Matemática elementar/Matrizes: mudanças entre as edições
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== Matrizes == | == Matrizes == | ||
=== Conceito === | === Conceito === | ||
Uma matriz <math>A_{m,n} \,\!</math> pode ser entendida como um conjunto de mn (m multiplicado por n) números, dispostos em ''m'' linhas e ''n'' colunas, conforme figura ao lado. | |||
Uma matriz <math>A_{m,n} \,\!</math> pode ser entendida como um conjunto de mn (m multiplicado por n) números, dispostos em m linhas e n colunas, conforme figura ao lado. | |||
Assim, na matriz ao lado, de 2 linhas e 3 colunas, temos: | Assim, na matriz ao lado, de 2 linhas e 3 colunas, temos: | ||
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<math>a_{21}\ =\ 1,\ a_{22}\ =\ 7,\ a_{23}\ =\ 3</math> | <math>a_{21}\ =\ 1,\ a_{22}\ =\ 7,\ a_{23}\ =\ 3</math> | ||
=== Adição e subtração === | === Adição e subtração === | ||
Esta operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas. Sejam duas matrizes <math>A_{m,n}\,\!</math> e <math>B_{m,n}\,\!</math>. | Esta operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas. Sejam duas matrizes <math>A_{m,n}\,\!</math> e <math>B_{m,n}\,\!</math>. | ||
Então a matriz <math>R\ =\ A\ \pm\ B \,\!</math> é uma matriz mn tal que cada elemento de <math>R\,\!</math> é dado por: | Então a matriz <math>R\ =\ A\ \pm\ B \,\!</math> é uma matriz mn tal que cada elemento de <math>R\,\!</math> é dado por: | ||
<math>r_{ij}\ =\ a_{ij} \pm b_{ij}</math>. Ver exemplo ao lado. | <math>r_{ij}\ =\ a_{ij} \pm b_{ij}</math>. Ver exemplo ao lado. | ||
=== Multiplicação por um escalar === | === Multiplicação por um escalar === | ||
Seja a matriz <math>A_{m,n} \,\!</math> e <math>c \,\!</math> um escalar. A matriz | Seja a matriz <math>A_{m,n} \,\!</math> e <math>c \,\!</math> um escalar. A matriz | ||
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<math>p_{ij}\ =\ c\ a_{ij} \,\!</math>. | <math>p_{ij}\ =\ c\ a_{ij} \,\!</math>. | ||
=== Algumas propriedades das operações anteriores === | === Algumas propriedades das operações anteriores === | ||
Sejam <math>A \,\!</math> e <math>B \,\!</math> matrizes <math>m,n \,\!</math> e <math>c \,\!</math> e <math>d \,\!</math> escalares. Então: | Sejam <math>A \,\!</math> e <math>B \,\!</math> matrizes <math>m,n \,\!</math> e <math>c \,\!</math> e <math>d \,\!</math> escalares. Então: | ||
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E, também, se <math>cA = cB \,\!</math> então <math>A = B \,\!</math>. | E, também, se <math>cA = cB \,\!</math> então <math>A = B \,\!</math>. | ||
=== Matrizes nulas e unitárias === | === Matrizes nulas e unitárias === | ||
Matriz nula <math>O_{m,n} \,\!</math> é aquela cujos elementos são todos nulos. | Matriz nula <math>O_{m,n} \,\!</math> é aquela cujos elementos são todos nulos. | ||
Matriz unitária <math>I_n \,\!</math> é matriz <math>I_{n,n} \,\!</math> na qual <math>i_{j,k}=1 \,\!</math> se <math>j=k \,\!</math> e zero nos demais casos. | Matriz unitária <math>I_n \,\!</math> é matriz <math>I_{n,n} \,\!</math> na qual <math>i_{j,k}=1 \,\!</math> se <math>j=k \,\!</math> e zero nos demais casos. | ||
=== Multiplicação de matrizes === | === Multiplicação de matrizes === | ||
Sejam as matrizes <math>A_{m,p}</math> e <math>B_{p,n}</math> (o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda). | |||
Sejam as matrizes | |||
O produto AB é dado pela matriz <math>C_{m,n}</math> cujos elementos são calculados por: | |||
<math>c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj}</math> | |||
Veja os cálculos para o exemplo da figura à direita. | |||
:<math>c_{11} = 4\cdot 1 + 0\cdot 2 + 5\cdot 1 = 9</math> | |||
:<math>c_{12} = 4\cdot 2 + 0\cdot 5 + 5\cdot 0 = 8</math> | |||
:<math>c_{21} = 1\cdot 1 + 1\cdot 2 + 3\cdot 1 = 6</math> | |||
:<math>c_{22} = 1\cdot 2 + 1\cdot 5 + 3\cdot 0 = 7</math> | |||
=== Ordem dos fatores === | |||
Se A e B são matrizes quadradas (igual número de linhas e colunas), ambos os produtos AB e BA podem ser calculados. | Se A e B são matrizes quadradas (igual número de linhas e colunas), ambos os produtos AB e BA podem ser calculados. | ||
Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores não é indiferente. Em geral, <math>AB \neq BA</math>. | |||
Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores não é indiferente. | |||
Se AB = BA, as matrizes são ditas comutativas. | |||
=== Algumas propriedades do produto de matrizes === | |||
Sejam as matrizes A, B e C. | Sejam as matrizes A, B e C. | ||
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#Se os produtos AC e BC são possíveis, então (A+B)C = AC + BC. | #Se os produtos AC e BC são possíveis, então (A+B)C = AC + BC. | ||
#Se os produtos CA e CB são possíveis, então C(A+B) = CA + CB. | #Se os produtos CA e CB são possíveis, então C(A+B) = CA + CB. | ||
#Se | #Se <math>I_p</math> é a matriz unitária <math>p\times p</math> conforme já mencionado, então: <math>I_p A_{p,n} = A_{p,n}</math> e <math>B_{m,p} I_p = B_{m,p}</math>. | ||
Se BA = | === Matriz inversa === | ||
Sejam as matrizes quadradas <math>A_{n,n}</math> e <math>B_{n,n}</math>. | |||
Se <math>BA = I_n</math>, onde <math>I_n</math> é a matriz unitária conforme já visto, então B é chamada de matriz inversa esquerda de A. | |||
Para achar a matriz inversa: | Para achar a matriz inversa: | ||
Por exemplo, seja a matriz A ao lado e desejamos saber sua inversa esquerda B. O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito de A. | |||
Por exemplo, seja a matriz A ao lado e desejamos saber sua inversa esquerda B. | |||
O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito de A. | |||
Agora, o objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por coeficientes de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo (processo de Gauss-Jordan). | Agora, o objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por coeficientes de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo (processo de Gauss-Jordan). | ||
* 1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por -1. | |||
1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por -1. | * 2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por -1. | ||
* 3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por -2. | |||
2ª linha = 2ª linha + | * 3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por -3. | ||
* 3ª linha = 3ª linha multiplicada por -1. | |||
* 2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por -1. | |||
E a matriz inversa é a parte da direita. | E a matriz inversa é a parte da direita. | ||
== Determinantes == | == Determinantes == | ||
=== Determinantes de 2ª ordem === | |||
O conceito de determinante está ligado ao de matriz, embora seja completamente distinto: enquanto matriz é o conjunto de elementos conforme já mencionado, determinante é o resultado de uma operação aritmética com todos os elementos de uma matriz, que obedece a uma determinada regra. Só se aplica a matrizes quadradas. | |||
O prefixo ''det'' é colocado antes da matriz para indicar determinante. Ou, de forma mais compacta, os colchetes na matriz são substituídos por barras verticais para o mesmo efeito. | |||
Para calcular um determinante de uma matriz <math>A_{2,2}</math> (determinante de 2ª ordem): | |||
Seja <math>A_{2,2} = | |||
\begin{bmatrix} | |||
a & b \\ | |||
c & d | |||
\end{bmatrix}</math>. Então <math>\det A = | |||
\begin{vmatrix} | |||
a & b \\ | |||
c & d | |||
\end{vmatrix} | |||
= ad - bc</math> | |||
=== Determinantes de ordens superiores === | |||
Para determinantes de 3ª ordem, há um método conhecido como '''regra de Sarrus'''. Considere a matriz: | |||
:<math>A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}</math> | |||
:<math>\det A = aei + bfg + cdh - (geb + hfa + idb)</math> | |||
Exemplo para 3ª ordem. | |||
Quando a ordem é superior a 3, não há algoritmos simples a ponto de poderem ser generalizados por uma fórmula. Há, no entanto, dois métodos de decomposição que reduzem um determinante a determinantes de ordens menores. Um deles é conhecido como '''Teorema de Laplace''', e vale para qualquer matriz. Outro método, mais simples, é a '''regra de Chió''', mas há algumas restrições para que ele funcione numa matriz. | |||
==== Regra de Chió ==== | |||
==== Teorema de Laplace ==== | |||
Considera-se, por exemplo, a primeira linha da matriz e somam-se as parcelas de cada elemento desta linha multiplicado pelo determinante da matriz que restar pela eliminação da linha e coluna que passam pelo elemento. Se o índice da coluna for par, o sinal da parcela será negativo e positivo do contrário.Para cada determinante restante, o processo é repetido até chegar a determinantes de 2ª ordem, que são calculados pela fórmula anterior. | |||
=== Algumas propriedades dos determinantes === | |||
#Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas são trocadas. | |||
#Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal. | |||
#Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si, proporcionais entre si ou nulos, o determinante é nulo (k é um número qualquer). | |||
#Se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em evidência. | |||
#Um determinante não se altera se aos elementos de uma linha ou coluna são somados ou subtraídos os elementos (ou múltiplos deles) de outra linha ou coluna. | |||
=== Exemplo de aplicação de determinantes === | |||
Seja o sistema de equações lineares ao lado e o determinante B calculado pelos coeficientes das variáveis. | |||
E os determinantes conforme figura a lado. | |||
E os determinantes conforme figura a lado. | |||
Então a solução é dada por: x = B1/B, y = B2/B e z = B3/B. | Então a solução é dada por: x = B1/B, y = B2/B e z = B3/B. | ||
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Edição das 17h24min de 13 de outubro de 2006
Matrizes
Conceito
Uma matriz pode ser entendida como um conjunto de mn (m multiplicado por n) números, dispostos em m linhas e n colunas, conforme figura ao lado.
Assim, na matriz ao lado, de 2 linhas e 3 colunas, temos:
Adição e subtração
Esta operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas. Sejam duas matrizes e .
Então a matriz é uma matriz mn tal que cada elemento de é dado por:
. Ver exemplo ao lado.
Multiplicação por um escalar
Seja a matriz e um escalar. A matriz
é uma matriz mn tal que cada elemento de é dado por:
.
Algumas propriedades das operações anteriores
Sejam e matrizes e e escalares. Então:
e .
E, também, se então .
Matrizes nulas e unitárias
Matriz nula é aquela cujos elementos são todos nulos.
Matriz unitária é matriz na qual se e zero nos demais casos.
Multiplicação de matrizes
Sejam as matrizes e (o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda).
O produto AB é dado pela matriz cujos elementos são calculados por:
Veja os cálculos para o exemplo da figura à direita.
Ordem dos fatores
Se A e B são matrizes quadradas (igual número de linhas e colunas), ambos os produtos AB e BA podem ser calculados.
Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores não é indiferente. Em geral, .
Se AB = BA, as matrizes são ditas comutativas.
Algumas propriedades do produto de matrizes
Sejam as matrizes A, B e C.
- Se os produtos A(BC) e (AB)C são possíveis de cálculo, então A(BC) = (AB)C.
- Se os produtos AC e BC são possíveis, então (A+B)C = AC + BC.
- Se os produtos CA e CB são possíveis, então C(A+B) = CA + CB.
- Se é a matriz unitária conforme já mencionado, então: e .
Matriz inversa
Sejam as matrizes quadradas e .
Se , onde é a matriz unitária conforme já visto, então B é chamada de matriz inversa esquerda de A.
Para achar a matriz inversa:
Por exemplo, seja a matriz A ao lado e desejamos saber sua inversa esquerda B. O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito de A.
Agora, o objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por coeficientes de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo (processo de Gauss-Jordan).
- 1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por -1.
- 2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por -1.
- 3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por -2.
- 3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por -3.
- 3ª linha = 3ª linha multiplicada por -1.
- 2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por -1.
E a matriz inversa é a parte da direita.
Determinantes
Determinantes de 2ª ordem
O conceito de determinante está ligado ao de matriz, embora seja completamente distinto: enquanto matriz é o conjunto de elementos conforme já mencionado, determinante é o resultado de uma operação aritmética com todos os elementos de uma matriz, que obedece a uma determinada regra. Só se aplica a matrizes quadradas.
O prefixo det é colocado antes da matriz para indicar determinante. Ou, de forma mais compacta, os colchetes na matriz são substituídos por barras verticais para o mesmo efeito.
Para calcular um determinante de uma matriz (determinante de 2ª ordem):
Seja . Então
Determinantes de ordens superiores
Para determinantes de 3ª ordem, há um método conhecido como regra de Sarrus. Considere a matriz:
Exemplo para 3ª ordem.
Quando a ordem é superior a 3, não há algoritmos simples a ponto de poderem ser generalizados por uma fórmula. Há, no entanto, dois métodos de decomposição que reduzem um determinante a determinantes de ordens menores. Um deles é conhecido como Teorema de Laplace, e vale para qualquer matriz. Outro método, mais simples, é a regra de Chió, mas há algumas restrições para que ele funcione numa matriz.
Regra de Chió
Teorema de Laplace
Considera-se, por exemplo, a primeira linha da matriz e somam-se as parcelas de cada elemento desta linha multiplicado pelo determinante da matriz que restar pela eliminação da linha e coluna que passam pelo elemento. Se o índice da coluna for par, o sinal da parcela será negativo e positivo do contrário.Para cada determinante restante, o processo é repetido até chegar a determinantes de 2ª ordem, que são calculados pela fórmula anterior.
Algumas propriedades dos determinantes
- Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas são trocadas.
- Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal.
- Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si, proporcionais entre si ou nulos, o determinante é nulo (k é um número qualquer).
- Se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em evidência.
- Um determinante não se altera se aos elementos de uma linha ou coluna são somados ou subtraídos os elementos (ou múltiplos deles) de outra linha ou coluna.
Exemplo de aplicação de determinantes
Seja o sistema de equações lineares ao lado e o determinante B calculado pelos coeficientes das variáveis.
E os determinantes conforme figura a lado.
Então a solução é dada por: x = B1/B, y = B2/B e z = B3/B.