das funções arctangente e arccotangente, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.
Arcsecante e arccossecante
Definimos a função:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ \mbox{arcsec}(x)} ,
arcsecante de x, como a inversa da função:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\sec(y) } ,
secante de y, para os intervalos de x: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)} , onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.
A função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{arcsec}(x)} é relacionada a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{arccos}(x)} como segue:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arccos} \left(\frac{1}{x} \right)}
Do mesmo modo podemos definir a função:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=\ \mbox{arccosec}(t)} ,
arccosecante de t, como a inversa da função:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=\ \mbox{cosec}(z)} ,
cosecante de y, para os intervalos de x: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-\infty,-1]\quad ;\quad[1, \infty)} , onde, nos mesmos, há apenas um valor de secante para cada arco.
A função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{arccosec}(x)} é relacionada a função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{arcsen}(x)} como segue:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arcsen} \left(\frac{1}{x} \right)}
Derivadas da arcsecante e arccossecante
Seja a função:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\ \mbox{arcsec}(x)}
que tem correspondência em:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{arcsec}(x)=\ \mbox{arccos} \left (\frac{1}{x} \right)}
Sendo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{d[\ \mbox{arccos}(t)]}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \left(\frac{dt}{dx}\right)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{x} \right)^2}} \left( - \frac{1}{x^2}\right)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{|x|}{x^2 \sqrt{x^2-1}}}
Portanto:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}}} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x|>1}
Integrais da arcsecante e arccossecante
Para integração das funções arcsecante e arccossecante, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.
Trigonométricas inversas como integrais algébricas
Como resultado das derivadas de funções trigonométricas inversas algumas integrais de funções algébricas podem ser convertidas em "arc-funções", são elas:
Em todas, como é de costume, encontramos a constante de antidiferenciação C.
hiperbólicas
A hipérbole é uma das funções cônicas exploradas em geometria analítica e tem como característica uma íntima relação com as exponenciais e , as funções desta seção são obtidas segundo o mesmo princípio das funções trigonométricas utilizando-se da hipérbole como função geratriz, ou seja, para cada ponto cartesiano de um gráfico da hipérbole podemos adotar a análise feita no ciclo trigonométrico, desta análise resultam as funções discutidas nesta seção.
As funções hiperbólicas são essencialmente exponenciais, portanto o seu estudo é simplificado nesta seção, visto que suas conseqüências são imediatamente dedutíveis pelos princípios já vistos na seção que trata de funções exponenciais.
Seno e cosseno hiperbólicos
A função seno hiperbólico é obtida a partir da hipérbole da mesma forma que o seno no ciclo trigonométrico, sua definição pode ser obtida por análise geométrica do gráfico da hipérbole , onde encontramos:
A função cosseno hiperbólico, que referenciamos ao cosseno no ciclo trigonométrico pode ser encontrado pela seguinte expressão:
Sendo obtida de forma similar a anterior.
O fato destas funções serem resultantes da soma e subtração de uma exponencial crescente e uma exponencial decrescente lhes conferem propriedades únicas, do mesmo modo temos a possibilidade de fazer analogias para uma fácil assimilação dos seus conceitos. Estas funções também são largamente úteis devido ao fato de serem comuns em problemas reais na física, na química e nas engenharias.
Relacionando seno e cosseno hiperbólico
Considere a operação: ,
Da definição temos:
logo:
Derivada do seno hiperbólico
Seja a função seno hiperbólico , podemos dizer que:
sendo:
Portanto:
Derivada do cosseno hiperbólico
Seja a função cosseno hiperbólico , podemos dizer que:
sendo:
Portanto:
Integral do seno hiperbólico
A integral do seno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:
Concluimos que:
Integral do cosseno hiperbólico
A integral do cosseno hiperbólico também é facilmente obtida pela definição:
Concluimos que:
Tangente e secante hiperbólicas
Da mesma forma que no caso trigonométrico a tangente e as outras funções hiperbólicas são definidas através do seno e do cosseno, ou seja, a tangente é definida como:
ou
A secante hiperbólica é definida como:
ou
Relacionando tangente e secante hiperbólicas
Vamos desenvolver a expressão abaixo:
Portanto:
Derivada da tangente hiperbólica
Seja a função , temos:
Portanto:
Derivada da secante hiperbólica
Seja a função , temos:
e finalmente:
Integral da tangente hiperbólica
Seja a função , temos:
Se fizermos:
verificamos:
e finalmente:
Integral da secante hiperbólica
Para integração da função secante hiperbólica, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.
Cotangente e cossecante hiperbólicas
A cotangente hiperbólica é definida como:
ou
A cosecante hiperbólica é definida como:
ou
Relacionando cotangente e cossecante hiperbólicas
Vamos desenvolver a expressão abaixo:
Portanto:
Derivada da cotangente hiperbólica
Seja a função , temos:
Portanto:
Derivada da cossecante hiperbólica
Seja a função , temos:
e finalmente:
Integral da cotangente hiperbólica
Seja a função , temos:
Se fizermos:
verificamos:
e finalmente:
Integral da cossecante hiperbólica
Para integração da função cossecante hiperbólica, veja o capítulo de técnicas de integração, para uma completa abordagem do tema.
Inversas das hiperbólicas
As funções hiperbólicas inversas são particularmente interessantes, elas estão ligadas ao logaritmo natural e por este motivo, sua análise é excencialmente exponencial, como a análise das funções hiperbólicas, deste fato nascem novas possibilidades para lidar com problemas relacionados a análises de estruturas não lineares.
Análise da inversão das variáveis
As funções hiperbólicas são característicamente analisadas de forma semelhante às trigonométricas, o que nos sugere a análise da inversão das variáveis das equações hiperbólicas da forma:
,
Para a forma:
Isto é particularmente fácil de implementar para funções do tipo , que são funções monótonas e contínuas, para as demais que restringem sua continuidade em um determinado intervalo, devemos adotar faixas para o domínio de cada uma em particular.
É importante notar que, embora as funções hiperbólicas sejam semelhantes às trigonométricas, estas funções se baseiam em ângulos que devem ser analisados de forma diferente dos trigonométricos, lembre-se que o raio de uma função circular é constante, o que não acotece com uma função baseada em uma cônica, neste caso a hipérbole, por isso escolhemos a nomeclatura de argfunch(x), pois não podemos classificar os ângulos hiperbólicos como arcos.
argsenh e argcosenh
Agora consideremos a função , então:
Podemos fazer , logo:
O que resulta na equação:
cujas raízes são:
Podemos apenas admitir: , consequentemente:
Substituindo as variáveis x por y e t por x, temos a inversa de que é:
No caso de , a dedução é similar:
Podemos fazer , logo:
O que resulta na equação:
cujas raízes são:
Podemos apenas admitir: , consequentemente:
Substituindo as variáveis x por y e t por x, temos a inversa de que é:
,
Derivadas de argsenh(x) e argcosh(x)
Considerando as fórmulas deduzidas acima, temos:
de onde deduzimos:
resultando:
E para
de onde deduzimos:
e finalmente:
,
Integrais de argsenh(x) e argcosh(x)
As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.
argtgh e argsech
Considerando , temos:
se :
o que resulta na equação:
cujas raízes são:
Onde apenas podemos admitir e :
Substituindo x por y e t por x:
Que é a inversa da , portanto:
,
Ou,
,
Considerando , temos:
se :
o que resulta na equação:
Cujas raízes são:
Onde apenas podemos admitir e :
Substituindo x por y e t por x:
Que é a inversa da , portanto:
,
Derivadas de argtgh e argsech
Seja ,
Deduzimos que sua derivada é:
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
e, finalmente:
,
Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não existe fora deste domínio.
Seja ,
Deduzimos que sua derivada é:
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
e, finalmente:
Integrais de argtgh e argsech
As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.
argcotgh e argcosech
Considerando , temos:
se :
o que resulta na equação:
cujas raízes são:
Onde apenas podemos admitir e :
Substituindo x por y e t por x:
Que é a inversa da , portanto:
,
Ou,
,
Considerando , temos:
se :
o que resulta na equação:
Cujas raízes são:
Onde apenas podemos admitir :
Substituindo x por y e t por x:
Que é a inversa da , portanto:
Derivadas de argcotgh e argcosech
Seja ,
Deduzimos que sua derivada é:
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
e, finalmente:
,
Note que, devido à limitação do domínio imposto pela variável na função primitiva, a derivada herda a mesma limitação, uma vez que a função não exite fora deste domínio.
Seja ,
Deduzimos que sua derivada é:
Que, depois de submetida à regra da cadeia e da razão, se torna:
e, finalmente:
,
Integrais de argcotgh e argcosech
As integrais destas funções precisam de um tratamento diferenciado, utilizando-se os métodos do próximo capítulo: Técnicas de integração, proponho que o leitor as faça como exercício do mesmo.