Cálculo (Volume 1)/Conceitos básicos (funções): mudanças entre as edições
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Para uma melhor compreensão do conteúdo subseqüente, sugerimos observar o tópico: [[Matemática Elementar: Funções|Funções]], no livro: [[Matemática Elementar: Índice|Matemática Elementar]], pois o estudo completo de funções foge do escopo deste livro. Neste capítulo iremos destacar princípios e notações que nos serão úteis ao longo deste livro. | Para uma melhor compreensão do conteúdo subseqüente, sugerimos observar o tópico: [[Matemática Elementar: Funções|Funções]], no livro: [[Matemática Elementar: Índice|Matemática Elementar]], pois o estudo completo de funções foge do escopo deste livro. Neste capítulo iremos destacar princípios e notações que nos serão úteis ao longo deste livro. | ||
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Seja um conjunto de pontos '''A''', cujos membros são os números em <math>{R} \Rightarrow \{-\infty,\dots,x_1, x_2, x_3,\dots,\infty\} </math>, então tomamos | Seja um conjunto de pontos '''A''', cujos membros são os números em <math>{R} \Rightarrow \{-\infty,\dots,x_1, x_2, x_3,\dots,\infty\} </math>, então tomamos | ||
<math>x</math> e denominamo-la '''variável independente''', visto que, arbitrariamente, lhe podemos atribuir qualquer valor em <math>{R}</math> e portanto | <math>x</math> e denominamo-la '''variável independente''', visto que, arbitrariamente, lhe podemos atribuir qualquer valor em <math>{R}</math> e portanto | ||
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'''A''' é o '''domínio''' da variável <math>x</math>. | |||
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regras matemáticas '''<math> f </math>''', quando números arbitrários em '''A''' lhe são transferidos; visto que há um único valor assumido para cada valor | regras matemáticas '''<math> f </math>''', quando números arbitrários em '''A''' lhe são transferidos; visto que há um único valor assumido para cada valor arbitrário transferido a '''<math> f </math>''', dizemos que: | ||
arbitrário transferido a '''<math> f </math>''', dizemos que: | <center> | ||
'''B''' é '''função''' de '''A'''. | |||
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Sendo '''B''' obtido através das regras de <math>f</math> : | Sendo '''B''' obtido através das regras de <math>f</math> : | ||
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Da mesma forma, como '''B''' é restrito aos valores definidos por '''A''' e às regras definidas por <math>f</math>, os seus elementos espelham estas condições, | Da mesma forma, como '''B''' é restrito aos valores definidos por '''A''' e às regras definidas por <math>f</math>, os seus elementos espelham estas condições, | ||
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Note que assim que atribuirmos valores a <math>x</math> , a mesma assumirá valores | Note que assim que atribuirmos valores a <math>x</math> , a mesma assumirá valores | ||
inválidos, valores de raizes quadradas de números negativos, para sanar este problema, poderemos atribuir uma faixa de valores válidos para o domínio de <math>x</math> , então teremos: | inválidos, valores de raizes quadradas de números negativos, para sanar este problema, poderemos atribuir uma faixa de valores válidos para o domínio de <math>x</math> , então teremos: | ||
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<math> \sqrt{12-x} \quad x \le 12 </math> | |||
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Assim, teremos um domínio restrito a valores iguais ou menores que 12, portanto, incluindo-o, este extremo ao qual pertence o valor 12 chamamos de '''extremo fechado'''. | Assim, teremos um domínio restrito a valores iguais ou menores que 12, portanto, incluindo-o, este extremo ao qual pertence o valor 12 chamamos de '''extremo fechado'''. | ||
Temos uma situação semelhante, porém com uma sutil diferença, quando temos que fazer: <math>\log{x}</math> , neste caso, temos que restringir o valor 0 e todos os números abaixo dele, desta forma: | Temos uma situação semelhante, porém com uma sutil diferença, quando temos que fazer: <math>\log{x}</math> , neste caso, temos que restringir o valor 0 e todos os números abaixo dele, desta forma: | ||
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<math> \log{x} \quad x > 0 </math> | |||
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Poderemos atribuir apenas valores maiores que 0, uma vez que este valor não pertence ao conjunto de números que podem ser atribuidos à variável, chamamos este de '''extremo aberto'''. | Poderemos atribuir apenas valores maiores que 0, uma vez que este valor não pertence ao conjunto de números que podem ser atribuidos à variável, chamamos este de '''extremo aberto'''. | ||
==== | ====Notações==== | ||
O conjunto de números '''B''' <math>\{-\infty,\dots,y_1, y_2, y_3,\dots,\infty\} </math> dos quais <math> y_n </math> dependem do conjunto | O conjunto de números '''B''' <math>\{-\infty,\dots,y_1, y_2, y_3,\dots,\infty\} </math> dos quais <math> y_n </math> dependem do conjunto | ||
'''A''' <math>\{-\infty,\dots,x_1, x_2, x_3,\dots,\infty\} </math> de onde temos <math> x_n </math>, estabelecemos o par de números <math> \{x_n\ ,\ y_n\} </math>, | '''A''' <math>\{-\infty,\dots,x_1, x_2, x_3,\dots,\infty\} </math> de onde temos <math> x_n </math>, estabelecemos o par de números <math> \{x_n\ ,\ y_n\} </math>, | ||
ou simplesmente: | ou simplesmente: | ||
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<math> (x\ ,\ y) </math> | |||
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Este é chamado de '''par ordenado'''. | Este é chamado de '''par ordenado'''. | ||
Sendo também '''<math> f </math>''' a representação dos valores de <math> (x\ ,\ y) </math>, então podemos dizer que: | Sendo também '''<math> f </math>''' a representação dos valores de <math> (x\ ,\ y) </math>, então podemos dizer que: | ||
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<math> y=f(x) </math> | |||
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Sendo <math> f(x) </math> o valor de <math> y</math> quando definido pelas operações em <math>f</math>. | Sendo <math> f(x) </math> o valor de <math> y</math> quando definido pelas operações em <math>f</math>. | ||
Faixas de valores que delimitam os domínios podem ser representados com desigualdades, como nos exemplos abaixo: | Faixas de valores que delimitam os domínios podem ser representados com desigualdades, como nos exemplos abaixo: | ||
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<math> -2\ <\ x\ <\ 4\ ;\ -12\ \le\ x\ <\ 8</math> | |||
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Porém, os extremos podem ser colocados em um par entre delimitadores de forma que, para os extremos fechados usamos os delimitadores [ ou ], para os extremos | Porém, os extremos podem ser colocados em um par entre delimitadores de forma que, para os extremos fechados usamos os delimitadores [ ou ], para os extremos | ||
abertos usamos ( ou ), habilitando-nos a identificar os extemos mais claramente, desta forma podemos identificar os domínios do exemplo acima desta forma: | abertos usamos ( ou ), habilitando-nos a identificar os extemos mais claramente, desta forma podemos identificar os domínios do exemplo acima desta forma: | ||
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<math> (\ -2\ ,\ 4\ ) ; [\ -12\ ,\ 8\ ) </math> | |||
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===Operações com funções=== | ===Operações com funções=== | ||
Consideremos duas funções ''f'' e ''g''; admitindo que as duas são, intuitivamente, expressões que se traduzem em valores, podemos dizer que: | Consideremos duas funções ''f'' e ''g''; admitindo que as duas são, intuitivamente, expressões que se traduzem em valores, podemos dizer que: | ||
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<math> (\ f\ +\ g\ )(\ x\ )\ =\ f(x)\ +\ g(x);</math> | |||
<math> (\ f\ -\ g\ )(\ x\ )\ =\ f(x)\ -\ g(x);</math> | |||
<math> (\ f\ \cdot\ g\ )(\ x\ )\ =\ f(x)\ \cdot\ g(x);</math> | |||
<math> (\ f\ :\ g\ )(\ x\ )\ =\ f(x)\ :\ g(x);</math> | |||
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Sendo ''Df'' o domínio da função ''f'' e ''Dg'' o domínio da função ''g'', o domínio da função resultante das operações acima é sempre: | Sendo ''Df'' o domínio da função ''f'' e ''Dg'' o domínio da função ''g'', o domínio da função resultante das operações acima é sempre: | ||
Edição das 17h23min de 16 de março de 2006
Conceitos básicos
Definições iniciais:
Para uma melhor compreensão do conteúdo subseqüente, sugerimos observar o tópico: Funções, no livro: Matemática Elementar, pois o estudo completo de funções foge do escopo deste livro. Neste capítulo iremos destacar princípios e notações que nos serão úteis ao longo deste livro.
Função, domínio e imagem
Seja um conjunto de pontos A, cujos membros são os números em , então tomamos e denominamo-la variável independente, visto que, arbitrariamente, lhe podemos atribuir qualquer valor em e portanto dizemos que:
A é o domínio da variável .
Da mesma forma, admitamos um conjunto de pontos B, cujos membros são números que são obtidos única e exclusivamente por um conjunto de regras matemáticas , quando números arbitrários em A lhe são transferidos; visto que há um único valor assumido para cada valor arbitrário transferido a , dizemos que:
B é função de A.
Sendo B obtido através das regras de :
A é domínio da função .
Da mesma forma, como B é restrito aos valores definidos por A e às regras definidas por , os seus elementos espelham estas condições, portanto, podemos dizer que:
B é imagem da função .
Extensões de domínios
Observemos a espressão: Note que assim que atribuirmos valores a , a mesma assumirá valores inválidos, valores de raizes quadradas de números negativos, para sanar este problema, poderemos atribuir uma faixa de valores válidos para o domínio de , então teremos:
Assim, teremos um domínio restrito a valores iguais ou menores que 12, portanto, incluindo-o, este extremo ao qual pertence o valor 12 chamamos de extremo fechado.
Temos uma situação semelhante, porém com uma sutil diferença, quando temos que fazer: , neste caso, temos que restringir o valor 0 e todos os números abaixo dele, desta forma:
Poderemos atribuir apenas valores maiores que 0, uma vez que este valor não pertence ao conjunto de números que podem ser atribuidos à variável, chamamos este de extremo aberto.
Notações
O conjunto de números B dos quais dependem do conjunto A de onde temos , estabelecemos o par de números , ou simplesmente:
Este é chamado de par ordenado.
Sendo também a representação dos valores de , então podemos dizer que:
Sendo o valor de quando definido pelas operações em .
Faixas de valores que delimitam os domínios podem ser representados com desigualdades, como nos exemplos abaixo:
Porém, os extremos podem ser colocados em um par entre delimitadores de forma que, para os extremos fechados usamos os delimitadores [ ou ], para os extremos abertos usamos ( ou ), habilitando-nos a identificar os extemos mais claramente, desta forma podemos identificar os domínios do exemplo acima desta forma:
Operações com funções
Consideremos duas funções f e g; admitindo que as duas são, intuitivamente, expressões que se traduzem em valores, podemos dizer que:
Sendo Df o domínio da função f e Dg o domínio da função g, o domínio da função resultante das operações acima é sempre: