Matemática elementar/Conjuntos/Números complexos: mudanças entre as edições
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A subtração pode ser deduzida da operação soma: | |||
(a,b)-(c,d)=(a,b)+(-(c,d))=(a,b)+(-c,-d)=(a-c,b-d) | |||
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===Multiplicação e divisão=== | ===Multiplicação e divisão=== |
Edição das 13h55min de 31 de dezembro de 2004
Números Complexos
Introdução
Os números complexos são o resultado de vários aumentos sucessivos do conjunto numérico N (naturais). Todos estes aumentos foram para que mais equações tivessem solução. Vamos ver:
No princípio existia o N. Mas equações do tipo não tinham solução em N. Com isto foram inventados os números negativos. O conjunto N aumentado dos números negativos resultou no conjunto Z (números inteiros).
Mas com o conjunto dos inteiros ainda haviam algumas equações sem solução. Por exemplo, . Com isto foram inventadas as frações. O conjunto Z acrescido das frações é o conjunto Q (números racionais).
Mas mesmo com os racionais, ainda haviam equações sem solução. Por exemplo, . Por incrível que possa parecer, não existe uma fração que possa assumir o lugar da variável , embora várias causem um erro bem pequeno. Com isto foram criados os números irracionais. O é um exemplo de número irracional. O conjunto Q acrescido dos irracionais é o conjunto dos reais.
Finalmente, foi inventada uma extensão dos reais para fornecer solução às ultimas equações que faltavam. Esta extensão é toda contruída a partir de um elemento novo. Um numerozinho chamado . Somando um real r com o produto de por outro real c, temos muitos outros números do tipo . Os reais acrescidos destes números geram o conjunto dos complexos.
Alguem poderia pensar que este processo ainda não parou, mas pode-se provar que o processo terminou. É possível mostrar que equações com coeficientes reais tem sempre solução nos complexos. Mas este é um resultado avançado demais para este livro.
formas de representar os complexos
a+ib
(a,b)
Operações com os complexos
Soma e subtração
Como já foi fito, um número complexo pode ser representado por (a,b). Assim, a operação soma fica definida como:
(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d) ou na outra notação: (a+bi) + (c+di)= (a+c) + (b+d)i
A subtração pode ser deduzida da operação soma:
(a,b)-(c,d)=(a,b)+(-(c,d))=(a,b)+(-c,-d)=(a-c,b-d) ou na outra notação: (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i