Matemática elementar/Logaritmos: mudanças entre as edições
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== Operações com logaritmos == | == Operações com logaritmos == | ||
Existem várias regras que visam facilitar a resolução de logaritmos. | Existem várias regras que visam facilitar a resolução de logaritmos. Para as demonstrações a seguir, consideraremos '''log<sub>c</sub>a = x''', e '''log<sub>c</sub>b = y'''. Assim, '''c<sup>x</sup> = a''', e '''c<sup>y</sup> = b'''. | ||
=== Soma | === Soma === | ||
{{ênfase|A soma de logaritmos de mesma base é igual ao logaritmo do produto de seus logaritmandos: | |||
:<math>\log_{c}a + \log_{c}b = \log_{c}(a \cdot b)</math>}} | |||
Demonstração: | |||
<math>\ | *Podemos utilizar a propriedade do produto de potências: | ||
: <math>a \cdot b = c^x \cdot c^y = c^{(x + y)}\,</math> | |||
*Convertemos o último resultado de potência para logaritmo: | |||
: <math>\log_c (c^x \cdot c^y) = x + y\,</math> | |||
*Como c<sup>x</sup> = a, c<sup>y</sup> = b, log<sub>c</sub>a = x e log<sub>c</sub>b = y, substiuímos termos correspondentes: | |||
: <math>\log_c (a \cdot b) = \log_c a + \log_c b\,</math> | |||
=== Multiplicação por constante === | === Multiplicação por constante === | ||
{{ênfase|O produto de um logaritmo por uma constante (ou qualquer função real) é o logaritmo do logaritmando elevado a esta constante: | |||
:<math>k \cdot \log_{c}a = \log_{c}a^k</math>}} | |||
Demonstração: | |||
=== | *A partir de: | ||
: <math>a^k = {(c^x)}^k = c^{(k \cdot x)}\,</math> | |||
*Transformamos o último resultado em logaritmo: | |||
: <math>\log_c {(c^x)}^k = k \cdot x\,</math> | |||
*Substituindo os termos correspondentes: | |||
: <math>\log_c a^k = k \cdot \log_c a\,</math> | |||
<math>\log_{ | === Subtração === | ||
{{ênfase|A diferença de logaritmos de mesma base é igual ao quociente de seus logaritmandos: | |||
:<math>\log_{c}a - \log_{c}b = \log_{c} \frac{a}{b}</math>}} | |||
Demostração: | |||
*Podemos transformar a expressão na seguinte forma: | |||
: <math> | :<math>\log_{c}a - \log_{c}b = \log_{c}a + (-1 \log_{c}b)</math> | ||
: <math> | *Assim, temos uma soma de logaritmos, sendo que um deles está multiplicado por uma constante (-1). Aplicaremos, então, a propriedade do produto por uma constante: | ||
:<math>\log_{c}a + (-1 \log_{c}b) = \log_{c}a + \log_{c}b^{-1}</math> | |||
*Utilizado a propriedade do expoente negativo, teremos: | |||
:<math>\log_{c}a + \log_{c}b^{-1} = \log_{c}a + \log_{c} \frac {1}{b}</math> | |||
*Considerando a propriedade da soma de logaritmos: | |||
:<math>\log_{c}a + \log_{c} \frac {1}{b} = \log_{c}a \cdot \frac {1}{b}</math> | |||
*Portanto: | |||
:<math>\log_{c} \frac {a}{b} = \log_{c}a - \log_{c}b</math> | |||
=== Mudança de base === | |||
{{ênfase|Um logaritmo A qualquer é igual a uma fração de dois logaritmos de mesma base, na qual o logaritmando do denominador é igual ao logaritmando de A, e o logaritmando do numerador é igual a base de A: | |||
:<math>A = \log_{b}a = \frac{\log_{c}a}{\log_{c}b}</math> | |||
Sendo que c>0.}} | |||
: <math> | |||
* | *Consideraremos os valores para a demonstração: | ||
:<math>\log_c a = x \to c^x = a</math> (I) | |||
: <math> | :<math>\log_c b = y \to c^y = b \to c = b^{ \frac {1} {y}}</math> (II) | ||
: <math>\ | |||
Demonstração: | |||
*Para chegar ao resultado da expressão, tomamos o seguinte valor inicial: | |||
:<math> b^1 = b \to \log_b b = 1 </math> | |||
*Multiplicaremos as duas últimas equações por x/y: | |||
:<math> \frac {x} {y} \log_b b = \frac {x} {y} </math> | |||
*Aplicaremos a propriedade da multiplicação por constante na primeira equação: | |||
:<math> \log_b b^{\frac {x} {y}} = \frac {x} {y} </math> | |||
*Usaremos a propriedade da potência de uma potência (multiplicação de expoentes): | |||
:<math> \log_b (b^{ \frac {1} {y}})^{x} = \frac {x} {y} </math> | |||
*Substituímos com o resultado em (II): | |||
:<math> \log_b c^x = \frac {x} {y} </math> | |||
*Sabemos c<sub>x</sub> em (I): | |||
:<math> \log_b a = \frac {x} {y}</math> | |||
*Substituimos x pela primeira equação de (I) e y pela primeira equação de (II): | |||
:<math> \log_b a = \frac {\log_c a} {\log_c b}</math> | |||
Que prova a igualdade da propriedade. | |||
== Equações envolvendo logaritmos == | == Equações envolvendo logaritmos == |
Edição das 18h24min de 7 de junho de 2015
Considere o seguinte exemplo:
Uma família decidiu construir sua árvore genealógica. Enquanto desenhavam-na, notaram que a cada geração superior, dobrava o número de ascendentes. Na primeira geração, havia um. Na segunda, dois. Na terceira, quatro, e assim sucessivamente.
Qual a geração em que há 128 pessoas? É simples:
No entanto, há a impossibilidade de resolver o cálculo. Para isto, algumas calculadoras possuem a tecla log2:
Portanto, a geração em que há 128 ascendentes é a sétima.
A tecla log nada mais faz que descobrir um logaritmo.
Definição de logaritmo
Um logaritmo pode ser descrito como:
Observe que em cada operação (logaritmo, potência e raiz) um elemento diferente está em evidência. Isto mostra qual destes (a, b ou c) é importante para a equação. Sendo apenas a inversão de outras duas operações, as propriedades dos logaritmos são idênticas às das potências e raizes.
Vejamos um exemplo numérico abaixo:
Neste caso, dizemos que 2 é a base e 8 é o logaritmando. Assim, 3 é o logaritmo de 8 na base 2.
Função logaritmica
Vejamos os resultados obtidos em f (x) = log2 x:
x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y |
Note que os resultados obtidos seguem um progressão geométrica, e portanto, o gráfico será representado por uma curva. Pode-se observar, ainda, que quanto menor for x, mais próximo de zero será y, mas não há valor para x que faça y ser nulo. Diz-se, então, que zero é o limite da função f (x) = log2 x.
Ao ser representada por
define-se que b é o limite da função, e a o ponto em que a reta intercepta o eixo das ordenadas. Definiremos, agora, o contradomínio de y = (-2)x:
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
y |
Veja que os valores de y possuem alternância de sinal, o que faz haver descontinuidade. Desta forma, uma função do tipo loga b = c em que a < 0 não apresentaria um gráfico, e portanto, não existe. Esta é uma regra: a base não pode ser negativa!
Operações com logaritmos
Existem várias regras que visam facilitar a resolução de logaritmos. Para as demonstrações a seguir, consideraremos logca = x, e logcb = y. Assim, cx = a, e cy = b.
Soma
Demonstração:
- Podemos utilizar a propriedade do produto de potências:
- Convertemos o último resultado de potência para logaritmo:
- Como cx = a, cy = b, logca = x e logcb = y, substiuímos termos correspondentes:
Multiplicação por constante
Demonstração:
- A partir de:
- Transformamos o último resultado em logaritmo:
- Substituindo os termos correspondentes:
Subtração
Demostração:
- Podemos transformar a expressão na seguinte forma:
- Assim, temos uma soma de logaritmos, sendo que um deles está multiplicado por uma constante (-1). Aplicaremos, então, a propriedade do produto por uma constante:
- Utilizado a propriedade do expoente negativo, teremos:
- Considerando a propriedade da soma de logaritmos:
- Portanto:
Mudança de base
- Consideraremos os valores para a demonstração:
- (I)
- (II)
Demonstração:
- Para chegar ao resultado da expressão, tomamos o seguinte valor inicial:
- Multiplicaremos as duas últimas equações por x/y:
- Aplicaremos a propriedade da multiplicação por constante na primeira equação:
- Usaremos a propriedade da potência de uma potência (multiplicação de expoentes):
- Substituímos com o resultado em (II):
- Sabemos cx em (I):
- Substituimos x pela primeira equação de (I) e y pela primeira equação de (II):
Que prova a igualdade da propriedade.
Equações envolvendo logaritmos
Na resolução de equações envolvendo logaritmos é de grande ajuda em certas situações usar princípios de equações exponenciais. Um exemplo bom é a equação:
Que pode ser entendida como:
Esse tipo de comparação facilita a compreensão do problema em questão e de muitos outros semelhantes.
Logaritmos e raízes
Quando temos uma equação do tipo , devemos buscar um número ao qual devemos elevar de modo a obter o resultado . Exemplo:
Como , da definição de logaritmo resulta que .
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