Matemática elementar/Equações algébricas: mudanças entre as edições
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Uma equação é uma igualdade de expressões matemáticas, que pode ser utilizada no estudo das funções, nomeadamente das suas raízes. Pelo menos uma da expressão contém uma ou várias incógnitas (variáveis), cujo valor é denominado de solução ou soluções da equação. | Uma equação é uma igualdade de expressões matemáticas, que pode ser utilizada no estudo das funções, nomeadamente das suas raízes. Pelo menos uma da expressão contém uma ou várias incógnitas (variáveis), cujo valor é denominado de solução ou soluções da equação. | ||
Cada uma das expressões pode ser considerada como função matemática (p.e. f(x) e g(x), e partilhar as suas propriedades, em que cada operação | Cada uma das expressões pode ser considerada como função matemática (p.e. f(x) e g(x)), e partilhar as suas propriedades, em que cada operação efetuada sobre uma das expressões, terá que ser replicada na outra | ||
== Raiz == | == Raiz == | ||
Se as equações forem polinomiais, i.e., compostas por | Se as equações forem polinomiais, i.e., compostas por polinômios, o grau ''n'' da equação é o mesmo que o maior expoente encontrado de ambos polinômios, e a sua solução admite no máximo ''n'' raízes. A raiz de uma equação é o valor com o qual a incógnita anula a equação. | ||
== Multiplicidade de raízes == | == Multiplicidade de raízes == | ||
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== Número de raízes de uma equação == | == Número de raízes de uma equação == | ||
[[ | [[Relações entre coeficientes e raízes]], [[Equações algébricas com coeficientes reais]] - pesquisa de raízes racionais, raízes complexas conjugadas. | ||
== Exemplo == | |||
Um exemplo de como completar quadrado: | |||
Temos a seguinte equação: <math>(x+2)^2= x^2+4x+4 \,\!</math> | |||
Agora imagine a equação: | |||
<math>x^2 + 8x -5=0 \,\!</math> | |||
Vamos tentar transformá-la em um quadrado da soma. | |||
<math>x^2+8x=5 \,\!</math> | |||
Perceba que <math>(x+4)^2=x^2+8x+16 \,\!</math> | |||
<math>(x+4)^2 -16=5 \,\! </math> | |||
<math>(x+4)^2=21 \,\!</math> | |||
Esse menos 16 é para subtrair do 16 que se forma no produto notável de | |||
<math>(x+4)\,\!</math>, | |||
é só isso, o método de completar quadrados é simplesmente você transformar os números em um quadrado da soma. | |||
==Casos particulares== | |||
===Equação do 1º grau com 1 incógnita=== | |||
====Sistemas do 1º grau==== | |||
====Problemas do 1º grau==== | |||
A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos. | |||
Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo <math>a=c-4\,\!</math>. Assim: | |||
<math>c + a = 22\,\!</math> | |||
<math>c + (c - 4) = 22\,\!</math> | |||
<math>2c - 4 = 22\,\!</math> | |||
<math>2c - 4 + 4 = 22 + 4\,\!</math> | |||
<math>2c = 26\,\!</math> | |||
<math>c = 13\,\!</math> | |||
Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos. | |||
===Equação do 2º grau com 1 incógnita=== | |||
Aqui mostraremos como se pode deduzir a famosa fórmula para a resolução de equações do segundo grau, também conhecida como '''fórmula de [[w:Bhaskara|Bhaskara]]'''. | |||
== Evolução == | |||
<math>ax^2+bx+c=0</math>, donde | |||
:<math>a \left( x^2+ \frac{bx}{a} + \frac{c}{a} \right) = 0</math> | |||
::*a multiplica os termos: | |||
:<math>a \left( x^2+ \frac{bx}{a}+ \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \right) = 0</math> | |||
:<math>a \left[ \left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \right) \right] = 0</math> | |||
:<math>a \left[ \left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \right) \right] = 0</math> | |||
:<math>a \left[ \left( x+ \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right) \left( x+ \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right) \right] = 0</math> | |||
::*aqui <math>b^2-4ac</math> tornou-se <math>\Delta</math>. | |||
:<math>a \left[ \left( x+ \frac{b+ \sqrt{\Delta}}{2a} \right) \left( x+ \frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right] = 0</math> | |||
::*aqui temos <math>\left( \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a} \right)</math> como X<sub>1</sub> e <math>\left( \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right)</math> como X<sub>2</sub>. | |||
:<math>a \left \{ x- x_1 \right \} \left[ x- x_2 \right] = 0</math> | |||
:<math>a \left( x- x_1 \right) \left( x- x_2 \right) = 0</math> | |||
::*então, | |||
{| class="{{{class|}}}" style="background-color: {{{bgColor|transparent}}}; width: {{{width|100%}}}" | |||
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:x = x<sub>1</sub> | |||
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:x = x<sub>2</sub> | |||
:<math>x_2 = \left( \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right)</math> | |||
|} | |||
::*por fim, <math>x_1</math> e <math>x_2</math> (x) é representado pela seguinte fórmula: | |||
<center> | |||
<math>x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math> | |||
</center> | |||
==== Exercícios ==== | |||
Exercícios de aplicação da [[Fórmula de Bhaskara]]. | |||
# Determine o conjunto solução, nos reais, das equações seguintes, usando a fórmula de Bhaskara | |||
## <math>x^2 - 2 \ x + 1 = 0 (S=1;1)\,</math> | |||
## <math>y^2 - 6 \ y + 8 = 0 (S=2;4)\,</math> | |||
## <math>x^2 - 7 \ x - 18 = 0 (S=-2;9)\,</math> | |||
## <math>-y^2 + 2 y + 3 = 0 (S=-1;3)\,</math> | |||
## <math>x^2 - 4 \ x + 5 = 0 (x \notin \mathbb{R})\,</math> | |||
## <math>2 \ x^2 - 5 \ x + 2 = 0 (S=0,5;2)\,</math> | |||
## <math>9 \ x^2 + 6 \ x + 1 = 0 (x \notin \mathbb{R})\,</math> | |||
## <math>-4 \ x^2 - 4 \ x - 1 = 0 (0,5;0,5)\,</math> | |||
## <math>x^2 - x - 1 = 0\,</math> | |||
## <math>3 y^2 + 2 \ y - 1 = 0 (S=2/6;-1)\,</math> | |||
## <math>x^2 - 4 = 0\,</math> | |||
## <math>-x^2 - x - 4 = 0\,</math> | |||
## <math>x^2 - 17 = 0\,</math> | |||
## <math>y^2 + y - 20 = 0\,</math> | |||
## <math>x^2 + 626 = 0\,</math> | |||
## <math>x^2 - 15 x = 0\,</math> | |||
## <math>x^2 - 3 \ \sqrt{2} \ x + 6 = 0\,</math> | |||
## <math>-y^2 - 3 \ y + 10 = 0\,</math> | |||
## <math>-3 z^2 + 10 \ z - 3 = 0\,</math> | |||
## <math>z^2 + 8 \ z + 15 = 0\,</math> | |||
Exemplo 2 | |||
(2+X)(X+1)=2x+2+x.x+x | |||
=x.x+3x+2=0 | |||
a=1 | |||
b=3 | |||
c=2 | |||
Aplicando na fórmula teremos: | |||
Delta=b.b-4.a.c | |||
Substituindo os valores na fórmula teremos: | |||
Delta=3×3-4×1×2 | |||
Delta =9-8 | |||
Delta=1 | |||
X1=-b+√delta/2.a | |||
Substuindo history para x1.: | |||
X1=-3+√1/2×1 | |||
X1=-3+1/2 | |||
X1=-2/2 | |||
X1=-1 | |||
X2=-b-√delta/2×a | |||
X2=-3-√1/2×1 | |||
X2=-3-1/2 | |||
X2=-4/2 | |||
X2=-2 | |||
Equação frigate agradesso quem a very beijinho de Cristiamo | |||
====Sistemas do 2º grau==== | |||
====Problemas do 2º grau==== | |||
Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos foram convidados a este jantar? | |||
;Solução: | |||
x = número de convidados | |||
24.000/x = prêmio recebido por cada um se não houvesse faltas | |||
24.000/(x-5) = prêmio recebido por cada um, como faltaram 5 pessoas | |||
24.000/x+400=24.000/(x-5) ===> cada um dos presentes recebeu mais 400 | |||
simplificando a equação: | |||
dividindo os termos por 400 | |||
60/x + 1 = 60/(x-5) | |||
mmc: entre x e x-5 = x.(x-5) | |||
60 (x-5) + x.(x-5) = 60.x | |||
60x - 300 + x² - 5x - 60x = 0 | |||
x²-5x-300 = 0 | |||
aplicando a fórmula de Bhaskara: | |||
x' = 20, x" = -15(raízes negativas não servem) | |||
Resposta: 20 pessoas foram convidadas... | |||
===Equação biquadrada=== | |||
Uma equação biquadrada é um equação do quarto grau que não possuem termos de grau ímpar: | |||
:<math>ax^4+bx^2+c=0,\quad a\neq 0\,</math> | |||
A técnica para resolver esta equação consiste em reescrever a equação como uma expressão em '''y''' de forma que: | |||
:<math>y=x^2\,</math> | |||
Assim a equação biquadrada transforma-se numa equação do segundo grau em '''y''': | |||
:<math>ay^2+by+c=0,\quad a\neq 0\,</math> | |||
==== Exercícios ==== | |||
Ver [[Matemática elementar/Expressões algébricas/Equação biquadrada/Exercícios]] | |||
{{Esboço/Matemática}} | |||
== Leitura complementar == | |||
* Gilberto G. Garbi. ''O Romance das Equações Algébricas''. 3ª ed. São Paulo: Livraria da Física. 2009. ISBN 8588325764 | |||
* Gilberto G. Garbi. ''A rainha da Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática''. Livraria da Física, 2006. ISBN 8588325616 | |||
{{AutoCat}} | |||
[[en:Algebra/Solving equations]] <!-- não é exatamente um iw, mas é próximo //--> |
Edição atual tal como às 20h02min de 2 de março de 2021
Definição
Uma equação é uma igualdade de expressões matemáticas, que pode ser utilizada no estudo das funções, nomeadamente das suas raízes. Pelo menos uma da expressão contém uma ou várias incógnitas (variáveis), cujo valor é denominado de solução ou soluções da equação.
Cada uma das expressões pode ser considerada como função matemática (p.e. f(x) e g(x)), e partilhar as suas propriedades, em que cada operação efetuada sobre uma das expressões, terá que ser replicada na outra
Raiz
Se as equações forem polinomiais, i.e., compostas por polinômios, o grau n da equação é o mesmo que o maior expoente encontrado de ambos polinômios, e a sua solução admite no máximo n raízes. A raiz de uma equação é o valor com o qual a incógnita anula a equação.
Multiplicidade de raízes
Número de raízes de uma equação
Relações entre coeficientes e raízes, Equações algébricas com coeficientes reais - pesquisa de raízes racionais, raízes complexas conjugadas.
Exemplo
Um exemplo de como completar quadrado:
Temos a seguinte equação:
Agora imagine a equação:
Vamos tentar transformá-la em um quadrado da soma.
Perceba que
Esse menos 16 é para subtrair do 16 que se forma no produto notável de
,
é só isso, o método de completar quadrados é simplesmente você transformar os números em um quadrado da soma.
Casos particulares
Equação do 1º grau com 1 incógnita
Sistemas do 1º grau
Problemas do 1º grau
A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo . Assim:
Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.
Equação do 2º grau com 1 incógnita
Aqui mostraremos como se pode deduzir a famosa fórmula para a resolução de equações do segundo grau, também conhecida como fórmula de Bhaskara.
Evolução
, donde
-
- a multiplica os termos:
-
- aqui tornou-se .
-
- aqui temos como X1 e como X2.
- então,
|
|
- por fim, e (x) é representado pela seguinte fórmula:
Exercícios
Exercícios de aplicação da Fórmula de Bhaskara.
- Determine o conjunto solução, nos reais, das equações seguintes, usando a fórmula de Bhaskara
Exemplo 2 (2+X)(X+1)=2x+2+x.x+x
=x.x+3x+2=0 a=1 b=3 c=2
Aplicando na fórmula teremos:
Delta=b.b-4.a.c
Substituindo os valores na fórmula teremos: Delta=3×3-4×1×2 Delta =9-8 Delta=1
X1=-b+√delta/2.a
Substuindo history para x1.:
X1=-3+√1/2×1
X1=-3+1/2
X1=-2/2
X1=-1
X2=-b-√delta/2×a
X2=-3-√1/2×1
X2=-3-1/2
X2=-4/2
X2=-2
Equação frigate agradesso quem a very beijinho de Cristiamo
Sistemas do 2º grau
Problemas do 2º grau
Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos foram convidados a este jantar?
- Solução
x = número de convidados 24.000/x = prêmio recebido por cada um se não houvesse faltas 24.000/(x-5) = prêmio recebido por cada um, como faltaram 5 pessoas 24.000/x+400=24.000/(x-5) ===> cada um dos presentes recebeu mais 400 simplificando a equação: dividindo os termos por 400 60/x + 1 = 60/(x-5) mmc: entre x e x-5 = x.(x-5) 60 (x-5) + x.(x-5) = 60.x 60x - 300 + x² - 5x - 60x = 0 x²-5x-300 = 0 aplicando a fórmula de Bhaskara: x' = 20, x" = -15(raízes negativas não servem)
Resposta: 20 pessoas foram convidadas...
Equação biquadrada
Uma equação biquadrada é um equação do quarto grau que não possuem termos de grau ímpar:
A técnica para resolver esta equação consiste em reescrever a equação como uma expressão em y de forma que:
Assim a equação biquadrada transforma-se numa equação do segundo grau em y:
Exercícios
Ver Matemática elementar/Expressões algébricas/Equação biquadrada/Exercícios
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Leitura complementar
- Gilberto G. Garbi. O Romance das Equações Algébricas. 3ª ed. São Paulo: Livraria da Física. 2009. ISBN 8588325764
- Gilberto G. Garbi. A rainha da Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. Livraria da Física, 2006. ISBN 8588325616