Curso de termodinâmica/Variação de entropia dos gases perfeitos-Ciclo de Carnot: mudanças entre as edições
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<center><math>dS\;=\;\frac{dE\;\;+\;PdV}{T} </math> primeira lei</center> | <center><math>dS\;=\;\frac{dE\;\;+\;PdV}{T} </math> primeira lei</center> | ||
<center><math>dE\;=\;C_V dT </math> gás perfeito</center> | <center><math>dE\;=\;C_V dT </math> gás perfeito</center> | ||
Em conseqüência: | Em conseqüência: | ||
<center><math>dS\;=\;\frac{C_vdT\;+\;PdV}{T}</math></center> | <center><math>dS\;=\;\frac{C_vdT\;+\;PdV}{T}</math></center> | ||
então: | então: | ||
<center><math>\Delta S\;=\; C_V\; ln \frac{T_2}{T_1}\;+\;nR\; ln\frac{V_2}{V_1}</math></center> | <center><math>\Delta S\;=\; C_V\; ln \frac{T_2}{T_1}\;+\;nR\; ln\frac{V_2}{V_1}</math></center> | ||
Porém, para um gás perfeito | Porém, para um gás perfeito | ||
<center><math>C_P=\;C_V\;+\;nR \qquad e\qquad \frac{P_1V_1}{T_1}\;=\;\frac{P_2V_2}{T_2}\;=\;nR</math></center> | <center><math>C_P=\;C_V\;+\;nR \qquad e\qquad \frac{P_1V_1}{T_1}\;=\;\frac{P_2V_2}{T_2}\;=\;nR</math></center> | ||
o que leva a : | o que leva a : | ||
<center><math>\Delta S\;=\;C_p\;ln\frac{T_2}{T_1}\;-\;nR\;ln\frac{P_2}{P_1}</math></center> | <center><math>\Delta S\;=\;C_p\;ln\frac{T_2}{T_1}\;-\;nR\;ln\frac{P_2}{P_1}</math></center> | ||
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===Definição do ciclo=== | ===Definição do ciclo=== | ||
Um ciclo de Carnot compreende quatro etapas reversíveis que aplicamos a n mols de um gás perfeito: | Um ciclo de Carnot compreende quatro etapas reversíveis que aplicamos a n mols de um gás perfeito: | ||
*Uma dilatação (descompressão) isoterma a temperatura T1 = T2 = T<sub>fonte quente</sub>; | |||
*Uma dilatação adiabática de T<sub>fonte quente</sub> a T3 = T<sub>fonte fria</sub>; | |||
*Uma dilatação (descompressão) isoterma a temperatura T1 = T2 = T<sub>fonte quente</sub>; | *Uma compressão isoterma a T3 = T4 = T<sub>fonte fria</sub>; | ||
*Uma dilatação adiabática de T<sub>fonte quente</sub> a T3 = T<sub>fonte fria</sub>; | *Uma compressão adiabática de T4 = T<sub>fonte fria</sub> à T1 = T<sub>fonte quente</sub>. | ||
*Uma compressão isoterma a T3 = T4 = T<sub>fonte fria</sub>; | |||
*Uma compressão adiabática de T4 = T<sub>fonte fria</sub> à T1 = T<sub>fonte quente</sub>. | |||
===As etapas do ciclo de Carnot=== | ===As etapas do ciclo de Carnot=== | ||
O ciclo de Carnot constitui um exemplo simples de máquina, quer dizer um instrumento que permite a conversão de calor em trabalho ou de trabalho em calor. | O ciclo de Carnot constitui um exemplo simples de máquina, quer dizer um instrumento que permite a conversão de calor em trabalho ou de trabalho em calor. | ||
'''''Cálculo de w, q e E para cada etapa''''' | '''''Cálculo de w, q e E para cada etapa''''' | ||
====Etapa A==== | ====Etapa A==== | ||
Durante a expansão isoterma, uma quantidade de trabalho w<sub>A</sub> é fornecida (perdida) pelo sistema. Simultaneamente, o calor q<sub>A</sub> é absorvido: | Durante a expansão isoterma, uma quantidade de trabalho w<sub>A</sub> é fornecida (perdida) pelo sistema. Simultaneamente, o calor q<sub>A</sub> é absorvido: | ||
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<center><math>\Delta E_A\;=\;0</math></center> | <center><math>\Delta E_A\;=\;0</math></center> | ||
<center><math>w_A\;=\;-\int_{V_1}^{V_2}PdV\;=\;-nR\;T_1\;ln\frac{V_2}{V_1}<0</math></center> | <center><math>w_A\;=\;-\int_{V_1}^{V_2}PdV\;=\;-nR\;T_1\;ln\frac{V_2}{V_1}<0</math></center> | ||
<center><math>q_A\;=\;-w_A\;=\;nRT_1\; ln\frac{V_2}{V_1}> 0</math></center> | <center><math>q_A\;=\;-w_A\;=\;nRT_1\; ln\frac{V_2}{V_1}> 0</math></center> | ||
==== Etapa B ==== | ==== Etapa B ==== | ||
A expansão adiabática do gás conduz a um resfriamento da temperatura da fonte quente T1 = T2 para a temperatura da fonte fria T3 = T4. O trabalho é fornecido pelo sistema (é uma expansão ) mas acontece nenhuma transferência de calor. | A expansão adiabática do gás conduz a um resfriamento da temperatura da fonte quente T1 = T2 para a temperatura da fonte fria T3 = T4. O trabalho é fornecido pelo sistema (é uma expansão ) mas acontece nenhuma transferência de calor. | ||
<center><math>\Delta E_B\;=\;w_B\;=\;n\bar C_V(T_{fonte\;fria}\;-\;T_{fonte\;quente})\;<\;0</math></center> | <center><math>\Delta E_B\;=\;w_B\;=\;n\bar C_V(T_{fonte\;fria}\;-\;T_{fonte\;quente})\;<\;0</math></center> | ||
<center><math>\;q_B\;=\;0</math></center> | <center><math>\;q_B\;=\;0</math></center> | ||
====Etapa C==== | ====Etapa C==== | ||
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<center><math>\bar C_VdT\;=\;-\frac {RT}{V} dV</math></center> | <center><math>\bar C_VdT\;=\;-\frac {RT}{V} dV</math></center> | ||
<center><math>\bar C_V \frac{dT}{T}\;=\;-\;R\frac{dV}{V}</math></center> | <center><math>\bar C_V \frac{dT}{T}\;=\;-\;R\frac{dV}{V}</math></center> | ||
<center><math>\bar C_V\;ln\;\frac {T_{fonte\; fria}}{T_{fonte\;quente}}\;=\;-\;R\;ln\;\frac{V_3}{V_2}\;=\;R\;ln\;\frac{V_2}{V_3}</math></center> | <center><math>\bar C_V\;ln\;\frac {T_{fonte\; fria}}{T_{fonte\;quente}}\;=\;-\;R\;ln\;\frac{V_3}{V_2}\;=\;R\;ln\;\frac{V_2}{V_3}</math></center> | ||
Da mesma maneira, para a compressão adiabática (etapa D): | Da mesma maneira, para a compressão adiabática (etapa D): | ||
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===Balanço do ciclo=== | ===Balanço do ciclo=== | ||
a) calor | a) calor | ||
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<center><math>q_{ciclo}\;=\;\sum_{ciclo}\;q_i\;=\;q_A\;+\;q_C</math></center> | <center><math>q_{ciclo}\;=\;\sum_{ciclo}\;q_i\;=\;q_A\;+\;q_C</math></center> | ||
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<center><math>q_{ciclo}\;=\;nRT_{fonte\;quente}\;ln\frac{V_2}{V_1}\;+\;nRT_{fonte\;fria}\;ln{V_4}{V_3}</math></center | <center><math>q_{ciclo}\;=\;nRT_{fonte\;quente}\;ln\frac{V_2}{V_1}\;+\;nRT_{fonte\;fria}\;ln\frac{V_4}{V_3}</math></center> | ||
<center><math>q_{ciclo}\;=\;nR\;ln\frac{V_2}{V_1}(T_{fonte\;quente}\;-\;T_{fonte\;fria})\; | <center><math>q_{ciclo}\;=\;nR\;ln\frac{V_2}{V_1}(T_{fonte\;quente}\;-\;T_{fonte\;fria})\;>\;0</math></center> | ||
<br> | <br> | ||
b) trabalho | b) trabalho | ||
<center><math>w_{ciclo}\;=\;\sum_{ciclo}\;w_i\;=w_A\;+\;w_C\qquad porque\qquad w_B\;=\;-\;w_D</math></center> | <center><math>w_{ciclo}\;=\;\sum_{ciclo}\;w_i\;=w_A\;+\;w_C\qquad porque\qquad w_B\;=\;-\;w_D</math></center> | ||
<center><math>w_{ciclo}\;=\;-q_A\;-\;q_C</math></center> | <center><math>w_{ciclo}\;=\;-q_A\;-\;q_C</math></center> | ||
<center><math>w_{ciclo}\;=\;n\;R\;ln\;\frac{V_2}{V_1}(T_{fonte\;fria}\;-\;T_{fonte\;quente})\;<\;0</math></center> | <center><math>w_{ciclo}\;=\;n\;R\;ln\;\frac{V_2}{V_1}(T_{fonte\;fria}\;-\;T_{fonte\;quente})\;<\;0</math></center> | ||
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c) energia | c) energia | ||
<math>\Delta E\;=\;w_{ciclo}\;+\;q_{ciclo}\;=0</math>, | <math>\Delta E\;=\;w_{ciclo}\;+\;q_{ciclo}\;=0</math>, de acordo com a primeira lei.Vverificamos igualmente que nem o trabalho nem o calor são funções de estado. | ||
Globalmente, o sistema absorveu calor e forneceu trabalho. O ciclo de Carnot é um exemplo simples de uma máquina, quer dizer de um sistema capaz de transformar calor em trabalho. Um | Globalmente, o sistema absorveu calor e forneceu trabalho. O ciclo de Carnot é um exemplo simples de uma máquina térmica, quer dizer, de um sistema capaz de transformar calor em trabalho. Um veículo automóvel é um outro exemplo de máquina (a combustão da gasolina fornece calor que é transformado em trabalho de deslocamento). O resultado do ciclo de Carnot sugere que poderíamos recuperar em trabalho 100 % do calor fornecido. Entretanto, mesmo que não houvesse nenhuma perda de calor por condução e de energia mecânica por atrito, isso não poderia acontecer, porque o calor q<sub>C</sub> é devolvido pelo sistema no lugar frio da máquina e, na prática, não pode ser reutilizado para operar a máquina. O rendimento máximo de uma máquina de Carnot é: | ||
<center><math>rendimento\;=\;\frac{-w_{ciclo}}{q_A}\;=\;1+\frac{q_C}{q_A}\;=\;\frac{T_{ fonte\; | <center><math>rendimento\;=\;\frac{-w_{ciclo}}{q_A}\;=\;1+\frac{q_C}{q_A}\;=\;1 - \frac{T_{fonte\;fria}}{T_{fonte\; quente}}</math></center> | ||
===Conversão de trabalho em calor=== | ===Conversão de trabalho em calor=== | ||
Se percorrermos o ciclo de Carnot no sentido inverso, o sistema recebe energia mecânica e fornece calor em troca . É o principio da geladeira e da bomba a calor. Um gás é comprimido à temperatura do local. Fazendo isso, ele libera calor. O gás é transportado para a fonte fria | Se percorrermos o ciclo de Carnot no sentido inverso, o sistema recebe energia mecânica e fornece calor em troca . É o principio da geladeira e da bomba a calor. Um gás é comprimido à temperatura do local. Fazendo isso, ele libera calor. O gás é transportado para a fonte fria (dentro da geladeira ou fora do prédio) onde sua expansão é acompanhada de uma absorção de calor. | ||
===Verificação da segunda lei=== | ===Verificação da segunda lei=== | ||
S | Sendo S uma função de estado, temos S<sub>ciclo</sub> = 0. Por outro lado, como cada etapa é reversível: | ||
<br> | <br> | ||
<center><math>\Delta S_i\;=\;\frac{q_i}{T}</math></center> | <center><math>\Delta S_i\;=\;\frac{q_i}{T}</math></center> | ||
Verificamos que: | Verificamos que: | ||
<center><math>\Delta S_{ciclo}\;=\;\sum_{ciclo}\Delta S_i\;=\;\sum_{ciclo}\frac{q_i}{T}\;=\frac{q_A}{T_{fonte\;quente}}\;+\;\frac{q_C}{T_{fonte\;fria}}\;=\;0</math></center> | <center><math>\Delta S_{ciclo}\;=\;\sum_{ciclo}\Delta S_i\;=\;\sum_{ciclo}\frac{q_i}{T}\;=\frac{q_A}{T_{fonte\;quente}}\;+\;\frac{q_C}{T_{fonte\;fria}}\;=\;0</math></center> | ||
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Edição atual tal como às 19h02min de 31 de outubro de 2018
Ciclo de Carnot
Considerações iniciais:
Durante o processo reversível de um estado (T1, V1, P1) para um estado (T2, V2, P2), temos:
Em conseqüência:
então:
Porém, para um gás perfeito
o que leva a :
Definição do ciclo
Um ciclo de Carnot compreende quatro etapas reversíveis que aplicamos a n mols de um gás perfeito:
- Uma dilatação (descompressão) isoterma a temperatura T1 = T2 = Tfonte quente;
- Uma dilatação adiabática de Tfonte quente a T3 = Tfonte fria;
- Uma compressão isoterma a T3 = T4 = Tfonte fria;
- Uma compressão adiabática de T4 = Tfonte fria à T1 = Tfonte quente.
As etapas do ciclo de Carnot
O ciclo de Carnot constitui um exemplo simples de máquina, quer dizer um instrumento que permite a conversão de calor em trabalho ou de trabalho em calor.
Cálculo de w, q e E para cada etapa
Etapa A
Durante a expansão isoterma, uma quantidade de trabalho wA é fornecida (perdida) pelo sistema. Simultaneamente, o calor qA é absorvido:
Etapa B
A expansão adiabática do gás conduz a um resfriamento da temperatura da fonte quente T1 = T2 para a temperatura da fonte fria T3 = T4. O trabalho é fornecido pelo sistema (é uma expansão ) mas acontece nenhuma transferência de calor.
Etapa C
Etapa D
A equação de estado do gás permite simplificarem-se as expressões. Assim, durante a expansão adiabática (etapa B), temos:
mas:
Da mesma maneira, para a compressão adiabática (etapa D):
Deduzimos dessas relações que
Balanço do ciclo
a) calor
b) trabalho
c) energia
, de acordo com a primeira lei.Vverificamos igualmente que nem o trabalho nem o calor são funções de estado.
Globalmente, o sistema absorveu calor e forneceu trabalho. O ciclo de Carnot é um exemplo simples de uma máquina térmica, quer dizer, de um sistema capaz de transformar calor em trabalho. Um veículo automóvel é um outro exemplo de máquina (a combustão da gasolina fornece calor que é transformado em trabalho de deslocamento). O resultado do ciclo de Carnot sugere que poderíamos recuperar em trabalho 100 % do calor fornecido. Entretanto, mesmo que não houvesse nenhuma perda de calor por condução e de energia mecânica por atrito, isso não poderia acontecer, porque o calor qC é devolvido pelo sistema no lugar frio da máquina e, na prática, não pode ser reutilizado para operar a máquina. O rendimento máximo de uma máquina de Carnot é:
Conversão de trabalho em calor
Se percorrermos o ciclo de Carnot no sentido inverso, o sistema recebe energia mecânica e fornece calor em troca . É o principio da geladeira e da bomba a calor. Um gás é comprimido à temperatura do local. Fazendo isso, ele libera calor. O gás é transportado para a fonte fria (dentro da geladeira ou fora do prédio) onde sua expansão é acompanhada de uma absorção de calor.
Verificação da segunda lei
Sendo S uma função de estado, temos Sciclo = 0. Por outro lado, como cada etapa é reversível:
Verificamos que: