Matemática elementar/Relações: mudanças entre as edições
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Assim, uma relação binária é o conjunto de pares ordenados cujo primeiro elemento pertence a ''A'' e o segundo elemento pertence a ''B'', quaisquer que sejam os conjuntos ''A'' e ''B''. Representa-se a relação binária por <math>R : A \rightarrow B</math>. O conjunto ''A'' é chamado de '''domínio''' da relação, o conjunto ''B'' é chamado de '''contradomínio''' da relação. | Assim, uma relação binária é o conjunto de pares ordenados cujo primeiro elemento pertence a ''A'' e o segundo elemento pertence a ''B'', quaisquer que sejam os conjuntos ''A'' e ''B''. Representa-se a relação binária por <math>R : A \rightarrow B</math>. O conjunto ''A'' é chamado de '''domínio''' da relação, o conjunto ''B'' é chamado de '''contradomínio''' da relação. | ||
== | == Especificando relações == | ||
[[Imagem:relacoes_ABdobro.png|thumb|right|180px|Relação de A em B, definida como a associação de elementos de A ao seu dobro em B.]] | |||
A imagem à direita mostra uma maneira comum de se especificar relações: através de figuras mostrando os dois conjuntos, com setas indicando os pares ordenados. | |||
As relações também podem ser especificadas matematicamente da seguinte maneira: | |||
::<math>R = \{(x,y) \in A \times B | C \}</math>, | |||
Onde ''C'' é uma condição qualquer que associe os elementos de ''A'' e ''B''. Pode ser uma equação ou inequação. Por exemplo: | |||
::A = { 1,2,3 } | |||
::B = { 1,2,3,4,5,6 } | |||
::<math>R = \{(x,y) \in A \times B | y=2x \}</math> | |||
A relação, cujo domínio é ''A'' e o contradomínio é ''B'', é especificada por y = 2x. Logo, R = { (1,2),(2,4),(3,6) }. | |||
::C = { 1,2,4,8 } | |||
::D = { 0,1,2 } | |||
::<math>R = \{(x,y) \in C \times D | x < y \}</math> | |||
::R = { (1,2) } | |||
== Representação gráfica == | == Representação gráfica == | ||
[[Imagem:relacoes_grafico.png|thumb|left|150px|Gráfico de uma relação y = 2x, para x e y reais. Alguns pares ordenados aparecem marcados pelas linhas azuis.]] | [[Imagem:relacoes_grafico.png|thumb|left|150px|Gráfico de uma relação y = 2x, para x e y reais. Alguns pares ordenados aparecem marcados pelas linhas azuis.]] | ||
Relações binárias, visto consistirem de pares ordenados, podem ser representadas em '''gráficos'''. Um gráfico é nada mais do que uma curva (o nome se aplica mesmo a gráficos com apenas retas) que representa visualmente a relação binária, para cada par ordenado em que ela se defina. O gráfico formado assim é também chamado de '''sistema cartesiano''' ou '''gráfico cartesiano''', por representar um produto cartesiano. | |||
Uma relação que tenha por coordenadas elementos pertencentes ao conjunto dos números reais é representada, usualmente, num plano com duas retas: o '''eixo das abcissas''' e o '''eixo das ordenadas'''. Estas retas recebem também os símbolos ''x'' e ''y'', respectivamente. | Uma relação que tenha por coordenadas elementos pertencentes ao conjunto dos números reais é representada, usualmente, num plano com duas retas: o '''eixo das abcissas''' e o '''eixo das ordenadas'''. Estas retas recebem também os símbolos ''x'' e ''y'', respectivamente. | ||
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No gráfico como apresentado o eixo das abcissas representa o '''domínio''' da relação, e o eixo das ordenadas representa o '''contra-domínio''' da relação. | No gráfico como apresentado o eixo das abcissas representa o '''domínio''' da relação, e o eixo das ordenadas representa o '''contra-domínio''' da relação. | ||
== Função == | |||
Existe um tipo especial de relação que é chamado '''função''': é a relação na qual, para todo elemento do domínio, há correspondência de um (e somente um) elemento no contradomínio. A função normalmente é simbolizada por ''f(x)'' (sendo x uma ''variável'', ou seja, um valor que pode representar qualquer elemento do conjunto domínio). | |||
Como conseqüência natural da correspondência biunívoca entre elementos do domínio e contradomínio, a função é sempre uma relação definida por uma equação (pois uma inequação associa um elemento do domínio a vários elementos do contradomínio). | |||
As funções são estudadas com mais detalhes no [[Matemática Elementar: Funções|próximo capítulo]]. | |||
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Edição das 18h50min de 31 de maio de 2006
Relações são, conforme visto no capítulo anterior, quaisquer subconjuntos do produto cartesiano A × B. Em verdade, as relações podem envolver produtos cartesianos de vários conjuntos (X1 × X2 × ... × Xn), e a relação especifíca que envolve o produto cartesiano de dois conjuntos é chamada relação binária.
Assim, uma relação binária é o conjunto de pares ordenados cujo primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B, quaisquer que sejam os conjuntos A e B. Representa-se a relação binária por . O conjunto A é chamado de domínio da relação, o conjunto B é chamado de contradomínio da relação.
Especificando relações
A imagem à direita mostra uma maneira comum de se especificar relações: através de figuras mostrando os dois conjuntos, com setas indicando os pares ordenados.
As relações também podem ser especificadas matematicamente da seguinte maneira:
- ,
Onde C é uma condição qualquer que associe os elementos de A e B. Pode ser uma equação ou inequação. Por exemplo:
- A = { 1,2,3 }
- B = { 1,2,3,4,5,6 }
A relação, cujo domínio é A e o contradomínio é B, é especificada por y = 2x. Logo, R = { (1,2),(2,4),(3,6) }.
- C = { 1,2,4,8 }
- D = { 0,1,2 }
- R = { (1,2) }
Representação gráfica
Relações binárias, visto consistirem de pares ordenados, podem ser representadas em gráficos. Um gráfico é nada mais do que uma curva (o nome se aplica mesmo a gráficos com apenas retas) que representa visualmente a relação binária, para cada par ordenado em que ela se defina. O gráfico formado assim é também chamado de sistema cartesiano ou gráfico cartesiano, por representar um produto cartesiano.
Uma relação que tenha por coordenadas elementos pertencentes ao conjunto dos números reais é representada, usualmente, num plano com duas retas: o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas. Estas retas recebem também os símbolos x e y, respectivamente.
No caso da relação ser definida por inequações, o gráfico correspondente vai representar áreas, e não curvas. (Por razões práticas, no gráfico muitas vezes aparece colorida ou hachurada apenas uma parte, logo abaixo ou acima de uma linha que define a inequação.)
Um gráfico pode estar "em branco" para relações definidas pelo conjunto vazio ({}).
No gráfico como apresentado o eixo das abcissas representa o domínio da relação, e o eixo das ordenadas representa o contra-domínio da relação.
Função
Existe um tipo especial de relação que é chamado função: é a relação na qual, para todo elemento do domínio, há correspondência de um (e somente um) elemento no contradomínio. A função normalmente é simbolizada por f(x) (sendo x uma variável, ou seja, um valor que pode representar qualquer elemento do conjunto domínio).
Como conseqüência natural da correspondência biunívoca entre elementos do domínio e contradomínio, a função é sempre uma relação definida por uma equação (pois uma inequação associa um elemento do domínio a vários elementos do contradomínio).
As funções são estudadas com mais detalhes no próximo capítulo.