Álgebra linear/Autovetores: mudanças entre as edições
imported>Thiago Marcel |
imported>Edudobay Sem resumo de edição |
||
Linha 7: | Linha 7: | ||
'''Definição''': | '''Definição''': | ||
<div style=" | <div style="border: 1px solid #8C1717; padding: 0.3em; -moz-border-radius: 25px"> | ||
<div style=" | <div style="border: 1px solid #97694F; padding: 0.8em; -moz-border-radius: 20px"> | ||
Seja '''V''' um espaço vetorial sobre K. Um vetor não nulo | Seja '''V''' um espaço vetorial sobre K, e seja '''T''' um operador linear sobre '''V'''. | ||
Um vetor não nulo <math>v</math> de '''V''' é dito um '''autovetor''' de '''T''' se existir um <math>\lambda \in K</math> | |||
<math>\lambda \in K</math> tal que <math>T(v) = \lambda v</math>. Neste caso, <math>\lambda</math> | tal que <math>T(v) = \lambda v</math>. Neste caso, <math>\lambda</math> é dito '''autovalor''' de '''T'''. | ||
é dito autovalor de | |||
</div></div> | </div></div> | ||
Um significado prático: | |||
* | * Os autovetores são vetores que, sob a ação de um operador linear, resultam num vetor de mesma direção. Os autovetores estão sempre ligados ao operador linear, ou seja, cada operador linear admite um conjunto específico de autovetores. | ||
* Para cada autovalor <math>\lambda</math>, existem infinitos autovetores <math>v</math> tais que <math>T(v) = \lambda v</math>. Dizemos que esses são ''autovetores associados ao autovalor <math>\lambda</math>''. | |||
'''Prove''': | '''Prove''': | ||
Linha 38: | Linha 38: | ||
<div style="text-align:center; border: 1px solid #97694F; padding: 0.3em; -moz-border-radius: 20px"> | <div style="text-align:center; border: 1px solid #97694F; padding: 0.3em; -moz-border-radius: 20px"> | ||
'''Definição''': Seja '''A''' uma matriz quadrada de ordem '''n'''. | '''Definição''': Seja '''A''' uma matriz quadrada de ordem '''n'''. | ||
O polinômio <math>p(\lambda) = det(A - \lambda I)</math> é chamado de | O polinômio <math>p(\lambda) = \det(A - \lambda I)</math> é chamado de | ||
polinômio característico de '''A'''. | polinômio característico de '''A'''. | ||
</div></div> | </div></div> | ||
'''Prove''': | '''Prove''': | ||
* Seja <math>\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> uma base de '''V''', e '''v''' um autovetor de '''T''' associado ao autovalor <math>\lambda</math>. Então <math>v]_\alpha</math> é um autovetor da matriz <math> [T]_\alpha</math> associado ao autovalor <math>\lambda</math> de <math> [T]_\alpha</math> | * Seja <math>\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> uma base de '''V''', e '''v''' um autovetor de '''T''' associado ao autovalor <math>\lambda</math>. Então <math>[v]_\alpha</math> é um autovetor da matriz <math> [T]_\alpha</math> associado ao autovalor <math>\lambda</math> de <math> [T]_\alpha</math> | ||
* Se <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> são duas bases quaisquer de '''V''', então o polinômio característico de <math> [T]_\alpha</math> é igual ao polinômio característico de <math> [T]_\beta</math>. | * Se <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> são duas bases quaisquer de '''V''', então o polinômio característico de <math> [T]_\alpha</math> é igual ao polinômio característico de <math> [T]_\beta</math>. | ||
Edição das 01h57min de 30 de junho de 2008
Autovetores e autovalores
Definição:
Seja V um espaço vetorial sobre K, e seja T um operador linear sobre V. Um vetor não nulo de V é dito um autovetor de T se existir um tal que . Neste caso, é dito autovalor de T.
Um significado prático:
- Os autovetores são vetores que, sob a ação de um operador linear, resultam num vetor de mesma direção. Os autovetores estão sempre ligados ao operador linear, ou seja, cada operador linear admite um conjunto específico de autovetores.
- Para cada autovalor , existem infinitos autovetores tais que . Dizemos que esses são autovetores associados ao autovalor .
Prove:
- Se v é um autovetor de T associado ao autovalor , então também é um autovetor associado a .
- O conjunto é um subespaço vetorial de V (ele é chamado de autoespaço). Note que é o conjunto de todos os autovetores associados a unido ao vetor nulo.
Autovetores de uma matriz quadrada
Definição:
Um autovalor de uma matriz é um escalar tal que existe um vetor X, com , onde X é chamado de autovetor de A associado a .
Polinômio característico
Definição: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O polinômio é chamado de polinômio característico de A.
Prove:
- Seja uma base de V, e v um autovetor de T associado ao autovalor . Então é um autovetor da matriz associado ao autovalor de
- Se e são duas bases quaisquer de V, então o polinômio característico de é igual ao polinômio característico de .
Operador diagonalizável
Definição:
Um operador T é dito diagonalizável se existir uma base de V tal que é uma matriz diagonal.
Definição:
Duas matrizes quadradas de mesma ordem, A e B, são ditas semelhantes se existir uma matriz P, de mesma ordem, inversível, tal que .
Definição:
Uma matriz é dita diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal D (ou seja, existe uma matriz P, inversível, tal que ).
Prove:
- Se são autovetores de T associados, respectivamente, aos autovetores tais que se , então é LI.
- Seja uma base de V. A matriz é diagonal é uma base de V formada por autovetores de T
- Se T é auto-adjunto e é um autovalor de T, então .
- Se T é auto-adjunto e são autovetores de T associados aos autovalores (distintos), respectivamente, então , se .
- Se T é unitário e é um autovalor de T, então .
- Se é um autovalor de T e T é normal, então é autovalor de .
- é T-invariante.
- é -invariante.
- Se T é normal e é autovalor de T, então é -invariante.
- Se T é normal, então é T-invariante.