Introdução à física/Cinemática/Movimento/Movimento de projéteis: mudanças entre as edições
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"... se um canhão horizontal, numa torre, atira paralelamente ao horizonte, não importa se a carga de pólvora é grande ou pequena, de forma que a bala caia a mil jardas ou a quatro mil ou a seis mil, todos estes tiros levam o mesmo tempo (para atingir o chão) e este tempo é igual ao que a bala levaria da boca do canhão até o solo se caísse diretamente para baixo sem qualquer impulso (i.e. em queda-livre)." Galileu Galilei | |||
Imaginemos um projétil que é lançado com uma velocidade inicial v<sub>o</sub> que faz um ângulo <math>\theta</math> com o eixo horizontal e descreve uma trajetória parabólica. Se chamarmos a componente horizontal do vetor velocidade inicial de <math>v_{o_x}</math> e a componente vertical de <math>v_{o_y}</math> então temos que: | |||
<math>v_{o_x} = v_o \cos \theta</math> | |||
<math>v_{o_y} = v_o \sin \theta</math> | |||
<math>v_{o_x}</math> é constante, logo, a aceleração no sentido do eixo x é nula. No sentido do eixo y o movimento é acelerado como a queda-livre, logo, <math>a = -g</math>. Sabendo disso, temos que: | |||
<math>v_y = v_{o_y} + a \Delta t \Rightarrow v_y = v_o \sin\theta - g \Delta t</math> | |||
<math>v_x = v_{o_x} \Rightarrow v_x = v_o \cos \theta</math> | |||
E também: | |||
<math>y = y_o + v_{o_y}t + \frac{1}{2} a t^2 \Rightarrow y = v_{o_y} t - \frac {gt^2}{2} \Rightarrow y = v_o \sin \theta t - \frac{gt^2}{2}</math> | |||
<math>x = v_x t \Rightarrow x = v_{o_x}t \Rightarrow x = v_o \cos \theta t</math> | |||
Desparametrizando o tempo (t) na última equação, temos que <math>t=\frac{x}{v_o\cos \theta}</math>. Substituindo em y: | |||
<math>\begin{matrix}y & = & v_o \sin \theta \left ( \frac {x}{v_o \cos \theta} \right ) - \frac{g}{2} {\left ( \frac{x}{v_o \cos \theta} \right)}^2 \\ \ & = & \tan \theta \times x - \frac{g x^2}{2v_o^2 \cos^2 \theta} \end{matrix}</math> | |||
A altura máxima do projétil será alcançada no instânte <math>t_{max}</math> em que v_y é nulo. Logo | |||
<math>v_y = v_o \sin \theta - gt \Rightarrow t_{max} = \frac{v_o \sin \theta}{g}</math> | |||
<math>y_{max} = \frac{v_o^2 \sin^2 \theta}{2g}</math> | |||
E como o movimento no eixo y é acelerado podemos dizer que | |||
<math>v^2 = v_o^2 + 2a \Delta y \Rightarrow v_y = \sqrt{v_o^2 \sin^2 \theta - 2g \Delta y}</math> | |||
Podemos também chamar de A o alcance do projétil; e sabendo que ele leva o dobro do tempo que leva até <math>y_{max}</math> para alcançar A | |||
<math>x = v_o \cos \theta t</math> | |||
<math>A = v_o \cos \theta \times \frac{2v_o \sin \theta}{g}</math> | |||
<math>A = \frac{v_o^2}{g}\sin 2 \theta</math> | |||
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Edição atual tal como às 23h56min de 30 de dezembro de 2016
"... se um canhão horizontal, numa torre, atira paralelamente ao horizonte, não importa se a carga de pólvora é grande ou pequena, de forma que a bala caia a mil jardas ou a quatro mil ou a seis mil, todos estes tiros levam o mesmo tempo (para atingir o chão) e este tempo é igual ao que a bala levaria da boca do canhão até o solo se caísse diretamente para baixo sem qualquer impulso (i.e. em queda-livre)." Galileu Galilei
Imaginemos um projétil que é lançado com uma velocidade inicial vo que faz um ângulo com o eixo horizontal e descreve uma trajetória parabólica. Se chamarmos a componente horizontal do vetor velocidade inicial de e a componente vertical de então temos que:
é constante, logo, a aceleração no sentido do eixo x é nula. No sentido do eixo y o movimento é acelerado como a queda-livre, logo, . Sabendo disso, temos que:
E também:
Desparametrizando o tempo (t) na última equação, temos que . Substituindo em y:
A altura máxima do projétil será alcançada no instânte em que v_y é nulo. Logo
E como o movimento no eixo y é acelerado podemos dizer que
Podemos também chamar de A o alcance do projétil; e sabendo que ele leva o dobro do tempo que leva até para alcançar A