Números primos/Definição: mudanças entre as edições
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Dizemos que um inteiro A é ''divisível'' por um inteiro B quando existe um inteiro C tal que A = BC. Neste caso, dizemos ainda que B é um ''divisor'' de A, ou que B ''divide'' A (escreve-se: <math>b|a</math>), ou que A é ''múltiplo'' de B. | |||
Em particular, como para todo número A (sendo que <math>a \in \R</math>), tem-se <math>0 = A\times 0,</math> conclui-se que todo número é um divisor de zero. No entanto, considerando que se <math>B = 0\times A,</math> então <math>B = 0,</math> segue que o zero só é divisor de si mesmo. | |||
Além disso, como todo número <math>A = 1\times A,</math> o número 1 é divisor de qualquer número inteiro A. Existem outros números inteiros com esta mesma propriedade (-1, A e -A). Tais números, por serem os únicos que são divisores de qualquer número inteiro A, recebem o nome especial de ''[[divisores triviais]]'' | |||
===Número primo=== | |||
Dizemos que um inteiro | Dizemos que um número inteiro é ''primo''<ref>https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo</ref> quando só possui os ''divisores triviais'', ou seja, só é divisível por 1 e por ele próprio (2 divisores positivos)<ref>E seus associados (com sinal negativo)</ref>. | ||
===Número composto=== | |||
Dizemos que um número inteiro é ''composto''<ref>https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_composto</ref> quando possui divisores não triviais. | |||
'''Obs.:''' Conforme esta definição, o número 1 não pode ser declarado como primo nem composto, por possuir 1 divisor apenas.<ref>https://profes.com.br/raphaelsilva/blog/o-numero-1-e-primo-ou-nao</ref> | |||
=== | ===Teorema fundamental da aritmética=== | ||
Todos os números inteiros maiores do que 1 podem ser fatorados (divididos) em um produto único<ref>Aqui, a unicidade da decomposição deve ser interpretada como "único a não ser pela ordem em que os termos aparecem no produto".</ref> de números primos. | |||
=== | ===Dois fatos simples conhecidos=== | ||
Dado qualquer número inteiro positivo P, diferente de 1: | |||
# P é primo se, sempre que dividir o produto dos inteiros AB, então também divide A ou B (ou ambos). | |||
# P é primo se não puder ser decomposto em fatores P = AB, nenhum dos quais sendo 1 ou -1. | |||
== Conceitos associados == | |||
Conforme o número de dígitos de um número primo, pode-se referir a ele usando um destes nomes<ref>Estes nomes foram cunhados pelo matemático [[w:Samuel | |||
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|Samuel Yates]]. Ver [http://jeff560.tripod.com/t.html Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (T)] (em inglês)</ref>) | |||
;Primo titânico: Número primo que tenha 1000 dígitos ou mais. | |||
;Primo gigante: Número primo que tenha 10000 dígitos ou mais. | |||
;Megaprimo: Número primo que tenha mais de um milhão de dígitos. | |||
Ao longo da história, também foram dados nomes especiais para números primos que possuem propriedades específicas. Por exemplo: | |||
;Primos de Mersenne: São primos da forma <math>2^P - 1</math>, onde P é primo. | |||
;Primos gêmeos: Chamamos de primos gêmeos os que são separados apenas por um único número. Por exemplo, 11 e 13 são primos gêmeos, pois são separados apenas pelo número 12. | |||
=== | == Pequeno Teorema de Fermat == | ||
Se P é um número primo e se A for qualquer número inteiro, então <math>A^P = A (mod P)</math>. Se P não dividir A, então <math>A ^{(P-1)} = 1 (mod P)</math>. | |||
Alguém poderia imaginar que a afirmação reciproca também é verdadeira, mas a verdade é que não são apenas os números primos que satisfazem a equação anterior. Chamamos '''pseudoprimos''', ou '''primos prováveis compostos''', aos números que satisfazem o Pequeno Teorema de Fermat, mas que são na realidade compostos. | |||
== | == Notas == | ||
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Edição atual tal como às 19h13min de 22 de fevereiro de 2021
Conceitos básicos
Divisibilidade
Dizemos que um inteiro A é divisível por um inteiro B quando existe um inteiro C tal que A = BC. Neste caso, dizemos ainda que B é um divisor de A, ou que B divide A (escreve-se: ), ou que A é múltiplo de B.
Em particular, como para todo número A (sendo que ), tem-se conclui-se que todo número é um divisor de zero. No entanto, considerando que se então segue que o zero só é divisor de si mesmo.
Além disso, como todo número o número 1 é divisor de qualquer número inteiro A. Existem outros números inteiros com esta mesma propriedade (-1, A e -A). Tais números, por serem os únicos que são divisores de qualquer número inteiro A, recebem o nome especial de divisores triviais
Número primo
Dizemos que um número inteiro é primo[1] quando só possui os divisores triviais, ou seja, só é divisível por 1 e por ele próprio (2 divisores positivos)[2].
Número composto
Dizemos que um número inteiro é composto[3] quando possui divisores não triviais.
Obs.: Conforme esta definição, o número 1 não pode ser declarado como primo nem composto, por possuir 1 divisor apenas.[4]
Teorema fundamental da aritmética
Todos os números inteiros maiores do que 1 podem ser fatorados (divididos) em um produto único[5] de números primos.
Dois fatos simples conhecidos
Dado qualquer número inteiro positivo P, diferente de 1:
- P é primo se, sempre que dividir o produto dos inteiros AB, então também divide A ou B (ou ambos).
- P é primo se não puder ser decomposto em fatores P = AB, nenhum dos quais sendo 1 ou -1.
Conceitos associados
Conforme o número de dígitos de um número primo, pode-se referir a ele usando um destes nomes[6])
- Primo titânico
- Número primo que tenha 1000 dígitos ou mais.
- Primo gigante
- Número primo que tenha 10000 dígitos ou mais.
- Megaprimo
- Número primo que tenha mais de um milhão de dígitos.
Ao longo da história, também foram dados nomes especiais para números primos que possuem propriedades específicas. Por exemplo:
- Primos de Mersenne
- São primos da forma , onde P é primo.
- Primos gêmeos
- Chamamos de primos gêmeos os que são separados apenas por um único número. Por exemplo, 11 e 13 são primos gêmeos, pois são separados apenas pelo número 12.
Pequeno Teorema de Fermat
Se P é um número primo e se A for qualquer número inteiro, então . Se P não dividir A, então .
Alguém poderia imaginar que a afirmação reciproca também é verdadeira, mas a verdade é que não são apenas os números primos que satisfazem a equação anterior. Chamamos pseudoprimos, ou primos prováveis compostos, aos números que satisfazem o Pequeno Teorema de Fermat, mas que são na realidade compostos.
Notas
- ↑ https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo
- ↑ E seus associados (com sinal negativo)
- ↑ https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_composto
- ↑ https://profes.com.br/raphaelsilva/blog/o-numero-1-e-primo-ou-nao
- ↑ Aqui, a unicidade da decomposição deve ser interpretada como "único a não ser pela ordem em que os termos aparecem no produto".
- ↑ Estes nomes foram cunhados pelo matemático [[w:Samuel Yates |Samuel Yates]]. Ver Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (T) (em inglês)