Matemática elementar/Expressões algébricas: mudanças entre as edições
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'''Produtos notáveis''' são expressões matemáticas padronizadas, em que um produto ou uma potência pode ser expressa através de uma soma de monômios. | |||
A operação inversa se chama '''fatoração algébrica''', que consiste em expressar um polinômio como o produto de polinômios (usualmente binômios) mais simples. | |||
O desenvolvimento dos produtos notáveis é um passo fundamental na simplificação de expressões que envolvem somas ou subtrações, como na resolução de vários tipos de equação. | |||
A fatoração, por outro lado, é fundamental na simplificação de expressões que envolvem a divisão de polinômios, e também é importante na resolução de equações polinomiais. | |||
==Produtos notáveis== | ==Produtos notáveis== | ||
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* <math>(8x+a)^2=64x^2+16ax+a^2 \,\!</math> | * <math>(8x+a)^2=64x^2+16ax+a^2 \,\!</math> | ||
* <math>\left( \frac{4x}{5y}-z \right )^2=\frac{16x^2}{25y^2}-\frac{8xz}{5y}+z^2</math> | * <math>\left( \frac{4x}{5y}-z \right )^2=\frac{16x^2}{25y^2}-\frac{8xz}{5y}+z^2</math> | ||
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'''Exemplos:''' | '''Exemplos:''' | ||
* <math>(1-2x)^2=1- | * <math>(1-2x)^2=1-4x+4x^2 \,\! </math> | ||
* <math>\left( \frac{3x}{4y}-n \right )^2=\frac{9x^2}{16y^2}-\frac{6xn}{4y}+n^2</math> | |||
* <math>\left( \frac{ | |||
===Cubo da soma de dois termos=== | ===Cubo da soma de dois termos=== | ||
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* <math>(m+3n)^3=m^3+9m^2n+27mn^2+27n^3 \,\!</math> | * <math>(m+3n)^3=m^3+9m^2n+27mn^2+27n^3 \,\!</math> | ||
* <math>(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8 \,\!</math> | * <math>(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8 \,\!</math> | ||
=== | ===Cubo da diferença de dois termos=== | ||
<math>x | <math>(x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3 \,\! </math> | ||
'''Exemplos:''' | '''Exemplos:''' | ||
* <math>2^2+3^ | * <math>(b-2c)^3=b^3-6b^2c+12bc^2-8c^3 \,\! </math> | ||
* <math>\left ( \frac{x}{y}-\frac{a}{b} \right )^3=\frac{x^3}{y^3}-\frac{3ax^2}{by^2}+\frac{3a^2x}{b^2y}-\frac{a^3}{b^3}</math> | |||
===Exercícios=== | |||
* Ver [[Matemática elementar/Expressões algébricas/Produtos notáveis/Exercícios]]. | |||
==Fatoração algébrica== | |||
=== Fatoração pelo fator comum em evidência === | |||
Considere o polinômio <math>14ab+7bc</math>, seu fator comum em evidência é <math>7b</math>, dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência <math>14ab:7b=2a</math> e <math>7bc:7b=c</math>, a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de <math>14ab+7bc=7b.(2a+c)</math>. O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio. | |||
Outros exemplos: | |||
* <math>15x+9y=3.(5x+3y)</math> | |||
* <math>50-10y=10.(5-y)</math> | |||
=== Fatoração por agrupamento === | |||
Observe o polinômio <math>ab-b^2+2a-2b</math>. Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios a partir do polinômio principal, veja: | |||
== | <math>ab-b^2+2a-2b=(ab-b^2)+(2a-2b)</math>, logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal: | ||
<math>ab-b^2=b(a-b)</math> | |||
<math>2a-2b=2(a-b)</math>, obtemos a fatoração de <math>ab-b^2+2a-2b=b(a-b)+2(a-b)</math>, nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência: <math>(a-b)(b+2)</math>. A forma fatorada de <math>ab-b^2+2a-2b=b(a-b)+2(a-b)=(a-b)(b+2)</math>. | |||
Outro exemplo: | |||
<math>a^4-a^5+a^2b-a^3b=a^2(a^2-a^3)+b(a^2-a^3)=(a^2-a^3)(a^2+b)</math> | |||
=== Fatoração da diferença de dois quadrados === | |||
= | <math>x^2-y^2 = (x+y) . (x-y) \,\! </math> | ||
Considere o polinômio <math>m^2-n^2</math>, que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo <math>\sqrt{m^2}=m</math> menos a raiz quadrada do segundo termo <math>-\sqrt{n^2}=-n</math>, logo temos <math>\sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}=m-n</math>, devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raízes dos termos iniciais pelo seu oposto: <math>(m-n).(m+n)</math>, logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: <math>m^2-n^2=(\sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}).(\sqrt{m^2}+\sqrt{n^2})=(m-n).(m+n)</math>, ou simplesmente <math>m^2-n^2=(m-n).(m+n)</math>. | |||
Outros exemplos: | |||
* <math>2^2- | * <math>(n+8)^2-1=[(n+8)+1].[(n+8)-1]=[n+8+1].[n+8-1]=[n+9].[n+7]</math> | ||
* <math>a^4-b^4=(a^2+b^2).(a^2-b^2)=(a-b).(a+b).(a^2+b^2)</math> | |||
==Fatoração | === Fatoração do trinômio quadrado perfeito === | ||
Considere o polinômio <math>4x^2+4xy+y^2</math>, que é um trinômio quadrado perfeito, pois representa <math>(2x+y)^2</math>, mas como saber se um trinômio é ou não quadrado perfeito? | |||
=== | Ainda considerando o polinômio <math>4x^2+4xy+y^2</math>, vamos obter a raiz quadrada do primeiro termo <math>\sqrt{4x^2}=2x</math> e a raiz quadrada do terceiro termo <math>\sqrt{y^2}=y</math>, finalmente multiplicamos por dois o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao segundo termo do polinômio (<math>4xy</math>): <math>2.2x.y=4xy</math>, o resultado é igual ao segundo termo do polinômio, logo o mesmo é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é <math>4x^2+4xy+y^2=(2x+y)^2</math>. | ||
Outro exemplo: | |||
=== | <math>x^2-8xy+16y^2=\sqrt{x^2}-\sqrt{16y^2}=x-4y(2.x.(-4y)=(-8xy)=(x-4y)^2</math> ou <math>x^2-8xy+16y^2=(x-4y)^2</math> | ||
=== | === Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos === | ||
As expressões usadas são: | |||
== | : <math>x^3+y^3 = (x+y) . (x^2-xy+y^2) \,\! </math> | ||
: <math>x^3-y^3 = (x-y) . (x^2+xy+y^2) \,\! </math> | |||
Observe a multiplicação resolvida através da propriedade distributiva: | |||
<math>(a+b).(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3</math>, tendo este cálculo como base, podemos dizer que <math>a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2)</math>, logo, a fatoração do polinômio <math>a^3+b^3</math> é igual à raiz cúbica do primeiro termo <math>\sqrt[3]{a^3}=a</math>, mais a raiz cúbica do segundo termo <math>\sqrt[3]{b^3}=b</math> vezes o quadrado do primeiro termo <math>a^2</math>, o produto dos dois termos com o sinal oposto <math>-ab</math> mais o quadrado do segundo termo <math>b^2</math>, formando:<math>a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2)</math>. | |||
Outros exemplos: | |||
== | * <math>x^3-y^3=(x-y).(x^2+xy+y^2)</math> | ||
* <math>\frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27}=\left (\frac{x}{2}+\frac{y}{3} \right ).\left (\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9} \right )</math> | |||
=== | === Fatoração do trinômio do segundo grau === | ||
Observe o trinômio <math>x^2-2x-35</math>, cuja forma fatorada é <math>(x-7).(x+5)</math>, para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados dêem o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos: | |||
=== | * <math>a^2+8a+12=(a+2).(a+6)</math> | ||
* <math>x^2-15x-100=(x-20).(x+5)</math> | |||
* <math>y^2+y-72= (y+9)(y-8)</math> | |||
=== Fatoração completa === | |||
=== | A fatoração completa implica a união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio <math>x^4-y^4</math>, que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos: <math>x^4-y^4=(x^2-y^2).(x^2+y^2)</math>, note que o primeiro termo da fatoração [<math>(x^2-y^2)</math>] é uma diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: <math>x^4-y^4=(x^2-y^2).(x^2+y^2)=(x-y).(x+y).(x^2+y^2)</math>, assim, temos a fatoração completa do polinômio <math>x^4-y^4</math>. | ||
Outros exemplos: | |||
==== | * <math>\frac{x^6}{64}-\frac{y^6}{729}=\left (\frac{x^3}{8}-\frac{y^3}{27} \right ).\left (\frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27} \right )=\left [\left (\frac{x}{2}-\frac{y}{3} \right ).\left (\frac{x^2}{4}+\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9} \right ) \right ].\left [\left (\frac{x}{2}+\frac{y}{3} \right ).\left (\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9} \right ) \right ]</math> | ||
* <math>3x^2-6x+3=3.(x^2-2x+1)=3.(x-1)^2</math> | |||
* <math>a^2+2ab+b^2-c^2=(a+b)^2 - c^2 = (a+b-c)(a+b+c)</math> | |||
== | === Fatoração por artifício === | ||
Em alguns casos, a fatoração só é possível com a utilização de algum artifício. Exemplo; | |||
Fatore a expressão algébrica: <math>x^4+4x^2 y^2+16y^4</math>. | |||
<math>(x^4+4x^2 y^2+16y^4 +4x^2 y^2)-4x^2 y^2=</math> | |||
== | <math>x^4+8x^2 y^2 +16y^4 -4x^2 y^2 =(x^2+4y^2)^2-4x^2 y^2=(x^2+4y^2+2xy)(x^2+4y^2-2xy)</math> | ||
Artifício utilizado: Adicionamos e subtraímos o termo <math>4x^2 y^2</math>, não alterando, assim, o valor da expressão e possibilitando a obtenção de trinômio quadrado perfeito para a realização da expressão. | |||
Outro exemplo: | |||
<math>x^5 + x + 1\,</math> | |||
Artifício utilizado: soma-se e subtrai-se <math>x^2\,</math>, obtendo-se logo em seguida uma soma de cubos: | |||
<math> | <math>x^5 + x + 1 = x^5 - x^2 + x^2 + x + 1 = x^2 (x^3 - 1) + x^2 + x + 1 = x^2 (x - 1) (x^2 + x + 1) + 1 (x^2 + x + 1) = (x^2 (x - 1) + 1)(x^2 + x + 1) = (x^3 - x^2 + 1)(x^2 + x + 1)\,</math> | ||
Um passo intermediário que pode ser usado como artifício é a expressao da soma de dois quadrados: | |||
<math> | <math>x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy \,\!</math> | ||
<math> | === Polinômios irredutíveis === | ||
Alguns polinômios não podem ser fatorados, estes são chamados de '''polinômios irredutíveis''', mas o estudo destes polinômios deve ficar para um livro mais avançado. <!-- Por exemplo, o polinômio <math>x^4 + 2 x^3 + 4 x - 2\,</math> é irredutível, pelo [[critério de Eisenstein]], com ''p'' = 2. Note-se, porém, que a irreducibilidade está sempre condicionada ao corpo considerado; pelo [[teorema fundamental da álgebra]], todo polinômio tem uma raiz, portanto este polinômio pode ser escrito como <math>(x - r_1) (x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0)\,</math>, sendo <math>r_1\,</math> uma raiz. //--> | |||
=== Exercícios === | |||
* Ver [[Matemática elementar/Polinômios/Exercícios]]. | |||
== Problemas resolvidos == | |||
===Caso 1=== | |||
Uma indústria produz apenas dois tipos de camisas: o primeiro com preço de R$45,00 a unidade e o segundo com o preço de R$67,00 a unidade. Se chamarmos de x a quantidade vendida do primeiro tipo e de y a quantidade vendida do segundo tipo. | |||
* Qual a expressão algébrica da venda desses dois artigos? | |||
* Qual o valor se forem vendidos 200 e 300 unidades respectivamente? | |||
===Caso 2=== | |||
O segundo caso de fatoração é: agrupamento, onde há 4 ou mais termos. Temos como exemplo: | |||
* ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y)= (x+y)(a+b). | |||
* Colocamos o 'x+y' em evidência e quem os multiplica também. | |||
=== | ===Caso 3=== | ||
Diferença entre dois quadrados. | |||
==== | ===Caso 4=== | ||
Trinômio quadrado perfeito. | |||
=== | ===Caso 5=== | ||
Soma e produto | |||
== | ===Caso 6=== | ||
===Exercícios=== | |||
* Ver [[Matemática elementar/Polinômios/Exercícios]] | |||
==Fração algébrica== | |||
===Simplificação=== | |||
15x²-15xy²=15x(x-y²) | |||
===Operações=== | |||
====Adição==== | |||
====Subtração==== | |||
====Multiplicação==== | |||
====Divisão==== | |||
==Referências== | |||
===Wikipédia=== | ===Wikipédia=== | ||
{{wikipedia|Fatoração de um polinômio}} | |||
{{wikipedia|Produtos notáveis}} | |||
{{ | {{Esboço/Matemática}} | ||
{{AutoCat}} |
Edição atual tal como às 02h48min de 10 de fevereiro de 2019
Produtos notáveis são expressões matemáticas padronizadas, em que um produto ou uma potência pode ser expressa através de uma soma de monômios.
A operação inversa se chama fatoração algébrica, que consiste em expressar um polinômio como o produto de polinômios (usualmente binômios) mais simples.
O desenvolvimento dos produtos notáveis é um passo fundamental na simplificação de expressões que envolvem somas ou subtrações, como na resolução de vários tipos de equação.
A fatoração, por outro lado, é fundamental na simplificação de expressões que envolvem a divisão de polinômios, e também é importante na resolução de equações polinomiais.
Produtos notáveis
Quadrado da soma de dois termos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \,\!} .
Exemplos:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (8x+a)^2=64x^2+16ax+a^2 \,\!}
Quadrado da diferença de dois termos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x-y)^2=x^2-2xy+y^2 \,\! }
Exemplos:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1-2x)^2=1-4x+4x^2 \,\! }
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \frac{3x}{4y}-n \right )^2=\frac{9x^2}{16y^2}-\frac{6xn}{4y}+n^2}
Cubo da soma de dois termos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 \,\!}
Exemplos:
Cubo da diferença de dois termos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3 \,\! }
Exemplos:
Exercícios
Fatoração algébrica
Fatoração pelo fator comum em evidência
Considere o polinômio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 14ab+7bc} , seu fator comum em evidência é , dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 14ab:7b=2a} e , a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de . O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio.
Outros exemplos:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 15x+9y=3.(5x+3y)}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 50-10y=10.(5-y)}
Fatoração por agrupamento
Observe o polinômio . Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios a partir do polinômio principal, veja:
, logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal:
, obtemos a fatoração de , nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência: . A forma fatorada de .
Outro exemplo:
Fatoração da diferença de dois quadrados
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2-y^2 = (x+y) . (x-y) \,\! }
Considere o polinômio , que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo , logo temos , devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raízes dos termos iniciais pelo seu oposto: , logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m^2-n^2=(\sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}).(\sqrt{m^2}+\sqrt{n^2})=(m-n).(m+n)} , ou simplesmente .
Outros exemplos:
Fatoração do trinômio quadrado perfeito
Considere o polinômio , que é um trinômio quadrado perfeito, pois representa , mas como saber se um trinômio é ou não quadrado perfeito?
Ainda considerando o polinômio , vamos obter a raiz quadrada do primeiro termo e a raiz quadrada do terceiro termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{y^2}=y} , finalmente multiplicamos por dois o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao segundo termo do polinômio (): , o resultado é igual ao segundo termo do polinômio, logo o mesmo é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é .
Outro exemplo:
ou
Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos
As expressões usadas são:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^3-y^3 = (x-y) . (x^2+xy+y^2) \,\! }
Observe a multiplicação resolvida através da propriedade distributiva:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a+b).(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3} , tendo este cálculo como base, podemos dizer que , logo, a fatoração do polinômio é igual à raiz cúbica do primeiro termo , mais a raiz cúbica do segundo termo vezes o quadrado do primeiro termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2} , o produto dos dois termos com o sinal oposto mais o quadrado do segundo termo , formando:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2)} .
Outros exemplos:
Fatoração do trinômio do segundo grau
Observe o trinômio , cuja forma fatorada é , para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados dêem o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos:
Fatoração completa
A fatoração completa implica a união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio , que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos: , note que o primeiro termo da fatoração [] é uma diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: , assim, temos a fatoração completa do polinômio .
Outros exemplos:
Fatoração por artifício
Em alguns casos, a fatoração só é possível com a utilização de algum artifício. Exemplo;
Fatore a expressão algébrica: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^4+4x^2 y^2+16y^4} .
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^4+8x^2 y^2 +16y^4 -4x^2 y^2 =(x^2+4y^2)^2-4x^2 y^2=(x^2+4y^2+2xy)(x^2+4y^2-2xy)}
Artifício utilizado: Adicionamos e subtraímos o termo , não alterando, assim, o valor da expressão e possibilitando a obtenção de trinômio quadrado perfeito para a realização da expressão.
Outro exemplo:
Artifício utilizado: soma-se e subtrai-se , obtendo-se logo em seguida uma soma de cubos:
Um passo intermediário que pode ser usado como artifício é a expressao da soma de dois quadrados:
Polinômios irredutíveis
Alguns polinômios não podem ser fatorados, estes são chamados de polinômios irredutíveis, mas o estudo destes polinômios deve ficar para um livro mais avançado.
Exercícios
Problemas resolvidos
Caso 1
Uma indústria produz apenas dois tipos de camisas: o primeiro com preço de R$45,00 a unidade e o segundo com o preço de R$67,00 a unidade. Se chamarmos de x a quantidade vendida do primeiro tipo e de y a quantidade vendida do segundo tipo.
- Qual a expressão algébrica da venda desses dois artigos?
- Qual o valor se forem vendidos 200 e 300 unidades respectivamente?
Caso 2
O segundo caso de fatoração é: agrupamento, onde há 4 ou mais termos. Temos como exemplo:
- ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y)= (x+y)(a+b).
- Colocamos o 'x+y' em evidência e quem os multiplica também.
Caso 3
Diferença entre dois quadrados.
Caso 4
Trinômio quadrado perfeito.
Caso 5
Soma e produto
Caso 6
Exercícios
Fração algébrica
Simplificação
15x²-15xy²=15x(x-y²)
Operações
Adição
Subtração
Multiplicação
Divisão
Referências
Wikipédia
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