Matemática elementar/Conjuntos/Números reais: mudanças entre as edições
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=== | === Conceito === | ||
Em matemática, '''potências''' são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado '''expoente''', que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesma. As potências apresentam-se na forma <math>x^{n}</math> | Em matemática, '''potências''' são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado '''expoente''', que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesma. As potências apresentam-se na forma <math>x^{n},</math> onde '''n''' é o '''expoente''' e ''x'' é a '''base'''. | ||
A potência <math>4^{3}</math> | A potência <math>4^{3},</math> por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja <math>4^{3} = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64.</math> Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base (<math>7^1 = 7</math>), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de operações feitas diretamente com potências, o resultado é sempre igual a 1 (<math>16^0</math> = 1). | ||
===Propriedades da potenciação=== | === Propriedades da potenciação === | ||
====Primeira propriedade==== | ==== Primeira propriedade ==== | ||
Ao multiplicar potências de mesma base, | Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. | ||
<center><math>x^a \cdot x^b = x^{a + b}</math></center> | <center><math>x^a \cdot x^b = x^{a + b}</math></center> | ||
====Segunda propriedade==== | ==== Segunda propriedade ==== | ||
Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. | Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. | ||
<center><math>\frac{x^a}{x^b} = x^{a - b}</math></center> | <center><math>\frac{x^a}{x^b} = x^{a - b}</math></center> | ||
====Terceira propriedade==== | ==== Terceira propriedade ==== | ||
Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes. | Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes. | ||
<center><math>(x^a)^b = x^{ab}</math></center> | <center><math>(x^a)^b = x^{ab}</math></center> | ||
====Quarta propriedade==== | ==== Quarta propriedade ==== | ||
Ao elevar um produto ou um quociente a um expoente, elevamos cada um dos fatores a esse expoente ou, no caso do quociente, elevamos o dividendo e também o divisor ao mesmo expoente. | Ao elevar um produto ou um quociente a um expoente, elevamos cada um dos fatores a esse expoente ou, no caso do quociente, elevamos o dividendo e também o divisor ao mesmo expoente. | ||
<center><math>(xy)^a = x^a \cdot y^a</math></center> | <center><math>(xy)^a = x^a \cdot y^a</math></center> | ||
< | === Equivalência entre bases === | ||
É importante perceber que, mesmo com bases diferentes, podemos torná-las iguais para efetuar uma operação. Exemplo: | |||
:<math>2^{-3} \times 4^3 </math> | |||
Podemos substituir 4 por 2<sup>2</sup>: | |||
:<math>2^{-3} \times (2^2)^3 = 2^{-3} \times 2^6 = 2^{-3 + 6} = 2^3 </math> | |||
=== Expoentes negativos === | |||
Quando temos um número elevado a ''n'' em que n < 0, podemos dizer que: | |||
:<math> \left( \frac {x} {y} \right)^n = \frac {y^{-n}} {x^{-n}} </math> | |||
Observe que a fração foi invertida e o sinal negativo do expoente desapareceu. Exemplo: | |||
:<math> \left( \frac {2} {3} \right)^{-2} = \frac {3^{2}} {2^{2}} = \frac 9 4 </math> | |||
'''Tópicos''' | '''Tópicos''' | ||
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# Gráficos de funções exponenciais | # Gráficos de funções exponenciais | ||
==Radiciação== | === Exercícios === | ||
''Ver: [[Matemática elementar/Exponenciais/Exercícios]]'' | |||
===Propriedades da radiciação=== | |||
== Radiciação == | |||
=== Propriedades da radiciação === | |||
=== Racionalização de denominadores === | |||
=== Exercícios === | |||
''Ver: [[Matemática elementar/Números reais/Exercícios]]'' | |||
== Intervalos reais == | |||
Intuitivamente, um ''intervalo real'' é um subconjunto dos números reais que não tem nenhum buraco. Ou seja, se ''I'' é um intervalo, ''a'' e ''b'' são elementos deste intervalo com ''a < b'', então todo número ''entre'' ''a'' e ''b'' também pertence ao intervalo. | |||
Os intervalos são classificados de acordo com seus extremos (o extremo superior e o extremo inferior). Cada extremo pode ser ilimitados, limitado e aberto ou limitado e fechado. | |||
Representa-se o intervalo através do seu limite inferior, seguido da vírgula (ou ponto-e-vírgula) e o limite superior. | |||
Costuma-se representar o limite inferior por: | |||
* <math>] -\infty\,</math> - ilimitado | |||
* <math>] a \,</math> - limitado e aberto | |||
* <math>[ a \,</math> - limitado e fechado | |||
Sendo o limite superior representado por: | |||
* <math>\infty [ \,</math> - ilimitado | |||
* <math>b [ \,</math> - limitado e aberto | |||
* <math>b ] \,</math> - limitado e fechado | |||
Por exemplo: | |||
* <math>] -\infty , 0 ]\,</math> - é o conjunto dos números reais não-positivos | |||
* <math>[1, 2[\,</math> - é o conjuntos dos números reais ''x'' em que ''x ≥ 1'' e ''x < 2'' | |||
=== | === Exercícios === | ||
''Ver: [[Matemática elementar/Números reais/Intervalos reais/Exercícios]]'' | |||
== | == Veja também == | ||
* [[Análise real/Os números reais]] - uma abordagem mais avançada | |||
=== Wikipédia === | |||
===Wikipédia=== | * [[w:Número real|Número real]] | ||
[[w:Número real|Número real]] | |||
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Edição atual tal como às 11h42min de 18 de junho de 2019
Potenciação
Conceito
Em matemática, potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesma. As potências apresentam-se na forma onde n é o expoente e x é a base.
A potência por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base (), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de operações feitas diretamente com potências, o resultado é sempre igual a 1 ( = 1).
Propriedades da potenciação
Primeira propriedade
Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.
Segunda propriedade
Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.
Terceira propriedade
Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes.
Quarta propriedade
Ao elevar um produto ou um quociente a um expoente, elevamos cada um dos fatores a esse expoente ou, no caso do quociente, elevamos o dividendo e também o divisor ao mesmo expoente.
Equivalência entre bases
É importante perceber que, mesmo com bases diferentes, podemos torná-las iguais para efetuar uma operação. Exemplo:
Podemos substituir 4 por 22:
Expoentes negativos
Quando temos um número elevado a n em que n < 0, podemos dizer que:
Observe que a fração foi invertida e o sinal negativo do expoente desapareceu. Exemplo:
Tópicos
- Definição de Potência
- Operações com potências
- Multiplicação
- Com a mesma base
- Com o mesmo expoente
- Com a mesma base e o mesmo expoente
- Divisão
- Com a mesma base
- Com o mesmo expoente
- Com a mesma base e o mesmo expoente
- Multiplicação
- Equações envolvendo potências
- Inequações envolvendo potências
- Gráficos de funções exponenciais
Exercícios
Ver: Matemática elementar/Exponenciais/Exercícios
Radiciação
Propriedades da radiciação
Racionalização de denominadores
Exercícios
Ver: Matemática elementar/Números reais/Exercícios
Intervalos reais
Intuitivamente, um intervalo real é um subconjunto dos números reais que não tem nenhum buraco. Ou seja, se I é um intervalo, a e b são elementos deste intervalo com a < b, então todo número entre a e b também pertence ao intervalo.
Os intervalos são classificados de acordo com seus extremos (o extremo superior e o extremo inferior). Cada extremo pode ser ilimitados, limitado e aberto ou limitado e fechado.
Representa-se o intervalo através do seu limite inferior, seguido da vírgula (ou ponto-e-vírgula) e o limite superior.
Costuma-se representar o limite inferior por:
- - ilimitado
- - limitado e aberto
- - limitado e fechado
Sendo o limite superior representado por:
- - ilimitado
- - limitado e aberto
- - limitado e fechado
Por exemplo:
- - é o conjunto dos números reais não-positivos
- - é o conjuntos dos números reais x em que x ≥ 1 e x < 2
Exercícios
Ver: Matemática elementar/Números reais/Intervalos reais/Exercícios
Veja também
- Análise real/Os números reais - uma abordagem mais avançada