Matemática elementar/Progressões: mudanças entre as edições
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Sequências ou progressões são funções do tipo <math> f:A \rightarrow B </math>, onde A é o conjunto dos números naturais ou um subconjunto dos números naturais consecutivos com mais de dois elementos, e B é um conjunto numérico. Sendo funções, nas sequências existe uma regra geral que permite determinar cada elemento de B a partir do elemento A, por exemplo: | |||
Os dois tipos de | :(2,4,6,8,10) é uma sequência dos números pares de 2 até 10, que pode ser expressa pela função <math>y = 2x\ (x \in A, y \in B)</math>. Também percebe-se que a função pode relacionar o elemento anterior (''a<sub>n</sub>'') com o posterior (''a<sub>n+1</sub>'') da seguinte maneira: <math>a_{n+1} = a_{n} + r</math>, sendo ''r'' uma razão fixa, a '''razão de progressão'''. | ||
Os dois tipos de sequências matemáticas mais comuns são a progressão aritmética, que contém números tais que o anterior somado a uma razão fixa resulta no posterior, e progressões geométricas, que contém números tais que o anterior multiplicado pela razão fixa resulta no posterior. | |||
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1) Ache tres números em P.A crescente,sabendo que a soma é 15 e o produto é 105. | |||
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O problema pode ser resolvido assim: | |||
Chame de x o primeiro dos 3 números na PA e de r a razão da mesma. | |||
Então os termos são os seguintes: | |||
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Como a soma deve ser igual a 15, os números x e r precisam satisfazer a equação: | |||
x + x+r + x+2r = 15 | |||
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Por outro lado, se o produto de tais números é 105, deve ocorrer: | |||
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Apenas o primeiro caso representa uma PA crescente, logo a resposta é 3, 5 e 7 | |||
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2) O perímetro de um triangulo retangulo mede 24 cm.Calcule as medidas dos lados sabendo que eles estão em P.A. | |||
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Sabendo que os lados estão em PA, podemos chamá-los de x, x+r e x+2r, e supor que esta é uma PA crescente, como no problema anterior. Mas se o perímetro é 24, ou seja a soma dos lados tem esse valor, então: | |||
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Sequências ou progressões são funções do tipo , onde A é o conjunto dos números naturais ou um subconjunto dos números naturais consecutivos com mais de dois elementos, e B é um conjunto numérico. Sendo funções, nas sequências existe uma regra geral que permite determinar cada elemento de B a partir do elemento A, por exemplo:
- (2,4,6,8,10) é uma sequência dos números pares de 2 até 10, que pode ser expressa pela função . Também percebe-se que a função pode relacionar o elemento anterior (an) com o posterior (an+1) da seguinte maneira: , sendo r uma razão fixa, a razão de progressão.
Os dois tipos de sequências matemáticas mais comuns são a progressão aritmética, que contém números tais que o anterior somado a uma razão fixa resulta no posterior, e progressões geométricas, que contém números tais que o anterior multiplicado pela razão fixa resulta no posterior.
Exemplos:
- (1,5,9,13,...) é uma progressão aritmética infinita (o que se indica pela reticiências ...) de razão igual a 4;
- (1,3,9,27,81) é uma progressão geométrica finita de razão igual a 3.
Sequências numéricas
- Matemática elementar/Sequências numéricas
- Matemática elementar/Progressões aritméticas
- Matemática elementar/Progressões geométricas
- noção de limite de uma sequência
Exercícios resolvidos
1) Ache tres números em P.A crescente,sabendo que a soma é 15 e o produto é 105.
O problema pode ser resolvido assim: Chame de x o primeiro dos 3 números na PA e de r a razão da mesma. Então os termos são os seguintes: x, x+r, x+2r Como a soma deve ser igual a 15, os números x e r precisam satisfazer a equação: x + x+r + x+2r = 15 ou seja, 3x + 3r = 15 que se reescreve como x + r = 5
Logo, r = 5-x.
Por outro lado, se o produto de tais números é 105, deve ocorrer: x*(x+r)*(x+2r)=105 ou seja, x*(x+5-x)*(x+2(5-x))=105 que pode ser reescrito como 50x-5x^2=105
As raízes dessa equação do segundo grau são 3 e 7 e se obtem rapidamente pela fórmula de Bhaskara.
temos que considerar cada um dos casos: x=3 nessa situação, como r=5-x=5-3=2, os termos da PA são 3, 5 e 7
x=7 deduz-se que r=5-7=-2, donde os termos são 7, 5 e 3
Apenas o primeiro caso representa uma PA crescente, logo a resposta é 3, 5 e 7
2) O perímetro de um triangulo retangulo mede 24 cm.Calcule as medidas dos lados sabendo que eles estão em P.A.
Sabendo que os lados estão em PA, podemos chamá-los de x, x+r e x+2r, e supor que esta é uma PA crescente, como no problema anterior. Mas se o perímetro é 24, ou seja a soma dos lados tem esse valor, então: 3x+3r=24
ou seja x+r=8
donde r=8-x
Mas em todo triângulo retângulo vale o Teorema de Pitágoras, e a hipotenusa é sempre o maior lado, então: (x+2r)^2=(x+r)^2+(x)^2
ou seja, (16-x)^2=8^2+x^2
ou ainda, 256 - 32x + x^2= 64 + x^2
que é equivalente a 32x=256-64=192
Portanto, x=6 e consequentemente r=8-6=2. Assim a resposta deve ser 6, 8 e 10.