Matemática elementar/Relações: mudanças entre as edições
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'''Relações''' são, conforme visto no [[Matemática elementar/Conjuntos|capítulo anterior]], quaisquer subconjuntos do [[Matemática elementar/Conjuntos#Par ordenado e produto cartesiano|produto cartesiano]] A × B. Em verdade, as relações podem envolver produtos cartesianos de vários conjuntos (X<sub>1</sub> × X<sub>2</sub> × ... × X<sub>n</sub>), e a relação específica que envolve o produto cartesiano de dois conjuntos é chamada '''relação binária'''. | |||
''' | Assim, uma relação binária é o conjunto de pares ordenados cujo primeiro elemento pertence a ''A'' e o segundo elemento pertence a ''B'', quaisquer que sejam os conjuntos ''A'' e ''B''. Representa-se a relação binária por <math>R : A \rightarrow B \,\!</math>. O conjunto ''A'' é chamado de '''domínio''' da relação, o conjunto ''B'' é chamado de '''contradomínio''' da relação. | ||
== Especificando relações == | |||
[[Imagem:relacoes_ABdobro.png|thumb|right|180px|Relação de A em B, definida como a associação de elementos de A ao seu dobro em B.]] | |||
A imagem à direita mostra uma maneira comum de se especificar relações: através de figuras mostrando os dois conjuntos, com setas indicando os pares ordenados. | |||
== | As relações também podem ser especificadas matematicamente da seguinte maneira: | ||
::<math>R = \{(x,y) \in A \times B | C \}\,\!</math>, | |||
Onde ''C'' é uma condição qualquer que associe os elementos de ''A'' e ''B''. Pode ser uma equação ou inequação. Por exemplo: | |||
::A = { 1,2,3 } | |||
::B = { 1,2,3,4,5,6 } | |||
::<math>R = \{(x,y) \in A \times B | y=2x \}\,\!</math> | |||
A relação, cujo domínio é ''A'' e o contradomínio é ''B'', é especificada por y = 2x. Logo, R = { (1,2),(2,4),(3,6) }. | |||
::C = { 1,2,4,8 } | |||
::D = { 0,1,2 } | |||
::<math>R = \{(x,y) \in C \times D | x < y \}\,\!</math> | |||
::R = { (1,2) } | |||
== Representação gráfica == | == Representação gráfica == | ||
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No gráfico como apresentado o eixo das abcissas representa o '''domínio''' da relação, e o eixo das ordenadas representa o '''contra-domínio''' da relação. | No gráfico como apresentado o eixo das abcissas representa o '''domínio''' da relação, e o eixo das ordenadas representa o '''contra-domínio''' da relação. | ||
== Função == | |||
Existe um tipo especial de relação que é chamado '''função''': é a relação na qual, para todo elemento do domínio, há correspondência de um (e somente um) elemento no contradomínio. A função normalmente é simbolizada por ''f(x)'' (sendo x uma ''variável'', ou seja, um valor que pode representar qualquer elemento do conjunto domínio). | |||
Como conseqüência natural da correspondência biunívoca entre elementos do domínio e contradomínio, a função é sempre uma relação definida por uma equação (pois uma inequação associa um elemento do domínio a vários elementos do contradomínio). | |||
As funções são estudadas com mais detalhes no [[Matemática elementar/Funções|próximo capítulo]]. | |||
== Relações de equivalência == | |||
Uma classe muito importante de relações são as de equivalência, que serão definidas a seguir. | |||
Seja R uma relação entre os conjuntos A e B, ou seja, R ⊆ A×B. Denotaremos que um elemento a de A se relaciona com o elemento b de B, segundo a relação R, por aRb. | |||
Se uma relação R definida com domínio A e contradomínio A cumpre as seguintes propriedades: | |||
∀a <math>\in</math> A aRa (propriedade reflexiva) | |||
∀a,b <math>\in</math> A aRb ⇔ bRa (propriedade simétrica) | |||
∀a,b,c <math>\in</math> A aRb e bRc ⇒ aRc (propriedade transitiva) | |||
Ela é dita Relação de Equivalência. | |||
Relações de equivalência permitem que se definam classes de equivalência. | |||
Seja ā = {x <math>\in</math> A | xRa}. ā é denominado classe de equivalência de a. Alguns resultados importantes desta definição são: | |||
Teorema: Se a <math>\in</math> ē ⇒ ā=ē | |||
Demonstração: Tome x <math>\in</math> ā. Por definição xRa. Como a <math>\in</math> ē, por definição aRe. Pela propriedade transitiva das relações de equivalência, xRe, logo x <math>\in</math> ē. | |||
Tome x <math>\in</math> ē. Por definição xRe. Como a <math>\in</math> ē, por definição aRe, logo, eRa. Pela propriedade transitiva das relações de equivalência, xRa, logo x <math>\in</math> ā. | |||
Deste modo, ā=ē. | |||
Teorema: Se a∉ē, então ā∩ē=∅ | |||
Demonstração: Suponha, por absurdo que existe um x em ā∩ē. Da definição de interseção de conjuntos e da definição de classes de equivalência, xRa e xRe. Logo aRx e xRe. Daí aRe. Deste modo, a <math>\in</math> ē. Isto é um absurdo pela hipótese. Deste modo, nenhum x pode pertencer a ā∩ē. Logo ā∩ē=∅. | |||
Teorema: Se ā≠ē, então ā∩ē=∅ | |||
Demonstração: Se ā≠ē, então existe u <math>\in</math> ā tal que u∉ē ou u <math>\in</math> ē tal que u∉ā. Suporemos, sem perda de generalidade, que existe u <math>\in</math> ā tal que u∉ē. | |||
Como já provamos ū=ā e ū∩ē=∅. | |||
Logo ā∩ē=∅. | |||
Definição: Uma partição de um conjunto X é um conjunto P tal que x <math>\in</math> P ⇒ x⊆X, além de x,y <math>\in</math> P ⇒ x∩y=∅ e x <math>\in</math> X ⇒ ∃a <math>\in</math> P tal que x <math>\in</math> a. | |||
Teorema: Seja R uma relação de equivalência em A, P={ā⊆A|a <math>\in</math> A} é uma partição de A. | |||
Demonstração: Mostramos, no teorema anterior, que os elementos de P são subconjuntos de A, o que cumpre a primeira condição da definição de partição. | |||
Dois elementos de P, se são distintos, são disjuntos, conforme provamos no teorema anterior. | |||
E, para todo u em A, ū pertence a P, pela definição de P. | |||
Deste modo P é uma partição de A. | |||
Teorema: Seja P uma partição de A, a relação R dada por aRe ⇔ a <math>\in</math> ē é de equivalência. | |||
Demonstração: a <math>\in</math> ā por definição, de modo que aRa para todo a em A. | |||
Se aRe, então a <math>\in</math> ē, logo ā=ē. Daí, como e <math>\in</math> ē por definição, então e <math>\in</math> ā. Logo eRa | |||
Se aRe e eRu, então a <math>\in</math> ē e e <math>\in</math> ū. Daí, sabemos que ā=ē=ū. Logo a <math>\in</math> ū e, portanto, aRu. | |||
Deste modo, provamos as três condições da definição de relação de equivalência. | |||
Disto sabemos que toda partição induz uma relação de equivalência e toda relação de equivalência induz uma partição. | |||
Estes resultados são muito úteis em vários ramos da Matemática, como Geometria. | |||
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Edição atual tal como às 00h32min de 26 de março de 2011
Relações são, conforme visto no capítulo anterior, quaisquer subconjuntos do produto cartesiano A × B. Em verdade, as relações podem envolver produtos cartesianos de vários conjuntos (X1 × X2 × ... × Xn), e a relação específica que envolve o produto cartesiano de dois conjuntos é chamada relação binária.
Assim, uma relação binária é o conjunto de pares ordenados cujo primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B, quaisquer que sejam os conjuntos A e B. Representa-se a relação binária por . O conjunto A é chamado de domínio da relação, o conjunto B é chamado de contradomínio da relação.
Especificando relações
A imagem à direita mostra uma maneira comum de se especificar relações: através de figuras mostrando os dois conjuntos, com setas indicando os pares ordenados.
As relações também podem ser especificadas matematicamente da seguinte maneira:
- ,
Onde C é uma condição qualquer que associe os elementos de A e B. Pode ser uma equação ou inequação. Por exemplo:
- A = { 1,2,3 }
- B = { 1,2,3,4,5,6 }
A relação, cujo domínio é A e o contradomínio é B, é especificada por y = 2x. Logo, R = { (1,2),(2,4),(3,6) }.
- C = { 1,2,4,8 }
- D = { 0,1,2 }
- R = { (1,2) }
Representação gráfica
Relações binárias, visto consistirem de pares ordenados, podem ser representadas em gráficos. Um gráfico é nada mais do que uma curva (o nome se aplica mesmo a gráficos com apenas retas) que representa visualmente a relação binária, para cada par ordenado em que ela se defina. O gráfico formado assim é também chamado de sistema cartesiano ou gráfico cartesiano, por representar um produto cartesiano.
Uma relação que tenha por coordenadas elementos pertencentes ao conjunto dos números reais é representada, usualmente, num plano com duas retas: o eixo das abcissas e o eixo das ordenadas. Estas retas recebem também os símbolos x e y, respectivamente.
No caso da relação ser definida por inequações, o gráfico correspondente vai representar áreas, e não curvas. (Por razões práticas, no gráfico muitas vezes aparece colorida ou hachurada apenas uma parte, logo abaixo ou acima de uma linha que define a inequação.)
Um gráfico pode estar "em branco" para relações definidas pelo conjunto vazio ({}).
No gráfico como apresentado o eixo das abcissas representa o domínio da relação, e o eixo das ordenadas representa o contra-domínio da relação.
Função
Existe um tipo especial de relação que é chamado função: é a relação na qual, para todo elemento do domínio, há correspondência de um (e somente um) elemento no contradomínio. A função normalmente é simbolizada por f(x) (sendo x uma variável, ou seja, um valor que pode representar qualquer elemento do conjunto domínio).
Como conseqüência natural da correspondência biunívoca entre elementos do domínio e contradomínio, a função é sempre uma relação definida por uma equação (pois uma inequação associa um elemento do domínio a vários elementos do contradomínio).
As funções são estudadas com mais detalhes no próximo capítulo.
Relações de equivalência
Uma classe muito importante de relações são as de equivalência, que serão definidas a seguir. Seja R uma relação entre os conjuntos A e B, ou seja, R ⊆ A×B. Denotaremos que um elemento a de A se relaciona com o elemento b de B, segundo a relação R, por aRb. Se uma relação R definida com domínio A e contradomínio A cumpre as seguintes propriedades: ∀a A aRa (propriedade reflexiva) ∀a,b A aRb ⇔ bRa (propriedade simétrica) ∀a,b,c A aRb e bRc ⇒ aRc (propriedade transitiva) Ela é dita Relação de Equivalência.
Relações de equivalência permitem que se definam classes de equivalência. Seja ā = {x A | xRa}. ā é denominado classe de equivalência de a. Alguns resultados importantes desta definição são:
Teorema: Se a ē ⇒ ā=ē Demonstração: Tome x ā. Por definição xRa. Como a ē, por definição aRe. Pela propriedade transitiva das relações de equivalência, xRe, logo x ē. Tome x ē. Por definição xRe. Como a ē, por definição aRe, logo, eRa. Pela propriedade transitiva das relações de equivalência, xRa, logo x ā. Deste modo, ā=ē.
Teorema: Se a∉ē, então ā∩ē=∅ Demonstração: Suponha, por absurdo que existe um x em ā∩ē. Da definição de interseção de conjuntos e da definição de classes de equivalência, xRa e xRe. Logo aRx e xRe. Daí aRe. Deste modo, a ē. Isto é um absurdo pela hipótese. Deste modo, nenhum x pode pertencer a ā∩ē. Logo ā∩ē=∅.
Teorema: Se ā≠ē, então ā∩ē=∅ Demonstração: Se ā≠ē, então existe u ā tal que u∉ē ou u ē tal que u∉ā. Suporemos, sem perda de generalidade, que existe u ā tal que u∉ē. Como já provamos ū=ā e ū∩ē=∅. Logo ā∩ē=∅.
Definição: Uma partição de um conjunto X é um conjunto P tal que x P ⇒ x⊆X, além de x,y P ⇒ x∩y=∅ e x X ⇒ ∃a P tal que x a.
Teorema: Seja R uma relação de equivalência em A, P={ā⊆A|a A} é uma partição de A. Demonstração: Mostramos, no teorema anterior, que os elementos de P são subconjuntos de A, o que cumpre a primeira condição da definição de partição. Dois elementos de P, se são distintos, são disjuntos, conforme provamos no teorema anterior. E, para todo u em A, ū pertence a P, pela definição de P. Deste modo P é uma partição de A.
Teorema: Seja P uma partição de A, a relação R dada por aRe ⇔ a ē é de equivalência. Demonstração: a ā por definição, de modo que aRa para todo a em A. Se aRe, então a ē, logo ā=ē. Daí, como e ē por definição, então e ā. Logo eRa Se aRe e eRu, então a ē e e ū. Daí, sabemos que ā=ē=ū. Logo a ū e, portanto, aRu. Deste modo, provamos as três condições da definição de relação de equivalência.
Disto sabemos que toda partição induz uma relação de equivalência e toda relação de equivalência induz uma partição. Estes resultados são muito úteis em vários ramos da Matemática, como Geometria.