Matemática elementar/Conjuntos/Números naturais: mudanças entre as edições
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Segue uma regra parecida com a da divisibilidade por 7. A título de exemplo considere o número 154. Separe o último algarismo | Segue uma regra parecida com a da divisibilidade por 7. A título de exemplo considere o número 154. | ||
* Separe o último algarismo | |||
*: 15 e 4 | |||
* Subtraía o segundo do primeiro, ou seja, | |||
*: 15 - 4 = 11. | |||
Como 11 é divisível por 11, então 154 também o é. | |||
:'''Dica:''' | Num contra-exemplo, usaremos o número 277. Pelo algoritmo teremos 27 e 7; 27 - 7 = 20, que não é divisível por 11, e portanto 277 também não o é. | ||
O algoritmo pode ser aplicado várias vezes no caso de números maiores. | |||
:'''Dica:''' Números que seguem a forma "<font color=green>ABBA</font>" são divisíveis por 11. | |||
:Por exemplo: para <font color=red>1</font><font color=blue>22</font><font color=red>1</font>, temos A = <font color=red>1</font> e B = <font color=blue>2</font>. | |||
===Divisibilidade por <math>2^n</math>=== | ===Divisibilidade por <math>2^n</math>=== |
Edição das 00h36min de 23 de maio de 2007
Definição
Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, ...). Em alguns contextos, o número natural é definido como um número inteiro positivo, i.e., o zero não é considerado como um número natural. O uso mais comum deles é a contagem ("Há 4 melancias voando num mar de suco de limão") ou a ordenação ("Esta é a 20ª melhor canção sobre melancias voadoras já cantada por um jacaré"). As propriedades dos números naturais como, por exemplo, divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas neste capítulo. Outras propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela análise combinatória.
Os matemáticos usam para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é infinito e contável por definição.
= {0,1,2,3,4,5,6,7,...}
Se retirarmos o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0} desses conjunto, obtemos o subconjunto:
= {1,2,3,4,5,6,7,...}
Divisão em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{N}}
Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo:
- 360 (3+6+0=9) → é divisível.
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismo forem 0 ou formarem um número divisível por 4.
Exemplo:
- 416 (últimos dois algarismos: 16 [= 4×4]) → é divisível.
Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
Exemplo:
- 2.654.820 → é divisível.
Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplo:
- 414 → divisível por 6, pois
- par → divisível por 2
- 4+1+4=9 → divisível por 3
Divisibilidade por 7
A divisibilidade por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 7} também pode ser verificada da seguinte maneira:
Tome por exemplo o número 453. Separando-se o último algarismo ficamos com 45 e 3. Do primeiro subtraímos o dobro do segundo, ou seja, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 45 - 6 = 39} . Como 39 não é divisível por 7 o número 453 também não é.
Outro exemplo: → Separando e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4} , teremos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 78 - 8 = 70} . Como é divisível por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 7} o número também é.
Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismo forem 0 ou formarem um número divisível por 8.
Exemplo:
- 24512 → é divisível.
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
Exemplo:
- 927 (9+2+7=18) → é divisível.
Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 quando termina em zero.
Exemplo:
- 154.870 → é divisível
A divisibilidade por 11
Segue uma regra parecida com a da divisibilidade por 7. A título de exemplo considere o número 154.
- Separe o último algarismo
- 15 e 4
- Subtraía o segundo do primeiro, ou seja,
- 15 - 4 = 11.
Como 11 é divisível por 11, então 154 também o é.
Num contra-exemplo, usaremos o número 277. Pelo algoritmo teremos 27 e 7; 27 - 7 = 20, que não é divisível por 11, e portanto 277 também não o é.
O algoritmo pode ser aplicado várias vezes no caso de números maiores.
- Dica: Números que seguem a forma "ABBA" são divisíveis por 11.
- Por exemplo: para 1221, temos A = 1 e B = 2.
Divisibilidade por
Um número é divisível por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^n} quando seus ultimos n algarismos forem 0 ou divisíveis por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^n} .
Números primos
Número primo é um número natural maior que 1 e que tem exatamente dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo. Se um número natural é maior que 1 e não é primo, diz-se que ele é um número composto. Por convenção, os números 0 e 1 não são primos nem compostos.
Decomposição em fatores primos (fatoração)
O Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número inteiro positivo pode ser escrito como o produto de vários números primos (chamados fatores primos). Ao processo que recebe como argumento um número composto e devolve os seus fatores primos chama-se decomposição em fatores primos (fatoração).
Exemplos:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 16 = 2^4\,\!}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 20 = 2^2 \times 5}
Máximo Divisor Comum (MDC)
O máximo divisor comum (também conhecido por maior divisor em comum) entre dois números e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b\,\!} (vulgarmente abreviada como ) é o maior número inteiro encontrado, que seja divisor dos outros dois. Por exemplo, . A definição abrange qualquer número de termos.
Exemplo:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle mdc(a,b,c,d)\,\!} .
Esta operação é tipicamente utilizada para reduzir equações a outras equivalentes:
Seja o máximo divisor comum entre e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b\,\!} e também Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a'\,\!} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b'\,\!} o resultado da divisão de ambos por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m\,\!} , respectivamente.
Então, o seguinte se verifica:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = b \Leftrightarrow ma = mb \Leftrightarrow a' = b'\,\!}
Cálculo
Pode-se calcular o MDC de duas formas:
- Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas)
- Fatoração disjunta
Fatoração disjunta
Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, multiplicar os fatores comuns de menor expoente.
- Exemplo
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle mdc(24,40)\,\!}
| 2 24 | 2 12 | 2 x 6 | 3 3 | 2³ • 3 1 |
| 2 40 | 2 x 20 | 2 10 | 5 5 |2³ • 5 1 |
Com efeito,
MDC = 2³ = 8
Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides)
Na Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas) fatora-se simultaneamente até dois números.
Monta-se a tabela com a seguinte estrutura:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q_1} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q_2} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q_{...}} A | B | R1 | R2 | R... R1 | R2 | R... | 0
onde,
A = um dos números B = o outro número Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q_1} = quociente da divisão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{A}{B}} Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_1} = resto da divisão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{A}{B}} (em seguida, ele torna-se o divisor de B) E assim em diante.
O último resto (antes do 0) será o MDC.
- Exemplo
3 3 80 | 24 | 8 ← MDC (8) 8 | 0
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
O Mínimo Múltiplo Comum (também conhecido por menor múltiplo em comum) entre dois números Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\,\!} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b\,\!} (vulgarmente abreviada como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle mmc(a,b)\,\!} ) é o menor número inteiro encontrado, que seja múltiplo dos outros dois. Por exemplo, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle mmc(6,8) = 24\,\!} .
Cálculo
Pode-se calcular o MMC de duas formas:
- Fatoração conjunta
- Fatoração disjunta
Fatoração conjunta
Faz-se a fatoração com todos os n termos, simultaneamente:
- Exemplo
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle mmc(24,40)\,\!}
| 2 24, 40 | 2 12, 20 | 2 x 6, 10 | 3 3, 5 | 5 1, 5 | 120 1, 1
Fatoração disjunta
Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, manter-se a base em comum e o expoente maior, multiplicado pelos fatores não comuns.
- Exemplo
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle mmc(24,40)\,\!}
| 2 24 | 2 12 | 2 x 6 | 3 3 | 2³ • 3 1 |
| 2 40 | 2 x 20 | 2 10 | 5 5 |2³ • 5 1 |
Com efeito,
23 • 3 • 5 8 • 3 • 5 120,
Propriedade do MDC e do MMC
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle MDC(a,b) \times MMC(a,b) = a \times b}