Matemática elementar/Conjuntos/Números complexos: mudanças entre as edições
imported>Renato.watanabe |
imported>Renato.watanabe |
||
Linha 19: | Linha 19: | ||
Aprendemos desde muito cedo que não existem números reis tais que elevado ao quadrado dê como resultado -1. Isso acontece porque existem certas "regras" de multiplicação no conjunto dos números reais que impedem isso. | Aprendemos desde muito cedo que não existem números reis tais que elevado ao quadrado dê como resultado -1. Isso acontece porque existem certas "regras" de multiplicação no conjunto dos números reais que impedem isso. | ||
Por exemplo a regra de que "menos com menos dá mais". | Por exemplo a regra de que "menos com menos dá mais". | ||
Com isso precisamos definir um número com essa propriedade para que possamos resolver todas as equações. | |||
Assim <math>\sqrt{-1}\</math> | |||
==formas de representar os complexos== | ==formas de representar os complexos== |
Edição das 14h21min de 31 de dezembro de 2004
Números Complexos
Introdução
Os números complexos são o resultado de vários aumentos sucessivos do conjunto numérico N (naturais). Todos estes aumentos foram para que mais equações tivessem solução. Vamos ver:
No princípio existia o N. Mas equações do tipo não tinham solução em N. Com isto foram inventados os números negativos. O conjunto N aumentado dos números negativos resultou no conjunto Z (números inteiros).
Mas com o conjunto dos inteiros ainda haviam algumas equações sem solução. Por exemplo, . Com isto foram inventadas as frações. O conjunto Z acrescido das frações é o conjunto Q (números racionais).
Mas mesmo com os racionais, ainda haviam equações sem solução. Por exemplo, . Por incrível que possa parecer, não existe uma fração que possa assumir o lugar da variável , embora várias causem um erro bem pequeno. Com isto foram criados os números irracionais. O é um exemplo de número irracional. O conjunto Q acrescido dos irracionais é o conjunto dos reais.
Finalmente, foi inventada uma extensão dos reais para fornecer solução às ultimas equações que faltavam. Esta extensão é toda contruída a partir de um elemento novo. Um numerozinho chamado . Somando um real r com o produto de por outro real c, temos muitos outros números do tipo . Os reais acrescidos destes números geram o conjunto dos complexos.
Alguem poderia pensar que este processo ainda não parou, mas pode-se provar que o processo terminou. É possível mostrar que equações com coeficientes reais tem sempre solução nos complexos. Mas este é um resultado avançado demais para este livro.
O número imáginario
Aprendemos desde muito cedo que não existem números reis tais que elevado ao quadrado dê como resultado -1. Isso acontece porque existem certas "regras" de multiplicação no conjunto dos números reais que impedem isso. Por exemplo a regra de que "menos com menos dá mais". Com isso precisamos definir um número com essa propriedade para que possamos resolver todas as equações. Assim Falhou ao verificar gramática (erro de sintaxe): {\displaystyle \sqrt{-1}\}
formas de representar os complexos
a+ib
(a,b)
Operações com os complexos
Soma e subtração
Como já foi fito, um número complexo pode ser representado por (a,b). Assim, a operação soma fica definida como:
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
ou na outra notação: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
A subtração pode ser deduzida da operação soma:
(a,b) - (c,d)=(a,b) + (- (c,d))=(a,b) + (-c,-d) = (a-c,b-d)
ou na outra notação: (a + bi) - (c + di)=(a - c)+(b - d)i