Lógica/Cálculo Quantificacional Clássico: mudanças entre as edições
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:As constantes de predicados são atributos que podem ser predicados às constantes individuais, ex: “...é filósofo”, “...é matemático”, “...está correndo”, “...é bela”, “...matou aula hoje”, “...escreve livros” etc. Estes são designados por letras do alfabeto romano maiúsculas: A, B, C, D, E etc. | :As constantes de predicados são atributos que podem ser predicados às constantes individuais, ex: “...é filósofo”, “...é matemático”, “...está correndo”, “...é bela”, “...matou aula hoje”, “...escreve livros” etc. Estes são designados por letras do alfabeto romano maiúsculas: A, B, C, D, E etc. | ||
:Uma constante isolada não consiste numa fórmula. Afinal, “Aristóteles”, “Gödel”, “...é matemático”, “...é matemático” e coisas do gênero não podem ser valoradas como verdadeiras ou falsas. | :Uma constante isolada não consiste numa fórmula. Afinal, “Aristóteles”, “Gödel”, “...é matemático”, “...é matemático” e coisas do gênero não podem ser valoradas como verdadeiras ou falsas. | ||
:Contudo, é claro que sentenças formadas por estas constantes – “Aristóteles é matemático”, “Gödel é matemático”, “Aristóteles é filósofo” e “Gödel é filósofo” – são valoráveis como verdadeiro ou falso. Ou seja, são proposições. Para representá-las, basta colocar as constantes individuais à direita das constantes de predicado (podendo estar sub-escritas ou não). Assim, se “g” significa “Gödel”, “a” significa “Aristóteles”; “M”, “...é matemático” e “F”, “é filósofo”; então “Mg” significa “Gödel é matemático”; “Ma”, “Aristóteles é matemático”; “Fg” significa “Gödel é filósofo” e “Fa”, “Aristóteles é filósofo”. Constantes individuais atribuídas a uma constante de predicado consistem numa fórmula atômica do CQC. E podemos usar todos operadores do CPC com elas. Por exemplo, usando as mesmas constantes acima, podemos construir as fórmulas: | |||
:<math> \neg \mathrm{Ma}</math> | |||
:“Aristóteles não é matemático”. | |||
:<math> \mathrm{Fa}\land\mathrm{Mg} </math> | |||
:“Aristóteles é filósofo e Gödel é matemático”. | |||
:<math> \mathrm{Fa}\lor \mathrm{Ma} </math> | |||
:“Aristóteles é filósofo ou matemático”. | |||
:<math> \mathrm{Fg}\to \mathrm{Mg} </math> | |||
:“Se Gödel é filósofo, então Gödel é matemático”. | |||
:<math> \mathrm{Mg}\leftrightarrow \mathrm{Ma} </math> | |||
:“Gödel é matemático se e somente se Aristóteles é matemático”. | |||
:Voltando a tratar de fórmulas atômicas, estas podem ter mais de uma constante individual, quando se atribui a um indivíduo uma propriedade em relação a outro indivíduo. Por exemplo, digamos que vamos formalizar a sentença “João beijou Maria”. Teremos as constantes individuais j (para João) e m (para Maria), e a constante de predicado B para “...beijou...”. A fórmula fica então: <math> \mathrm{Bjm}</math>. | |||
:Poderíamos formalizar isto de outra forma, considerando a constante de predicado B como “...foi beijado(a) por...”. A fórmula fica então: <math> \mathrm{Bmj}</math>. | |||
:Em algumas circunstâncias, é possível sermos econômicos e poupar as fórmulas de constantes individuais. Por exemplo, digamos um sistema no qual só a Maria é beijada e tudo que Maria faz é ser beijada. Então podemos considerar a constante B como “...beijou Maria”. A sentença “João e Pedro(p) beijaram Maria” fica assim: <math> \mathrm{Bj}\land\mathrm{Bp} </math>. | |||
:Por fim, é lícito usar letras sentenciais para expressar orações sem sujeito, por exemplo: C para “Está chovendo”. Assim podemos formalizar uma proposição como “Se está chovendo, então Maria não saiu de casa” assim: <math>\mathrm{C}\to \neg \mathrm{Sm}</math>. Sendo S a constante de predicado “...saiu de casa”. | |||
=Variáveis e Quantificadores= | =Variáveis e Quantificadores= |
Edição das 23h57min de 27 de janeiro de 2006
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Introdução
- Se você leu as partes deste wikibook que tratam da lógica aristotélica e do CPC (e você deveria ter lido o segundo antes de começar a ler este), deve ter reparado que não podemos formalizar os silogismos categóricos por meio do Cálculo Proposicional. Vejamos o seguinte silogismo em Darii:
- Toda espécie de mamífero é produtora de leite.
- Alguns animais marítimos são espécies de mamíferos.
- Logo, alguns animais marítimos são produtores de leite.
- As duas premissas e a conclusão consistem em proposições distintas, tornando impossível formalizar o argumento (mantendo sua validade) por meio do CPC. Para tal, faz-se necessário um sistema que não se limite às sentenças, mas também permita trabalhar os elementos que a constituem (sujeito, predicado etc.), ou seja, um cálculo de predicados de primeira ordem. E ainda, precisamos lidar com a quantificação (todos, algum(ns), nenhum). Para satisfazer essas condições, temos o Cálculo Quantificacional Clássico.
Do CPC para o CQC
- Tanto o CPC quanto o CQC são sistemas da lógica clássica, ou seja, ambos compartilham os mesmos princípios: bivalência, não-contradição, terceiro excluído e identidade. De fato, pode-se considerar o CQC como uma extensão do CPC, ou então, o CPC como um subsistema do CQC.
- O que muda então de um sistema para outro?
- Em primeiro, enquanto o CPC lida com letras sentenciais – uma letra do alfabeto romano maiúscula representa uma proposição e consiste numa fórmula atômica, enquanto uma letra do alfabeto grego minúscula representa uma fórmula qualquer – o CQC lida com constantes individuais, constantes de predicados e variáveis individuais.
- Em segundo, no CQC aparece outro tipo de operador: os quantificadores. Estes, diferente da negação e dos conectivos, não são funções de verdade. Mesmo porque, o CPC já contém todas funções de verdade que o princípio de bivalência permite (ver: Funções de Verdade).
Constantes individuais e de predicados
- Constantes são coisas que tem sempre o mesmo valor dentro de um sistema. Por exemplo, o valor de π é sempre o mesmo, seja na fórmula do comprimento da circunferência (), seja na fórmula da área do círculo (), qualquer que seja o valor de r. No CQC teremos dois tipos de constantes: constantes individuais e constantes de predicado.
- As constantes individuais, evidentemente, são indivíduos: Aristóteles, Gödel, João, Maria, o gato do vizinho, o irmão do Pedro etc. Estes são designados por letras do alfabeto romano minúsculas: a, b, c, d, e... . Evitando usar as letras x, y e z, que são canonicamente usadas como variáveis, como será falado adiante. Também é lícito usar números juntamente com as letras. Ex: “m1” para designar “Maria Silveira” e “m2” para designar “Maria Oliveira”.
- As constantes de predicados são atributos que podem ser predicados às constantes individuais, ex: “...é filósofo”, “...é matemático”, “...está correndo”, “...é bela”, “...matou aula hoje”, “...escreve livros” etc. Estes são designados por letras do alfabeto romano maiúsculas: A, B, C, D, E etc.
- Uma constante isolada não consiste numa fórmula. Afinal, “Aristóteles”, “Gödel”, “...é matemático”, “...é matemático” e coisas do gênero não podem ser valoradas como verdadeiras ou falsas.
- Contudo, é claro que sentenças formadas por estas constantes – “Aristóteles é matemático”, “Gödel é matemático”, “Aristóteles é filósofo” e “Gödel é filósofo” – são valoráveis como verdadeiro ou falso. Ou seja, são proposições. Para representá-las, basta colocar as constantes individuais à direita das constantes de predicado (podendo estar sub-escritas ou não). Assim, se “g” significa “Gödel”, “a” significa “Aristóteles”; “M”, “...é matemático” e “F”, “é filósofo”; então “Mg” significa “Gödel é matemático”; “Ma”, “Aristóteles é matemático”; “Fg” significa “Gödel é filósofo” e “Fa”, “Aristóteles é filósofo”. Constantes individuais atribuídas a uma constante de predicado consistem numa fórmula atômica do CQC. E podemos usar todos operadores do CPC com elas. Por exemplo, usando as mesmas constantes acima, podemos construir as fórmulas:
- “Aristóteles não é matemático”.
- “Aristóteles é filósofo e Gödel é matemático”.
- “Aristóteles é filósofo ou matemático”.
- “Se Gödel é filósofo, então Gödel é matemático”.
- “Gödel é matemático se e somente se Aristóteles é matemático”.
- Voltando a tratar de fórmulas atômicas, estas podem ter mais de uma constante individual, quando se atribui a um indivíduo uma propriedade em relação a outro indivíduo. Por exemplo, digamos que vamos formalizar a sentença “João beijou Maria”. Teremos as constantes individuais j (para João) e m (para Maria), e a constante de predicado B para “...beijou...”. A fórmula fica então: .
- Poderíamos formalizar isto de outra forma, considerando a constante de predicado B como “...foi beijado(a) por...”. A fórmula fica então: .
- Em algumas circunstâncias, é possível sermos econômicos e poupar as fórmulas de constantes individuais. Por exemplo, digamos um sistema no qual só a Maria é beijada e tudo que Maria faz é ser beijada. Então podemos considerar a constante B como “...beijou Maria”. A sentença “João e Pedro(p) beijaram Maria” fica assim: .
- Por fim, é lícito usar letras sentenciais para expressar orações sem sujeito, por exemplo: C para “Está chovendo”. Assim podemos formalizar uma proposição como “Se está chovendo, então Maria não saiu de casa” assim: . Sendo S a constante de predicado “...saiu de casa”.
Variáveis e Quantificadores
Tablôs Semânticos no CQC
Dedução Natural no CQC
Formalização de sistemas pelo CQC
Fomalização da Aritmética pelo CQC
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