Curso de termodinâmica/Elementos de termodinâmica estatística: mudanças entre as edições
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(antes: W = 80! / (40! 36!) = 7,210²2. depois: W = 80! / (40! 36!) (aproximadamente) 7,2 (simbolo de produto) 10²²) |
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== Analise combinatória == | == Analise combinatória == | ||
Por definição, a fatorial do número inteiro N é N! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ... x (N-2) x (N-1) x N com 0! =1 | Por definição, a fatorial do número inteiro N é N! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ... x (N-2) x (N-1) x N com 0! =1 | ||
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Se N é muito grande: | Se N é muito grande: | ||
<center><math>lnN!\;=\;(N\;lnN\;-\;N)</math> (Aproximação de Stirling)</center> | |||
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O número de permutações diferentes num conjunto de n objetos onde n<sub>1</sub> constituem um grupo de uma certa natureza (=são idênticos entre si), n<sub>2</sub> são de uma outra natureza, etc. ..., é : | O número de permutações diferentes num conjunto de n objetos onde n<sub>1</sub> constituem um grupo de uma certa natureza (=são idênticos entre si), n<sub>2</sub> são de uma outra natureza, etc. ..., é : | ||
<center><math>\frac{n!}{n_1!n_2!...} \qquad n = n_1 + n_2 + ...</math></center> | |||
== Noção de desordem- analogia macroscópica == | == Noção de desordem- analogia macroscópica == | ||
Quando objetos se distribuem á sorte, observe-se geralmente um arranjo ordenado ? | |||
Quando objetos se distribuem | |||
Por exemplo, se chacoalharmos um recipiente contendo bolhas vermelhas e bolhas verdes , observamos freqüentemente que todas as bolhas se colocam no fundo, com as bolhas verdes em cima? | Por exemplo, se chacoalharmos um recipiente contendo bolhas vermelhas e bolhas verdes , observamos freqüentemente que todas as bolhas se colocam no fundo, com as bolhas verdes em cima? | ||
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Por exemplo, um resultado de 44 coroas e 36 caras pode ser obtido de diversas maneiras, diversos estudantes podendo ver um a coroa no lugar de uma cara e outros uma cara no lugar de uma coroa sem afetar o resultado final 44 coroas e 36 caras. Este número de maneiras de obter o resultado observado não é o mesmo para qualquer resultado. Assim o número de maneiras de obter 44 caras e 36 coroas é: | Por exemplo, um resultado de 44 coroas e 36 caras pode ser obtido de diversas maneiras, diversos estudantes podendo ver um a coroa no lugar de uma cara e outros uma cara no lugar de uma coroa sem afetar o resultado final 44 coroas e 36 caras. Este número de maneiras de obter o resultado observado não é o mesmo para qualquer resultado. Assim o número de maneiras de obter 44 caras e 36 coroas é: | ||
<center><math>W\;=\;\frac{80!}{44!36!}\; | <center><math>W\;=\;\frac{80!}{44!36!}\;\approx\;7,24 \cdot10^{22} </math></center> | ||
o que é muito maior que o número de maneiras de obter 79 caras e 1 coroa: | o que é muito maior que o número de maneiras de obter 79 caras e 1 coroa: | ||
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<center><math>W\;=\;\frac{80!}{79!1!}\;=\;80</math></center> | <center><math>W\;=\;\frac{80!}{79!1!}\;=\;80</math></center> | ||
Como todas as maneiras tem a mesma probabilidade, é a situação mais provável ´e aquela que se obtém do maior número de vezes | Como todas as maneiras tem a mesma probabilidade, é a situação mais provável ´e aquela que se obtém do maior número de vezes possíveis . É também a situação que aparece como a mais desordenada. | ||
Em resumo | Em resumo | ||
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== Elementos de termodinâmica estatística == | == Elementos de termodinâmica estatística == | ||
Como avaliar quantitativamente a desordem de um sistema? Um meio é a avaliação do número de maneiras de arranjar todas as partículas do sistema em todas as posições e os níveis de energia disponíveis. O arranjo mais provável é aquele que pode ser obtido do maior número de maneiras. Consideramos, para simplificar, um sistema isolado, de energia total E, composto de N partículas distribuídas sobre níveis de energia não-degenerados (as partículas postas sobre um certo nível não podem ser distinguidas entre elas). Além disso, suponhamos que os níveis de energia são regularmente separados, seja que a diferença de energia entre dois níveis sucessivos é uma constante <math>\epsilon</math>. | |||
Como avaliar quantitativamente a desordem de um sistema? Um meio é a avaliação do número de maneiras de arranjar todas as partículas do sistema em todas as posições e os níveis de energia disponíveis. O arranjo mais provável é aquele que pode ser obtido do maior número de maneiras. Consideramos, para simplificar, um sistema isolado, de energia total E, composto de N partículas distribuídas sobre níveis de energia não-degenerados (as partículas postas sobre um certo nível não podem ser distinguidas entre elas). Além disso, suponhamos que os níveis de energia são regularmente separados, seja que a | |||
De quantas maneiras (ou microestados) podemos produzir cada arranjo (ou distribuição) das partículas sobre estes níveis? | De quantas maneiras (ou microestados) podemos produzir cada arranjo (ou distribuição) das partículas sobre estes níveis? | ||
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A distribuição a pode só ser obtida de uma maneira: | A distribuição a pode só ser obtida de uma maneira: | ||
[[Imagem:Entropia2.gif]] <math> w\;=\;\frac{N!}{n_0!n_1!n_2!..}\;=\;\frac{3!}{0!3!0!}\;=\;1 </math> | [[Imagem:Entropia2.gif]] <math> w\;=\;\frac{N!}{n_0!n_1!n_2!..}\;=\;\frac{3!}{0!3!0!}\;=\;1 </math> | ||
A distribuição b pode ser obtida de 3 maneiras: | A distribuição b pode ser obtida de 3 maneiras: | ||
[[Imagem:Entropia3.gif]] <math>w\;=\;\frac{N!}{n_0!n_1!n_2!....}\;=\;\frac{3!}{2!0!0!1!}=\;3</math> | [[Imagem:Entropia3.gif]] <math>w\;=\;\frac{N!}{n_0!n_1!n_2!....}\;=\;\frac{3!}{2!0!0!1!}=\;3</math> | ||
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[[Imagem:entropia4.gif]] <math>w\;=\;\frac{3!}{1!1!1!}\;=\;6</math> | [[Imagem:entropia4.gif]] <math>w\;=\;\frac{3!}{1!1!1!}\;=\;6</math> | ||
O número total de maneiras de distribuir as partículas do sistema considerado é 1 + 3 + 6 = 10. O tempo que passa o sistema em cada distribuição é proporcional aos números de maneiras de obtê-lo. É a distribuição c que é observada com mais freqüência, com uma probabilidade de 60%. | O número total de maneiras de distribuir as partículas do sistema considerado é 1 + 3 + 6 = 10. O tempo que passa o sistema em cada distribuição é proporcional aos números de maneiras de obtê-lo. É a distribuição c que é observada com mais freqüência, com uma probabilidade de 60%. | ||
Exemplo 2: N = 14 ; E = 28 | Exemplo 2: N = 14 ; E = 28 | ||
Esta vez, temos um grande número de distribuições possíveis entre elas: | Esta vez, temos um grande número de distribuições possíveis entre elas: | ||
[[Imagem:Entropia5.gif]] <math>w\;=\ | [[Imagem:Entropia5.gif]] <math>w\;=\frac{14!}{4!3!2!2!1!1!1!}\;=\;151351200</math> | ||
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<math>n_i\;=\;N\frac{e^{-\frac{\epsilon_i}{kT}}}{\sum_ie^{-\frac{\epsilon_i}{kT}}}\;=\;n_0 e^{-\frac{\epsilon_i}{kT}}</math> | <math>n_i\;=\;N\frac{e^{-\frac{\epsilon_i}{kT}}}{\sum_ie^{-\frac{\epsilon_i}{kT}}}\;=\;n_0 e^{-\frac{\epsilon_i}{kT}}</math> | ||
<math>a= | onde n<sub>i</sub> e <math>\epsilon_i</math> representam a população e a energia do nível i. Esta relação entre as populações dos diversos níveis produz o que chamamos a distribuição de Boltzmann. No nosso caso, temos, <math>\epsilon_i\;=\;i_\epsilon</math> . k é a constante de Boltzmann, que é ligada à constante dos gases perfeitos por <math>R = k N_{ Avogadro}</math>. | ||
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Edição atual tal como às 18h32min de 21 de dezembro de 2015
Analise combinatória
Por definição, a fatorial do número inteiro N é N! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ... x (N-2) x (N-1) x N com 0! =1
Se N é muito grande:
O número de permutações diferentes num conjunto de n objetos onde n1 constituem um grupo de uma certa natureza (=são idênticos entre si), n2 são de uma outra natureza, etc. ..., é :
Noção de desordem- analogia macroscópica
Quando objetos se distribuem á sorte, observe-se geralmente um arranjo ordenado ?
Por exemplo, se chacoalharmos um recipiente contendo bolhas vermelhas e bolhas verdes , observamos freqüentemente que todas as bolhas se colocam no fundo, com as bolhas verdes em cima? Mesmo repetindo o experimento um grande número de vezes, nunca, provavelmente aconteceria esta situação. Porque?
Outro exemplo: Se um estudante joga uma moeda, ele observa cara ou coroa. Se 80 estudantes jogam cada um uma moeda, observamos um certe número de caras e um certo número de coroas. Em geral, os números são parecidos, por exemplo 39 coroas e 42 caras, ou ainda 44 coroas e 36 caras. Porque não observamos 79 coroas e uma cara ou ainda 80 coroas?
A resposta faz intervir o número de maneiras (ou número de micro estados) permitindo de obter uma certa situação ( um arranjo ou micro estado). Cada jogada de moeda é controlada unicamente pela sorte: uma coroa é igualmente provável que uma cara. Apesar de todo isso, todos os resultados de 80 jogadas não tem a mesma probabilidade.
Por exemplo, um resultado de 44 coroas e 36 caras pode ser obtido de diversas maneiras, diversos estudantes podendo ver um a coroa no lugar de uma cara e outros uma cara no lugar de uma coroa sem afetar o resultado final 44 coroas e 36 caras. Este número de maneiras de obter o resultado observado não é o mesmo para qualquer resultado. Assim o número de maneiras de obter 44 caras e 36 coroas é:
o que é muito maior que o número de maneiras de obter 79 caras e 1 coroa:
Como todas as maneiras tem a mesma probabilidade, é a situação mais provável ´e aquela que se obtém do maior número de vezes possíveis . É também a situação que aparece como a mais desordenada.
Em resumo
UM SISTEMA TEM A TENDÊNCIA DE SE ENCAMINHAR PARA uma SITUAÇÃO DE DESORDEM MÁXIMA PORQUE É ESTA SITUAÇÃO QUE ACONTECE DO MAIOR NÚMERO DE MANEIRAS POSSÍVEIS
Elementos de termodinâmica estatística
Como avaliar quantitativamente a desordem de um sistema? Um meio é a avaliação do número de maneiras de arranjar todas as partículas do sistema em todas as posições e os níveis de energia disponíveis. O arranjo mais provável é aquele que pode ser obtido do maior número de maneiras. Consideramos, para simplificar, um sistema isolado, de energia total E, composto de N partículas distribuídas sobre níveis de energia não-degenerados (as partículas postas sobre um certo nível não podem ser distinguidas entre elas). Além disso, suponhamos que os níveis de energia são regularmente separados, seja que a diferença de energia entre dois níveis sucessivos é uma constante . De quantas maneiras (ou microestados) podemos produzir cada arranjo (ou distribuição) das partículas sobre estes níveis?
Exemplo 1: N = 3 ; E = 3
Tem só três distribuições possíveis cuja energia total é 3:
A distribuição a pode só ser obtida de uma maneira:
A distribuição b pode ser obtida de 3 maneiras:
A distribuição c pode ser obtida de 6 maneiras:
O número total de maneiras de distribuir as partículas do sistema considerado é 1 + 3 + 6 = 10. O tempo que passa o sistema em cada distribuição é proporcional aos números de maneiras de obtê-lo. É a distribuição c que é observada com mais freqüência, com uma probabilidade de 60%.
Exemplo 2: N = 14 ; E = 28
Esta vez, temos um grande número de distribuições possíveis entre elas:
O cálculo do número de permutações w para cada distribuição confirma mais uma vez que são as distribuições muito desordenadas que são as mais prováveis.
O número W é uma medição da desordem do sistema. A distribuição a mais provável é aquela que possui o número de permutações W máximo. Matematicamente, podemos demonstrar que W é máximo quando:
onde ni e representam a população e a energia do nível i. Esta relação entre as populações dos diversos níveis produz o que chamamos a distribuição de Boltzmann. No nosso caso, temos, . k é a constante de Boltzmann, que é ligada à constante dos gases perfeitos por .