Matemática elementar/Polinômios: mudanças entre as edições
imported>Marcos Antônio Nunes de Moura (→Adição) |
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Linha 51: | Linha 51: | ||
===Adição=== | ===Adição=== | ||
Consideremos que tenhamos os fatores: | |||
<math>{a_A,b_A,c_A,d_A,e_A} \,\!</math> e | |||
<math>{a_B,b_B,c_B,d_B,e_B} \,\!</math> | |||
Todos constantes e com valores diferentes de zero. | |||
Ainda temos: | |||
<math>{x,y} \,\!</math> | |||
que são variáveis. | |||
Os polinômios: | |||
<math>A(x)=a_A x^4+b_A x^3+c_A x^2+d_A x+e_A \,\!</math> | |||
e | |||
<math>B(x)=a_B x^4+b_B x^3+c_B x^2+d_B x+e_B \,\!</math> | |||
A sua adição é efetuada como segue: | |||
<math>S_{AB}(x)=(a_A+a_B) x^4 + (b_A+b_B) x^3 + (c_A+c_B) x^2 + (d_A+d_B) x + (e_A+e_B) \,\!</math> | |||
Em caso de polinômios compostos por mais de uma variável, tais quais: | |||
<math>A(xy)=a_A x^2y+b_A xy+c_A y^2+d_A xy^3+e_A \,\!</math> | |||
e | |||
<math>B(xy)=a_B x^2y+b_B xy+c_B y^2+d_B xy^3+e_B \,\!</math> | |||
A sua adição é efetuada como segue: | |||
<math>S_{AB}(x)=(a_A+a_B) x^2y + (b_A+b_B) xy + (c_A+c_B) y^2 + (d_A+d_B) xy^3 + (e_A+e_B) \,\!</math> | |||
'''Processo:''' | |||
Para fazer a soma dos polinômios de uma só variável, identificamos os monômios de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do momômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores. | |||
Para fazer a soma dos polinômios de várias variáveis, identificamos os monômios com variáveis iguais de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do momômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores. | |||
===Subtração=== | ===Subtração=== |
Edição das 14h26min de 21 de abril de 2006
Definição
Polinômios são séries de monômios (ou termos), que por sua vez são expressões matemáticas na forma . Cada monômio é caracterizado por
- um coeficiente, que na equação acima é representado por a;
- uma variável, que na equação é representada por x; e
- um expoente, que na equação é representado por n.
Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é função polinomial, mas o uso de polinômio é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma:
A função constante, , é um exemplo de função polinomial, bem como a função linear .
Grau
Define-se o grau de um polinômio como igual ao expoente mais alto entre as variáveis de seus monômios não-nulos. Por exemplo, no polinômio o grau é 3, correspondente ao expoente mais alto entre as variáveis nos monômios ().
Valor númerico
Raízes
Raiz ou zero é um valor tal que, atribuído à variável da função polinomial, faz com que a função resulte em 0. Ou seja, se a é dito raiz do polinômio P(x), então .
Exemplos de raízes:
- tem raiz r = 4 (pois )
- tem raiz r igual a -1, pois .
Um polinômio de grau n terá n raízes, sempre. Algumas vezes uma mesma raiz se repete, sendo por isso chamada raiz dupla, tripla, quádrupla, etc. Por exemplo:
- tem raiz dupla r igual a -2, uma vez que pode ser fatorado em .
Num gráfico representativo da função polinomial, as raízes sempre ocorrem nos pontos em que a curva cruza o eixo das abcissas.
Obtenção de raízes
Identidade de polinômios
Dois polinômios são ditos idênticos se tiverem o mesmo grau e os monômios correspondentes idênticos, por exemplo:
Como o desenvolvimento de B(x) resultou num polinômio de termos correspondentes idênticos a A(x), então os polinômios são idênticos ou equivalentes; indica-se: .
Polinômio nulo
Igualdade de polinômios
Operações
Adição
Consideremos que tenhamos os fatores:
e
Todos constantes e com valores diferentes de zero.
Ainda temos:
que são variáveis.
Os polinômios:
e
A sua adição é efetuada como segue:
Em caso de polinômios compostos por mais de uma variável, tais quais:
e
A sua adição é efetuada como segue:
Processo:
Para fazer a soma dos polinômios de uma só variável, identificamos os monômios de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do momômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores.
Para fazer a soma dos polinômios de várias variáveis, identificamos os monômios com variáveis iguais de mesmo expoente e somamos os fatores dos mesmos, o resultado da soma dos fatores é multiplicado pela parte variável do momômio, repete-se o processo para todos os monômios até que não haja mais fatores.
Subtração
Multiplicação
Divisão
Teoremas
Teorema do resto
O resto da divisão do polinômio pelo polinômio de primeiro grau é .
Observação:
Note que é a raiz do divisor
Teorema de D'Alembert
Um polinômio é divisível pelo polinômio de primeiro grau se e somente se, .