Matemática elementar/Conjuntos/Números complexos: mudanças entre as edições
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Edição das 15h40min de 2 de janeiro de 2006
Números Complexos
Introdução
Os números complexos são o resultado de vários aumentos sucessivos do conjunto numérico IN (naturais). Todos estes aumentos foram para que mais equações tivessem solução. Vamos ver:
No princípio existiam apenas números naturais, representados pelo conjunto IN. Mas não era possivel representar o "nada" apenas com este conjunto, por isso foi inventado o número zero, 0, que acrescentado ao conjunto IN, formou o oIN, que englobavam os números naturais mais o "0".
Mas equações do tipo não tinham solução em oIN. Com isto foram inventados os números negativos. O conjunto oIN aumentado com os números negativos resultou no conjunto Z (números inteiros).
Mas com o conjunto dos inteiros ainda haviam algumas equações sem solução. Por exemplo, . Com isto foram inventadas as frações ou números fraccionários (também chamados dízimas infinitas periódicas e dízimas finitas). O conjunto Z acrescido dos números fraccionários é o conjunto Q (números racionais).
Mas mesmo com os racionais, ainda haviam equações sem solução. Por exemplo, . Por incrível que possa parecer, não existe uma fração que possa assumir o lugar da variável , embora várias causem um erro bem pequeno. Com isto foram criados os números irracionais (também chamados dízimas infinitas não periódicas). O é um exemplo de número irracional. Qualquer número com casas decimais que não possa ser o quociente do uma divisão é irracional. O conjunto Q acrescido dos irracionais é o conjunto dos reais.
Finalmente, foi inventada uma extensão dos reais para fornecer solução às ultimas equações que faltavam. Esta extensão é toda contruída a partir de um elemento novo. Um numerozinho chamado . Somando um real r com o produto de por outro real c, temos muitos outros números do tipo . Os reais acrescidos destes números geram o conjunto dos complexos.
Alguem poderia pensar que este processo ainda não parou, mas pode-se provar que o processo terminou. É possível mostrar que equações com coeficientes reais tem sempre solução nos complexos. Mas este é um resultado avançado demais para este livro.
O número imáginario
Aprendemos desde muito cedo que não existem números reais tais que elevado ao quadrado dê como resultado -1. Isso acontece porque existem certas "regras" de multiplicação no conjunto dos números reais que impedem isso. Por exemplo a regra de que "menos com menos dá mais". Com isso precisamos definir um número com essa propriedade para que possamos resolver todas as equações. Assim definimos i = .
Formas de representar os complexos
As duas formas principais de representar os numeros complexos são:
z = a+bi
ou
z = (a,b)
A parte real do número z é o número a e é denotada por Re(z). A parte imaginária do número z é o número b e é denotada por Im(z).
Operações com os complexos
Soma e subtração
Como já foi dito, um número complexo pode ser representado por (a,b). Assim, a operação soma fica definida como:
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
ou na outra notação: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
A subtração pode ser deduzida da operação soma:
(a,b) - (c,d)=(a,b) + (- (c,d))=(a,b) + (-c,-d) = (a-c,b-d)
ou na outra notação: (a + bi) - (c + di)=(a - c)+(b - d)i
Multiplicação
A própria definição do conjunto dos números complexos reside na multiplicação. Assim definimos o conjunto dos números complexos como tendo a seguinte operação de multiplicação:
(a,b) . (c,d) = (ac - bd, ad + bc) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Vamos ver quanto é :
i=0 + 1i = (0,1)
Então:
= (0,1) . (0,1) = (0.0 - 1.1, 0.1 + 1.0) = (-1, 0)= -1 + 0i= -1