Matemática elementar/Conjuntos/Números naturais: mudanças entre as edições
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== Definição == | |||
Um '''número natural''' é um número [[Matemática elementar/Conjuntos/Números inteiros|inteiro]] não-negativo (0, 1, 2, ...). Em alguns contextos, o número natural é definido como um número inteiro positivo, i.e., o zero não é considerado como um número natural. O uso mais comum deles é a contagem ou a ordenação. | |||
As propriedades dos números naturais como, por exemplo, divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas neste capítulo. Outras propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela [[Matemática elementar/Análise combinatória|análise combinatória]]. | |||
Os matemáticos usam <math>\mathbb{N}</math> para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é [[Matemática elementar/Infinito|infinito]] e [[Matemática elementar/Contável|contável]] por definição. | |||
= | <math>\mathbb{N}</math> = {0,1,2,3,4,5,6,7,...} | ||
Se retirarmos o <math>0</math> desses conjunto, obtemos o subconjunto: | |||
<math>\mathbb{N}^*</math> = {1,2,3,4,5,6,7,...} | |||
== | == Operações em <math>\mathbb{N}</math> == | ||
São duas as operações em naturais que sempre tem correspondente natural. São a [[w:adição|adição]] e a [[w:multiplicação|multiplicação]] de naturais. As outras operações básicas, a subtração e a divisão nem sempre tem correspondente em naturais, embora possam ter em outros conjuntos. | |||
= | Por exemplo: 10 e 11 são números naturais, porém, <math>10-11=-1</math>, e <math>-1</math> não é um número natural. Porém, é um número inteiro, pertencente ao conjunto <math>\mathbb{Z}</math> | ||
===Divisibilidade por 2=== | == Critérios de divisibilidade == | ||
=== Divisibilidade por 2 === | |||
Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par. | Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par. Por exemplo, 40, 42, e 44 são números divisíveis por 2. | ||
=== Divisibilidade por 3 === | |||
Um número é divisível por 3 quando a soma dos [[w:valor absoluto|valores absolutos]] de seus [[w:algarismo|algarismo]]s for divisível por 3. | Um número é divisível por 3 quando a soma dos [[w:valor absoluto|valores absolutos]] de seus [[w:algarismo|algarismo]]s for divisível por 3. | ||
= | Exemplo: | ||
* 360 (3+6+0=9) → é divisível. | |||
=== Divisibilidade por 4 === | |||
Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismo forem 0 ou formarem um número divisível por 4. | Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismo forem 0 ou formarem um número divisível por 4. | ||
= | Exemplo: | ||
* 4'''16''' (últimos dois algarismos: 16 [= 4×4]) → é divisível. | |||
=== Divisibilidade por 5 === | |||
Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. | Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5. | ||
Exemplo: | |||
* 2.654.82'''0''' → é divisível. | |||
=== Divisibilidade por 6 === | |||
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. | Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. | ||
= | Exemplo: | ||
* 414 → divisível por 6, pois | |||
** par → divisível por 2 | |||
** 4+1+4=9 → divisível por 3. | |||
=== Divisibilidade por 7 === | |||
A divisibilidade por <math>7</math> também pode ser verificada da seguinte maneira: | A divisibilidade por <math>7</math> também pode ser verificada da seguinte maneira: | ||
Tome por exemplo o número | Tome por exemplo o número 453. Separando-se o último algarismo ficamos com 45 e 3. Do primeiro subtraímos o dobro do segundo, ou seja, <math>45 - 6 = 39.</math> Como 39 não é divisível por 7 o número 453 também não é. | ||
Outro exemplo: <math>784</math> → Separando <math>78</math> e <math>4,</math> teremos <math>78 - 8 = 70.</math> Como <math>70</math> é divisível por <math>7</math> o número <math>784</math> também é. | |||
Outro | Outro critério usa a soma e não a subtração. Um número de mais de três algarismos ''ABCD...'' é divisível por 7 quando o número ''B(C+2A)D...'' for múltiplo de 7. Isso porque ''98 = 100 - 2'' é múltiplo de 7, então o que esta operação faz é trocar ''100 A'' por ''2 A''. Exemplos: ''1645 -> 665 -> 65 + 12 -> 77'' (múltiplo de 7); ''3192 -> 192 + 60 -> 252 -> 56'' (múltiplo de 7); ''9876 -> 876 + 180 -> 1056 -> 76'' (não é múltiplo de 7). | ||
===Divisibilidade por 8=== | === Divisibilidade por 8 === | ||
Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismo forem 0 ou formarem um número | Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismo forem 0 ou formarem um número múltiplo de 8. | ||
Exemplo: | |||
* 24'''512''' → é divisível. | |||
=== Divisibilidade por 9 === | |||
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9. | Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9. | ||
===Divisibilidade por 10=== | Exemplo: | ||
* 927 (9+2+7=18) → é divisível. | |||
=== Divisibilidade por 10 === | |||
Um número é divisível por 10 quando termina em zero. | Um número é divisível por 10 quando termina em zero. | ||
===A divisibilidade por 11=== | Exemplo: | ||
* 154.87'''0''' → é divisível | |||
=== A divisibilidade por 11 === | |||
Segue uma regra parecida com a da divisibilidade por 7. A título de exemplo considere o número 154. | |||
* Separe o último algarismo | |||
*: 15 e 4 | |||
* Subtraía o segundo do primeiro, ou seja, | |||
*: 15 - 4 = 11. | |||
Como 11 é divisível por 11, então 154 também o é. | |||
Num contra-exemplo, usaremos o número 277. Pelo algoritmo teremos 27 e 7; 27 - 7 = 20, que não é divisível por 11, e portanto 277 também não o é. | |||
O algoritmo pode ser aplicado várias vezes no caso de números maiores. | |||
: '''Dica:''' Números que seguem a forma "<font color=green>ABBA</font>" são divisíveis por 11. | |||
: Por exemplo: para <font color=red>1</font><font color=blue>22</font><font color=red>1</font>, temos A = <font color=red>1</font> e B = <font color=blue>2</font>. | |||
Uma regra prática para números grandes é somar os algarismos de posição par e os de posição ímpar. Se as somas forem iguais ou os restos das divisões por 11 forem iguais, então o número é múltiplo de 11. Ou seja, em um número da forma ABCDEFG, compara-se A+C+E+G com B+D+F | |||
: Exemplo: 783178 é divisível por 11, porque 7+3+7 = 8+1+8 = 17. Analogamente, 703175 também é, porque o resto da divisão das duas somas por 11 são iguais, 7+3+7=17 tem resto 6 e 0+1+5=6 também tem resto 6. | |||
Dois exemplos com números grandes: | |||
*''4611686018427387901307445734561825860123058430092136939501844674407370955160'' → <math>168 \equiv 146 \pmod{11}</math>, portanto é divisível. | |||
*''4611686018427387903307445734561825860223058430092136939511844674407370955161'' → <math>171 \not\equiv 148 \pmod{11}</math>, portanto não é divisível. | |||
=== Divisibilidade por <math>2^n</math> === | |||
Um número é divisível por <math>2^n</math> quando seus últimos n algarismos forem 0 ou divisíveis por <math>2^n.</math> | |||
===Divisibilidade por <math> | === Divisibilidade por <math>3^n</math> === | ||
Um número é divisível por <math>3^n</math> quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por <math>3^n.</math> | |||
== Números primos == | |||
'''Número primo''' é um número natural maior que 1 e que tem exatamente dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo. Se um número natural é maior que 1 e não é primo, diz-se que ele é um número composto. Por convenção, os números 0 e 1 não são primos nem compostos. | |||
== | === Decomposição em fatores primos (fatoração) === | ||
O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que qualquer número inteiro positivo pode ser escrito como o produto de vários números primos (chamados fatores primos). O processo que recebe como argumento um número composto e devolve os seus fatores primos chama-se decomposição em fatores primos (fatoração). | |||
'''Exemplos:''' | |||
==Máximo Divisor Comum (MDC)== | * <math>6 = 2 \times 3</math> | ||
O '''máximo divisor comum''' entre dois números <math>a</math> e<math> b</math> (vulgarmente abreviada como <math>mdc(a,b)</math>) é o maior [[Matemática | * <math>16 = 2^4\,\!</math> | ||
* <math>20 = 2^2 \times 5</math> | |||
== Máximo Divisor Comum (MDC) == | |||
O '''máximo divisor comum''' (também conhecido por maior divisor em comum) entre dois números <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math> (vulgarmente abreviada como <math>mdc(a,b)\,\!</math>) é o maior [[Matemática elementar/Conjuntos/Números inteiros|número inteiro]] encontrado, que seja divisor dos outros dois. Por exemplo, <math> mdc(16,8) = 8\,\!.</math> A definição abrange qualquer número de termos. | |||
'''Exemplo:''' | |||
* <math>mdc(a,b,c,d)\,\!.</math> | |||
Esta operação é tipicamente utilizada para reduzir [[ | Esta operação é tipicamente utilizada para reduzir [[Matemática elementar/Equação|equações]] a outras equivalentes: | ||
Seja <math>m</math> o | Seja <math>m\,\!</math> o máximo divisor comum entre <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math> e também <math>a'\,\!</math> e <math>b'\,\!</math> o resultado da divisão de ambos por <math>m\,\!,</math> respectivamente. | ||
Então, o seguinte se verifica: | Então, o seguinte se verifica: | ||
:<math>a = b \Leftrightarrow ma = mb \Leftrightarrow a' = b'</math> | : <math>a = b \Leftrightarrow ma = mb \Leftrightarrow a' = b'\,\!</math> | ||
=== Cálculo === | |||
Pode-se calcular o MDC de duas formas: | |||
* Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas) | |||
* Fatoração disjunta | |||
==== Fatoração disjunta ==== | |||
Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, multiplicar os fatores comuns de menor expoente. | |||
;Exemplo | |||
<math> mdc(24,40)\,\!</math> | |||
24 | 2 | |||
12 | 2 | |||
6 | 2 | |||
3 |<u> 3 </u> | |||
1 | <font color=red>'''2³ • 3'''</font> | |||
40 | 2 | |||
20 | 2 | |||
10 | 2 | |||
5 |<u> 5 </u> | |||
1 | <font color=red>'''2³ • 5'''</font> | |||
Com efeito, | |||
MDC = 2³ = 8 | |||
==== Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides) ==== | |||
Na Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas) fatora-se simultaneamente até dois números. | |||
Monta-se a tabela com a seguinte estrutura: | |||
<math>Q_1</math> <math>Q_2</math> <math>Q_{...}</math> | |||
<u> A | B | R<sub>1</sub> | R<sub>2</sub> | R<sub>...</sub></u> | |||
R<sub>1</sub> | R<sub>2</sub> | R<sub>...</sub> | 0 | |||
onde, | |||
A = um dos números | |||
B = o outro número | |||
<math>Q_1</math> = quociente da divisão <math>\frac{A}{B}</math> | |||
<math>R_1</math> = resto da divisão <math>\frac{A}{B}</math> (em seguida, ele torna-se o divisor de B) | |||
E assim em diante. | |||
O último resto (antes do 0) será o MDC. | |||
;Exemplo | |||
3 3 | |||
<u> 80 | 24 | 8 </u> <big>←</big> MDC (8) | |||
8 | 0 | |||
== Mínimo Múltiplo Comum (MMC) == | |||
O '''Mínimo Múltiplo Comum''' (também conhecido por menor múltiplo em comum) entre dois números <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math> (vulgarmente abreviada como <math>mmc(a,b)\,\!</math>) é o menor [[Matemática elementar/Conjuntos/Números inteiros|número inteiro]] encontrado, que seja múltiplo dos outros dois. Por exemplo, <math> mmc(6,8) = 24\,\!.</math> | |||
=== Cálculo === | |||
Pode-se calcular o MMC de duas formas: | |||
* Fatoração conjunta | |||
* Fatoração disjunta | |||
==== Fatoração conjunta ==== | |||
Faz-se a fatoração com todos os ''n'' termos, simultaneamente: | |||
;Exemplo | |||
<math> mmc(24,40)\,\!</math> | |||
24, 40 | 2 | |||
12, 20 | 2 | |||
6, 10 | 2 + | |||
3, 5 | 3 | |||
1, 5 |<u> 5 </u> | |||
1, 1 | <font color=red>'''120'''</font> | |||
==== Fatoração disjunta ==== | |||
Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, manter-se a base em comum e o expoente maior, multiplicado pelos fatores não comuns. | |||
;Exemplo | |||
<math> mmc(24,40)\,\!</math> | |||
24 | 2 | |||
12 | 2 | |||
6 | 2 x | |||
3 |<u> 3 </u> | |||
1 | <font color=red>'''2³ • 3'''</font> | |||
40 | 2 | |||
20 | 2 x | |||
10 | 2 | |||
5 |<u> 5 </u> | |||
1 | <font color=red>'''2³ • 5'''</font> | |||
Com efeito, | |||
2<sup>3</sup> • 3 • 5 | |||
8 • 3 • 5 | |||
120, | |||
== Propriedades do MDC e do MMC == | |||
Relação de Bézout: | |||
<math>MDC(a,b) \times MMC(a,b) = a \times b</math> | |||
Algoritmo de Euclides: | |||
MDC(a, b)=MDC(a, b-a) | |||
MDC(a, b)=MDC(a, r), onde r é o resto da divisão de b por a. | |||
== | == Ver também == | ||
=== | === Wikilivros === | ||
Exercícios: | |||
* [[Matemática elementar/Conjuntos/Números naturais/Exercícios]] | |||
Uma abordagem mais avançada: | |||
* [[Álgebra abstrata/Números naturais]] | |||
* [[Teoria de números]] | |||
== | === Wikipédia === | ||
* [[w:Critérios de divisibilidade|Critérios de divisibilidade]] | |||
* [[w:Fatoração|Fatoração]] | |||
* [[w:Número natural|Número natural]] | |||
* [[w:Número primo|Número primo]] | |||
* [[w:Máximo divisor comum|Máximo divisor comum]] | |||
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Edição atual tal como às 23h19min de 9 de junho de 2018
Definição
Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, ...). Em alguns contextos, o número natural é definido como um número inteiro positivo, i.e., o zero não é considerado como um número natural. O uso mais comum deles é a contagem ou a ordenação. As propriedades dos números naturais como, por exemplo, divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas neste capítulo. Outras propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela análise combinatória.
Os matemáticos usam para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é infinito e contável por definição.
= {0,1,2,3,4,5,6,7,...}
Se retirarmos o desses conjunto, obtemos o subconjunto:
= {1,2,3,4,5,6,7,...}
Operações em
São duas as operações em naturais que sempre tem correspondente natural. São a adição e a multiplicação de naturais. As outras operações básicas, a subtração e a divisão nem sempre tem correspondente em naturais, embora possam ter em outros conjuntos.
Por exemplo: 10 e 11 são números naturais, porém, , e não é um número natural. Porém, é um número inteiro, pertencente ao conjunto
Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par. Por exemplo, 40, 42, e 44 são números divisíveis por 2.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo:
- 360 (3+6+0=9) → é divisível.
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismo forem 0 ou formarem um número divisível por 4.
Exemplo:
- 416 (últimos dois algarismos: 16 [= 4×4]) → é divisível.
Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
Exemplo:
- 2.654.820 → é divisível.
Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplo:
- 414 → divisível por 6, pois
- par → divisível por 2
- 4+1+4=9 → divisível por 3.
Divisibilidade por 7
A divisibilidade por também pode ser verificada da seguinte maneira:
Tome por exemplo o número 453. Separando-se o último algarismo ficamos com 45 e 3. Do primeiro subtraímos o dobro do segundo, ou seja, Como 39 não é divisível por 7 o número 453 também não é.
Outro exemplo: → Separando e teremos Como é divisível por o número também é.
Outro critério usa a soma e não a subtração. Um número de mais de três algarismos ABCD... é divisível por 7 quando o número B(C+2A)D... for múltiplo de 7. Isso porque 98 = 100 - 2 é múltiplo de 7, então o que esta operação faz é trocar 100 A por 2 A. Exemplos: 1645 -> 665 -> 65 + 12 -> 77 (múltiplo de 7); 3192 -> 192 + 60 -> 252 -> 56 (múltiplo de 7); 9876 -> 876 + 180 -> 1056 -> 76 (não é múltiplo de 7).
Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismo forem 0 ou formarem um número múltiplo de 8.
Exemplo:
- 24512 → é divisível.
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
Exemplo:
- 927 (9+2+7=18) → é divisível.
Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 quando termina em zero.
Exemplo:
- 154.870 → é divisível
A divisibilidade por 11
Segue uma regra parecida com a da divisibilidade por 7. A título de exemplo considere o número 154.
- Separe o último algarismo
- 15 e 4
- Subtraía o segundo do primeiro, ou seja,
- 15 - 4 = 11.
Como 11 é divisível por 11, então 154 também o é.
Num contra-exemplo, usaremos o número 277. Pelo algoritmo teremos 27 e 7; 27 - 7 = 20, que não é divisível por 11, e portanto 277 também não o é.
O algoritmo pode ser aplicado várias vezes no caso de números maiores.
- Dica: Números que seguem a forma "ABBA" são divisíveis por 11.
- Por exemplo: para 1221, temos A = 1 e B = 2.
Uma regra prática para números grandes é somar os algarismos de posição par e os de posição ímpar. Se as somas forem iguais ou os restos das divisões por 11 forem iguais, então o número é múltiplo de 11. Ou seja, em um número da forma ABCDEFG, compara-se A+C+E+G com B+D+F
- Exemplo: 783178 é divisível por 11, porque 7+3+7 = 8+1+8 = 17. Analogamente, 703175 também é, porque o resto da divisão das duas somas por 11 são iguais, 7+3+7=17 tem resto 6 e 0+1+5=6 também tem resto 6.
Dois exemplos com números grandes:
- 4611686018427387901307445734561825860123058430092136939501844674407370955160 → , portanto é divisível.
- 4611686018427387903307445734561825860223058430092136939511844674407370955161 → , portanto não é divisível.
Divisibilidade por
Um número é divisível por quando seus últimos n algarismos forem 0 ou divisíveis por
Divisibilidade por
Um número é divisível por quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por
Números primos
Número primo é um número natural maior que 1 e que tem exatamente dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo. Se um número natural é maior que 1 e não é primo, diz-se que ele é um número composto. Por convenção, os números 0 e 1 não são primos nem compostos.
Decomposição em fatores primos (fatoração)
O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que qualquer número inteiro positivo pode ser escrito como o produto de vários números primos (chamados fatores primos). O processo que recebe como argumento um número composto e devolve os seus fatores primos chama-se decomposição em fatores primos (fatoração).
Exemplos:
Máximo Divisor Comum (MDC)
O máximo divisor comum (também conhecido por maior divisor em comum) entre dois números e (vulgarmente abreviada como ) é o maior número inteiro encontrado, que seja divisor dos outros dois. Por exemplo, A definição abrange qualquer número de termos.
Exemplo:
Esta operação é tipicamente utilizada para reduzir equações a outras equivalentes:
Seja o máximo divisor comum entre e e também e o resultado da divisão de ambos por respectivamente.
Então, o seguinte se verifica:
Cálculo
Pode-se calcular o MDC de duas formas:
- Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas)
- Fatoração disjunta
Fatoração disjunta
Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, multiplicar os fatores comuns de menor expoente.
- Exemplo
24 | 2 12 | 2 6 | 2 3 | 3 1 | 2³ • 3
40 | 2 20 | 2 10 | 2 5 | 5 1 | 2³ • 5
Com efeito,
MDC = 2³ = 8
Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides)
Na Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas) fatora-se simultaneamente até dois números.
Monta-se a tabela com a seguinte estrutura:
A | B | R1 | R2 | R... R1 | R2 | R... | 0
onde,
A = um dos números B = o outro número = quociente da divisão = resto da divisão (em seguida, ele torna-se o divisor de B) E assim em diante.
O último resto (antes do 0) será o MDC.
- Exemplo
3 3 80 | 24 | 8 ← MDC (8) 8 | 0
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
O Mínimo Múltiplo Comum (também conhecido por menor múltiplo em comum) entre dois números e (vulgarmente abreviada como ) é o menor número inteiro encontrado, que seja múltiplo dos outros dois. Por exemplo,
Cálculo
Pode-se calcular o MMC de duas formas:
- Fatoração conjunta
- Fatoração disjunta
Fatoração conjunta
Faz-se a fatoração com todos os n termos, simultaneamente:
- Exemplo
24, 40 | 2 12, 20 | 2 6, 10 | 2 + 3, 5 | 3 1, 5 | 5 1, 1 | 120
Fatoração disjunta
Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, manter-se a base em comum e o expoente maior, multiplicado pelos fatores não comuns.
- Exemplo
24 | 2 12 | 2 6 | 2 x 3 | 3 1 | 2³ • 3
40 | 2 20 | 2 x 10 | 2 5 | 5 1 | 2³ • 5
Com efeito,
23 • 3 • 5 8 • 3 • 5 120,
Propriedades do MDC e do MMC
Relação de Bézout:
Algoritmo de Euclides:
MDC(a, b)=MDC(a, b-a)
MDC(a, b)=MDC(a, r), onde r é o resto da divisão de b por a.
Ver também
Wikilivros
Exercícios:
Uma abordagem mais avançada: