Matemática elementar/Progressões: mudanças entre as edições
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Seqüências ou progressões são funções do tipo <math> f:A \rightarrow B </math>, onde A é o conjunto dos números naturais ou um subconjunto dos números naturais consecutivos com mais de dois elementos, e B é um conjunto numérico. Sendo funções, nas sequências existe uma regra geral que permite determinar cada elemento de B a partir do elemento A, por exemplo: | |||
:(2,4,6,8,10) é uma seqüência dos números pares de 2 até 10, que pode ser expressa pela função <math>y = 2x\ (x \in A, y \in B)</math>. Também percebe-se que a função pode relacionar o elemento anterior (''a<sub>n</sub>'') com o posterior (''a<sub>n+1</sub>'')da seguinte maneira: <math>a_{n+1} = a_{n} + r</math>, sendo ''r'' uma razão fixa, a '''razão de progressão'''. | :(2,4,6,8,10) é uma seqüência dos números pares de 2 até 10, que pode ser expressa pela função <math>y = 2x\ (x \in A, y \in B)</math>. Também percebe-se que a função pode relacionar o elemento anterior (''a<sub>n</sub>'') com o posterior (''a<sub>n+1</sub>'')da seguinte maneira: <math>a_{n+1} = a_{n} + r</math>, sendo ''r'' uma razão fixa, a '''razão de progressão'''. |
Edição das 10h43min de 18 de março de 2006
Seqüências ou progressões são funções do tipo , onde A é o conjunto dos números naturais ou um subconjunto dos números naturais consecutivos com mais de dois elementos, e B é um conjunto numérico. Sendo funções, nas sequências existe uma regra geral que permite determinar cada elemento de B a partir do elemento A, por exemplo:
- (2,4,6,8,10) é uma seqüência dos números pares de 2 até 10, que pode ser expressa pela função . Também percebe-se que a função pode relacionar o elemento anterior (an) com o posterior (an+1)da seguinte maneira: , sendo r uma razão fixa, a razão de progressão.
Os dois tipos de seqüências matemáticas mais comuns são a progressão aritmética, que contém números tais que o anterior somado a uma razão fixa resulta no posterior, e progressões geométricas, que contém números tais que o anterior multiplicado pela razão fixa resulta no posterior.
Exemplos:
- (1,5,9,13,...) é uma progressão aritmética infinita (o que se indica pelo sinal ...) de razão igual a 4.
- (1,3,9,27,81) é uma progressão geométrica finita de razão igual a 3.
Progressão Aritmética
Progressão artimtética (PA) é uma seqüência que tem entre um elemento e seus adjacentes uma diferença igual. Ou seja, uma seqüência para a qual se determinam os números somando ou subtraindo a razão de progressão.
Exemplo:
No exemplo, 2 é a razão de progressão da PA.
Fórmula do Termo Geral
Denomina-se fórmula do termo geral a uma equação que expressa a regra para obterem-se os elementos da progressão. É praticamente o mesmo que a função que define a seqüência. No caso das progressões aritméticas, a fórmula do termo geral é:
Onde:
- an é o termo que se procura encontrar (n é o índice, por exemplo, a3 é o terceiro termo da progressão).
- a1 é o primeiro termo da progressão. Conquanto a fórmula do termo geral seja expressa em função do primeiro termo, nada impede que se utilizem outras posições na seqüência, desde que se adapte a fórmula.
- r é a razão de progressão
- n é, como já explicado, o índice do elemento procurado
Soma dos Termos
Diz a lenda que o matemático Gauss descobriu a fórmula da soma de termos de uma PA quando tinha cinco anos. Gauss teria sido submetido a um exercício que consistia em somar os números naturais de 1 a 100, e o teria resolvido em alguns minutos, ao contrário do que esperava seu mestre.
Lendas matemáticas à parte, a soma dos termos de uma progressão aritmética pode ser obtida por uma fórmula simples:
Onde:
- Sn é a soma dos termos até n.
- a1 e an são, respectivamente, o primeiro e o último termo da progressão (ou pelo menos, do subconjunto da progressão sobre o qual será feita a soma)
- n é o total de elementos somados; reparar que a fórmula só permite somar elementos contígüos da progressão
Progressão Geométrica
Progressões geométricas são seqüências numéricas em que os elementos crescem por multiplicações, a uma razão fixa.
Exemplo:
- (razão de progressão q = 3)