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Edição das 16h27min de 2 de fevereiro de 2006
Números racionais e frações
Na matemática, um número racional (ou, vulgarmente, fração) é uma razão entre dois inteiros, geralmente escrita na forma , onde é um número inteiro diferente de Zero.
Exemplos:
A adição e multiplicação de racionais é dada da seguinte forma:
Dois números racionais a/b e c/d são iguais apenas se ad = bc.
O conjunto de todos os números racionais é Q, ou:
Cada número racional pode ser escrito de diversas formas, como, por exemplo, 3/6 = 2/4 = 1/2. A forma mais simples é quando a e b não possuem divisores em comum, e todo racional tem uma forma como esta. A expansão decimal de um racional é finita ou periódica, propriedade que caracteriza os números racionais.
Definições
De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como , designa este número dividido em partes iguais. Neste caso, corresponde ao numerador, enquanto corresponde ao denominador.
Por exemplo, a fração designa o quociente de 56 por 8. Ela é igual a 7, pois 7 × 8 = 56. A divisão é, note-se, a operação inversa da multiplicação.
Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por .
Tipos
- própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.:
- imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.:
- mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.:
- aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.:
- equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.:
- irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.:
- unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.:
- egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex:
- decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.:
- composta: fração cujo numerador e denominador são frações:
- contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais da seguinte maneira
Dízima periódica
Geratriz de dízima periódica
Operações
Multiplicação
Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.:
Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:
Divisão
Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre frações:
- ÷
Primeiramente inverte-se o divisor. Com isto, tem-se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma multiplicação:
Que se resolve como mostrado acima.
Adição
Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição, encontrar o menor múltiplo comum (MMC) entre os denominadores:
Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem-se que:
- ∴
- ∴
Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre os numeradores:
O denominador comum é mantido:
Subtração
A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição.
Exponenciação
É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:
Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:
Radiciação
A radiciação de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.
Expoente fracionário
Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:
Simplificação de frações
Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:
Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:
Comparação entre frações
Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.
- ?
O MMC entre 5 e 7 é 35.
- ∴
- ∴
Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:
- < ∴ <
A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:
- e
Conversão entre frações impróprias e mistas
Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.
Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:
Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.