Matemática elementar/Matrizes: mudanças entre as edições
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* Uma matriz é indicada por uma letra maiúscula. | * Uma matriz é indicada por uma letra maiúscula. | ||
* Seus elementos são indicados usando a mesma letra, porém minúscula, com a linha e coluna usados como índice (nesta ordem). Assim, o elemento da 3ª coluna na 2ª linha da matriz ''A'' será <math>a_{23}</math>. | * Seus elementos são indicados usando a mesma letra, porém minúscula, com a linha e coluna usados como índice (nesta ordem). Assim, o elemento da 3ª coluna na 2ª linha da matriz ''A'' será <math>a_{23}</math>. | ||
Assim, na matriz acima, de 2 linhas e 3 colunas, temos: | Assim, na matriz acima, de 2 linhas e 3 colunas, temos: | ||
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=== Ordem de uma matriz === | === Ordem de uma matriz === | ||
'''Ordem''' de uma matriz refere-se ao | '''Ordem''' de uma matriz refere-se ao seu número de linhas e colunas. É apresentada na notação ''m''×''n'', onde ''m'' é o número de linhas e ''n'' o de colunas. Lê-se "m por n". | ||
Assim, a matriz ''A'' acima é de ordem 2×3. | Assim, a matriz ''A'' acima é de ordem 2×3. |
Edição das 23h25min de 24 de junho de 2018
Matrizes
Conceito
Uma matriz pode ser entendida como um conjunto de mn (m multiplicado por n) números, dispostos em m linhas e n colunas, conforme figura ao lado.
Notação
- Matrizes devem ser escritas com parênteses ou colchetes à esquerda e à direita, sendo as duas maneiras equivalentes.
- Uma matriz é indicada por uma letra maiúscula.
- Seus elementos são indicados usando a mesma letra, porém minúscula, com a linha e coluna usados como índice (nesta ordem). Assim, o elemento da 3ª coluna na 2ª linha da matriz A será .
Assim, na matriz acima, de 2 linhas e 3 colunas, temos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{21}\ =\ 1,\ a_{22}\ =\ 7,\ a_{23}\ =\ 3}
Ordem de uma matriz
Ordem de uma matriz refere-se ao seu número de linhas e colunas. É apresentada na notação m×n, onde m é o número de linhas e n o de colunas. Lê-se "m por n".
Assim, a matriz A acima é de ordem 2×3.
Adição e subtração
Esta operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas (mesma ordem). Sejam duas matrizes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{m,n}\,\!} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B_{m,n}\,\!} .
Então a matriz é uma matriz mn tal que cada elemento de é dado por:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_{ij}\ =\ a_{ij} \pm b_{ij}} . Ver exemplo ao lado.
Multiplicação por um escalar
Seja a matriz Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{m,n} \,\!} e um escalar. A matriz
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P = c A \,\!} é uma matriz m×n tal que cada elemento de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P \,\!} é dado por:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{ij}\ =\ c\cdot a_{ij} \,\!} .
Algumas propriedades das operações anteriores
Sejam e matrizes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m\times n \,\!} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c \,\!} e escalares. Então:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c (A + B) = cA + cB \,\!} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d (cA) = dc (A) \,\!} .
E, também, se e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c \ne 0\,} então .
Matrizes nulas
Matriz nula é aquela cujos elementos são todos nulos.
matriz identidade Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_n \,\!} é matriz Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_{n,n} \,\!} na qual Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i_{j,k}=1 \,\!} se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle j=k \,\!} e zero nos demais casos. Ou, de outra maneira, é a matriz na qual todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos.
Matrizes especiais
- Matriz linha é a matriz em que o número de linhas é igual a 1.
- Matriz coluna é a matriz em que o número de colunas é igual a 1.
- Matriz quadrada é a matriz em que o número de linhas é igual ao número de colunas.
- Matriz unitária é a matriz em que obedece a relação (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^t=A^{-1}} ).
- Matriz transposta (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^t} ) da matriz é a matriz obtida pela permutação das linhas e colunas de . Ou seja, cada coluna de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} será uma linha de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^t} e cada linha da matriz original será uma coluna da transposta.
Multiplicação de matrizes
Sejam as matrizes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{m,p}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B_{p,n}} (o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda).
O produto AB é dado pela matriz cujos elementos são calculados por:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj}}
e
Veja os cálculos para o exemplo da figura acima.
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_{11} = 4\cdot 1 + 0\cdot 2 + 5\cdot 1 = 9}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_{12} = 4\cdot 2 + 0\cdot 5 + 5\cdot 0 = 8}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_{21} = 1\cdot 1 + 1\cdot 2 + 3\cdot 1 = 6}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_{22} = 1\cdot 2 + 1\cdot 5 + 3\cdot 0 = 7}
Ordem dos fatores
Se A e B são matrizes quadradas (igual número de linhas e colunas), ambos os produtos AB e BA podem ser calculados.
Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores não é indiferente. Em geral, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB \neq BA} .
Se AB = BA, as matrizes são ditas comutativas......
Algumas propriedades do produto de matrizes
Sejam as matrizes A, B e C.
- Se os produtos A(BC) e (AB)C são possíveis de cálculo, então A(BC) = (AB)C.
- Se os produtos AC e BC são possíveis, então (A+B)C = AC + BC.
- Se os produtos CA e CB são possíveis, então C(A+B) = CA + CB.
- Se é a matriz unitária conforme já mencionado, então: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_p A_{p,n} = A_{p,n}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B_{m,p} I_p = B_{m,p}} .
Matriz inversa
Sejam as matrizes quadradas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{n,n}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B_{n,n}} .
Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BA = I_n} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_n} é a matriz unitária conforme já visto, então B é chamada de matriz inversa esquerda de A.
Para achar a matriz inversa:
Por exemplo, seja a matriz A ao lado e desejamos saber sua inversa esquerda B. O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito de A.
Agora, o objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por coeficientes de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo (processo de Gauss-Jordan).
- 1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por -1.
- 2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por -1.
- 3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por -2.
- 3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por -3.
- 3ª linha = 3ª linha multiplicada por -1.
- 2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por -1.
E a matriz inversa é a parte da direita.
Determinantes
Determinantes de 2ª ordem
O conceito de determinante está ligado ao de matriz, embora seja completamente distinto: enquanto matriz é o conjunto de elementos conforme já mencionado, determinante é o resultado de uma operação aritmética com todos os elementos de uma matriz, que obedece a uma determinada regra. Só se aplica a matrizes quadradas.
O prefixo det é colocado antes da matriz para indicar determinante. Ou, de forma mais compacta, os colchetes na matriz são substituídos por barras verticais para o mesmo efeito.
Para calcular um determinante de uma matriz (determinante de 2ª ordem):
Seja . Então
Determinantes de ordens superiores
Para determinantes de 3ª ordem, há um método conhecido como regra de Sarrus. Considere a matriz:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \det A = aei + bfg + cdh - (gec + hfa + idb)}
Exemplo para 3ª ordem.
Quando a ordem é superior a 3, não há algoritmos simples a ponto de poderem ser generalizados por uma fórmula. Há, no entanto, dois métodos de decomposição que reduzem um determinante a determinantes de ordens menores. Um deles é conhecido como Teorema de Laplace, e vale para qualquer matriz. Outro método, mais simples, é a regra de Chió, mas há algumas restrições para que ele funcione numa matriz.
Regra de Chió
Teorema de Laplace
O Teorema de Laplace permite expandir um determinante de ordem Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} em uma soma de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} determinantes de ordem . A descrição do procedimento é a seguinte:
Considera-se uma fila (linha ou coluna) qualquer da matriz; somam-se os produtos de cada elemento desta linha por seus respectivos cofatores. O cofator de um elemento, por sua vez, é definido como o determinante da matriz que resta da eliminação da linha e coluna que passam pelo elemento, multiplicado pelo fator sinal Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-1)^{i+j}} ― negativo se a soma do índice da coluna com o índice da linha for ímpar, e positivo do contrário. O processo pode ser repetido indefinidamente, até chegarmos num determinante que possa ser calculado trivialmente.
Para deixar o processo mais claro, considere uma matriz . Podemos escolher qualquer linha ou coluna para calcular o determinante; vamos, por comodidade, escolher a segunda coluna, pois ela contém um zero ― o que nos dispensa de calcular um determinante, já que este seria multiplicado por zero. Então
-
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = -2\bigg[ (-1)\cdot(-1) - 3\cdot 2 \bigg] + 1\bigg[ (-2)\cdot(-1) - (-3)\cdot 2 \bigg]}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle = 10 + 8 = 18}
Você pode verificar que esse mesmo valor será obtido se usarmos a expansão de Laplace por outra coluna ou linha, e também se usarmos a regra de Sarrus. De fato, podemos provar, algebricamente, que a regra de Sarrus é equivalente ao uso do teorema de Laplace para um determinante de ordem 3.
Algumas propriedades dos determinantes
- Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas são trocadas (ou seja, ).
- Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal.
- Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si ou proporcionais entre si, o determinante é nulo. Se uma das linhas ou colunas contiver apenas zeros, o determinante também será nulo. Mais genericamente, o determinante é nulo se uma fila for uma combinação linear das outras filas.
- Se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em evidência.
- Generalizando a propriedade anterior, se uma matriz n x n tiver todos elementos multiplicados por k, então seu determinante será multiplicado por kn
- Um determinante não se altera se aos elementos de uma linha ou coluna são somados ou subtraídos os elementos (ou múltiplos deles) de outra linha ou coluna.
- O determinante de uma matriz é igual ao da sua transposta
- Ao trocarmos duas linhas ou colunas, o valor do seu determinante é multiplicado por (-1)
- O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto os elementos da diagonal
- O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes destas matrizes (Teorema de Binet)
Exemplo de aplicação de determinantes
Seja o sistema de equações lineares
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{\begin{matrix} a_{11} x + a_{12} y + a_{13} z & = & b_1 \\ a_{21} x + a_{22} y + a_{23} z & = & b_2 \\ a_{31} x + a_{32} y + a_{33} z & = & b_3 \end{matrix}\right.}
e o determinante
e os determinantes , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_y} e , obtidos substituindo-se, respectivamente, as colunas dos coeficientes de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} e pela coluna dos termos independentes:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_x = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_y = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33} \end{vmatrix}}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D_z = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \end{vmatrix}}
Então a solução do sistema é dada por:
Esse método costuma ser chamado de método de Cramer.
Ver também
- Álgebra linear/Matrizes (livro com conteúdo mais avançado)