Matemática elementar/Equações algébricas: mudanças entre as edições
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Cada uma das expressões pode ser considerada como função matemática (p.e. f(x) e g(x)), e partilhar as suas propriedades, em que cada operação | Cada uma das expressões pode ser considerada como função matemática (p.e. f(x) e g(x)), e partilhar as suas propriedades, em que cada operação efetuada sobre uma das expressões, terá que ser replicada na outra | ||
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Edição das 15h43min de 15 de janeiro de 2014
Definição
Uma equação é uma igualdade de expressões matemáticas, que pode ser utilizada no estudo das funções, nomeadamente das suas raízes. Pelo menos uma da expressão contém uma ou várias incógnitas (variáveis), cujo valor é denominado de solução ou soluções da equação.
Cada uma das expressões pode ser considerada como função matemática (p.e. f(x) e g(x)), e partilhar as suas propriedades, em que cada operação efetuada sobre uma das expressões, terá que ser replicada na outra
Raiz
Se as equações forem polinomiais, i.e., compostas por polinômios, o grau n da equação é o mesmo que o maior expoente encontrado de ambos polinômios, e a sua solução admite no máximo n raízes. A raiz de uma equação é o valor com o qual a incógnita anula a equação.
Multiplicidade de raízes
Número de raízes de uma equação
Relações entre coeficientes e raízes, Equações algébricas com coeficientes reais - pesquisa de raízes racionais, raízes complexas conjugadas.
Exemplo
Um exemplo de como completar quadrado:
Temos a seguinte equação:
Agora imagine a equação:
Vamos tentar transformá-la em um quadrado da soma.
Perceba que
Esse menos 16 é para subtrair do 16 que se forma no produto notável de
,
é só isso, o método de completar quadrados é simplesmente você transformar os números em um quadrado da soma.
Casos particulares
Equação do 1º grau com 1 incógnita
Sistemas do 1º grau
Problemas do 1º grau
A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo . Assim:
Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.
Equação do 2º grau com 1 incógnita
Aqui mostraremos como se pode deduzir a famosa fórmula para a resolução de equações do segundo grau, também conhecida como fórmula de Bhaskara.
Evolução
, donde
-
- a multiplica os termos:
-
- aqui tornou-se .
-
- aqui temos como X1 e como X2.
- então,
|
|
- por fim, e (x) é representado pela seguinte fórmula:
Exercícios
Exercícios de aplicação da Fórmula de Bhaskara.
- Determine o conjunto solução, nos reais, das equações seguintes, usando a fórmula de Bhaskara
Sistemas do 2º grau
Problemas do 2º grau
Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos foram convidados a este jantar?
- Solução
x = número de convidados 24.000/x = prêmio recebido por cada um se não houvesse faltas 24.000/(x-5) = prêmio recebido por cada um, como faltaram 5 pessoas 24.000/x+400=24.000/(x-5) ===> cada um dos presentes recebeu mais 400 simplificando a equação: dividindo os termos por 400 60/x + 1 = 60/(x-5) mmc: entre x e x-5 = x.(x-5) 60 (x-5) + x.(x-5) = 60.x 60x - 300 + x² - 5x - 60x = 0 x²-5x-300 = 0 aplicando a fórmula de Bhaskara: x' = 20, x" = -15(raízes negativas não servem)
Resposta: 20 pessoas foram convidadas...
Equação biquadrada
Uma equação biquadrada é um equação do quarto grau que não possuem termos de grau ímpar:
A técnica para resolver esta equação consiste em reescrever a equação como uma expressão em y de forma que:
Assim a equação biquadrada transforma-se numa equação do segundo grau em y:
Exercícios
Ver Matemática elementar/Expressões algébricas/Equação biquadrada/Exercícios
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Leitura complementar
- Gilberto G. Garbi. O Romance das Equações Algébricas. 3ª ed. São Paulo: Livraria da Física. 2009. ISBN 8588325764
- Gilberto G. Garbi. A rainha da Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. Livraria da Física, 2006. ISBN 8588325616