Matemática elementar/Polinômios: mudanças entre as edições
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O teorema do resto é bastante simples e prático, no entanto, como o nome já diz, consegue-se, com ele, encontrar somente o resto da divisão. | O teorema do resto é bastante simples e prático, no entanto, como o nome já diz, consegue-se, com ele, encontrar somente o resto da divisão. | ||
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;Exemplo de resolução 1 | ;Exemplo de resolução 1 | ||
Têm-se a seguinte divisão: | Têm-se a seguinte divisão: | ||
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Portanto, o resto é '''43'''. | Portanto, o resto é '''43'''. | ||
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O resto da divisão do polinômio <math>A(x) \,\!</math> | |||
pelo polinômio de primeiro grau <math>B(x) = a x + b\,\!</math> é <math>A (-b/a)\,\!</math>. | |||
{{Aviso|Note que <math>A (-b/a)\,\!</math> é a raiz do divisor <math>B(x) = a x + b\,\!</math>}} | |||
=== Teorema de D'Alembert === | === Teorema de D'Alembert === |
Edição das 14h18min de 21 de julho de 2006
Definição
Polinômios são séries de monômios (ou termos), que por sua vez são expressões matemáticas na forma . Cada monômio é caracterizado por
- um coeficiente, que na equação acima é representado por a;
- uma variável, que na equação é representada por x; e
- um expoente, que na equação é representado por n.
Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é função polinomial, mas o uso de polinômio é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma:
A função constante, , é um exemplo de função polinomial, bem como a função linear .
Grau
Define-se o grau de um polinômio como igual ao expoente mais alto entre as variáveis de seus monômios não-nulos. Por exemplo, no polinômio o grau é 3, correspondente ao expoente mais alto entre as variáveis nos monômios ().
Valor númerico
Raízes
Raiz ou zero é um valor tal que, atribuído à variável da função polinomial, faz com que a função resulte em 0. Ou seja, se a é dito raiz do polinômio P(x), então .
Exemplos de raízes:
- tem raiz r = 4 (pois )
- tem raiz r igual a -1, pois .
Um polinômio de grau n terá n raízes, sempre. Algumas vezes uma mesma raiz se repete, sendo por isso chamada raiz dupla, tripla, quádrupla, etc. Por exemplo:
- tem raiz dupla r igual a -2, uma vez que pode ser fatorado em .
Num gráfico representativo da função polinomial, as raízes sempre ocorrem nos pontos em que a curva cruza o eixo das abcissas.
Obtenção de raízes
Identidade de polinômios
Dois polinômios são ditos idênticos se tiverem o mesmo grau e os monômios correspondentes idênticos, por exemplo:
Como o desenvolvimento de B(x) resultou num polinômio de termos correspondentes idênticos a A(x), então os polinômios são idênticos ou equivalentes; indica-se: .
Polinômio nulo
Igualdade de polinômios
Operações
Adição
Consideremos que tenhamos os fatores:
e
Todos constantes e com valores diferentes de zero.
Ainda temos:
que são variáveis.
Os polinômios:
e
A sua adição é efetuada como segue:
Em caso de polinômios compostos por mais de uma variável, tais quais:
e
A sua adição é efetuada como segue:
Processo:
Para fazer a soma dos polinômios de uma só variável, identificamos os monômios de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do momômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores.
Para fazer a soma dos polinômios de várias variáveis, identificamos os monômios com variáveis iguais de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do momômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores.
Subtração
Multiplicão
(5ab+9ab).(478+14ab)
Divisão
Teoremas
Teorema do resto
O teorema do resto é bastante simples e prático, no entanto, como o nome já diz, consegue-se, com ele, encontrar somente o resto da divisão.
- Exemplo de resolução 1
Têm-se a seguinte divisão: /
- 1º passo: Determina-se x
- 2º passo: Substitui-se os valores
Portanto, o resto é 43.
- Exemplo de resolução 2
O resto da divisão do polinômio pelo polinômio de primeiro grau é .
Teorema de D'Alembert
Um polinômio é divisível pelo polinômio de primeiro grau se e somente se, .