Álgebra linear/Autovetores: mudanças entre as edições
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Seja '''V''' um espaço vetorial sobre K, e seja '''T''' um operador linear sobre '''V'''. | Seja '''V''' um espaço vetorial sobre K, e seja '''T''' um operador linear sobre '''V'''. | ||
Um vetor não nulo <math>v</math> de '''V''' é dito um '''autovetor''' de '''T''' se existir um <math>\lambda \in K</math> | Um vetor não nulo <math>v</math> de '''V''' é dito um '''autovetor''' de '''T''' se existir um <math>\lambda \in K</math> | ||
tal que <math>T(v) = \lambda v</math>. Neste caso, <math>\lambda</math> é dito '''autovalor''' de '''T'''. | tal que <math>T(v) = \lambda v</math>. Neste caso, <math>\lambda</math> é dito '''autovalor''' de '''T'''. | ||
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Um significado prático: | Um significado prático: | ||
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Um autovalor de uma matriz <math>A_{n\times n}</math> é um escalar | Um autovalor de uma matriz <math>A_{n\times n}</math> é um escalar | ||
<math>\lambda \in K</math> tal que existe um vetor '''X''', com <math>AX = \lambda X</math>, | <math>\lambda \in K</math> tal que existe um vetor '''X''', com <math>AX = \lambda X</math>, | ||
onde X é chamado de autovetor de A associado a <math>\lambda</math>. | onde X é chamado de autovetor de A associado a <math>\lambda</math>. | ||
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<math>X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}</math> | <math>X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}</math> | ||
==Polinômio característico== | ==Polinômio característico== | ||
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'''Definição''': Seja '''A''' uma matriz quadrada de ordem '''n'''. | '''Definição''': Seja '''A''' uma matriz quadrada de ordem '''n'''. | ||
O polinômio <math>p(\lambda) = \det(A - \lambda I)</math> é chamado de | O polinômio <math>p(\lambda) = \det(A - \lambda I)</math> é chamado de | ||
polinômio característico de '''A'''. | polinômio característico de '''A'''. | ||
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'''Prove''': | '''Prove''': | ||
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Um operador '''T''' é dito ''diagonalizável'' se existir uma base | Um operador '''T''' é dito ''diagonalizável'' se existir uma base | ||
<math>\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> de '''V''' tal que <math>[T]_\alpha</math> é uma | <math>\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> de '''V''' tal que <math>[T]_\alpha</math> é uma | ||
matriz diagonal. | matriz diagonal. | ||
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Duas matrizes quadradas de mesma ordem, '''A''' e '''B''', são ditas | Duas matrizes quadradas de mesma ordem, '''A''' e '''B''', são ditas | ||
''semelhantes'' se existir uma matriz '''P''', de mesma ordem, inversível, tal que | ''semelhantes'' se existir uma matriz '''P''', de mesma ordem, inversível, tal que | ||
<math>B = P^{-1}AP</math>. | <math>B = P^{-1}AP</math>. | ||
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'''Definição''': | '''Definição''': | ||
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Uma matriz <math>A_n</math> é dita ''diagonalizável'' se <math>A_n</math> for | Uma matriz <math>A_n</math> é dita ''diagonalizável'' se <math>A_n</math> for | ||
semelhante a uma matriz diagonal '''D''' (ou seja, existe uma matriz P, | semelhante a uma matriz diagonal '''D''' (ou seja, existe uma matriz P, | ||
inversível, tal que <math>D = P^{-1}AP</math>). | inversível, tal que <math>D = P^{-1}AP</math>). | ||
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'''Prove''': | '''Prove''': | ||
Edição das 14h16min de 30 de junho de 2008
acima: Índice
anterior: Formas bilineares e quadráticas
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Autovetores e autovalores
Definição:
- Definição
Insira o texto da definição.
Um significado prático:
- Os autovetores são vetores que, sob a ação de um operador linear, resultam num vetor de mesma direção. Os autovetores estão sempre ligados ao operador linear, ou seja, cada operador linear admite um conjunto específico de autovetores.
- Para cada autovalor , existem infinitos autovetores tais que . Dizemos que esses são autovetores associados ao autovalor .
Prove:
- Se v é um autovetor de T associado ao autovalor , então também é um autovetor associado a .
- O conjunto é um subespaço vetorial de V (ele é chamado de autoespaço). Note que é o conjunto de todos os autovetores associados a unido ao vetor nulo.
Autovetores de uma matriz quadrada
Definição:
- Definição
Insira o texto da definição.
Polinômio característico
- Definição
Insira o texto da definição.
Prove:
- Seja uma base de V, e v um autovetor de T associado ao autovalor . Então é um autovetor da matriz associado ao autovalor de
- Se e são duas bases quaisquer de V, então o polinômio característico de é igual ao polinômio característico de .
Operador diagonalizável
Definição:
- Definição
Insira o texto da definição.
Definição:
- Definição
Insira o texto da definição.
Definição:
- Definição
Insira o texto da definição.
Prove:
- Se são autovetores de T associados, respectivamente, aos autovetores tais que se , então é LI.
- Seja uma base de V. A matriz é diagonal é uma base de V formada por autovetores de T
- Se T é auto-adjunto e é um autovalor de T, então .
- Se T é auto-adjunto e são autovetores de T associados aos autovalores (distintos), respectivamente, então , se .
- Se T é unitário e é um autovalor de T, então .
- Se é um autovalor de T e T é normal, então é autovalor de .
- é T-invariante.
- é -invariante.
- Se T é normal e é autovalor de T, então é -invariante.
- Se T é normal, então é T-invariante.
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