Cálculo (Volume 1)/Integrais: mudanças entre as edições
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===Operações básicas=== | ===Operações básicas=== | ||
A antidiferenciação é uma operação que tende a ser complicada na maioria das funções, ao longo do nosso estudo veremos métodos para simplificar o processo, porém existem formas de funções que não podem ser operadas nesse processo. Algumas das regras básicas para operação de antidiferenciais serão abordadas nas seções subseqüentes, outras regras serão abordadas nos próximos capítulos, devido a complexidade que envolvem o processo muitos dos métodos necessitam de alguma regra que ainda não estudamos, para não colocar questões que não possam ser esclarecidas neste capítulo teremos que deixá-las para o momento oportuno, quando todos os elementos necessários para a abordagem do assunto estejam bem claros. | A antidiferenciação é uma operação que tende a ser complicada na maioria das funções, ao longo do nosso estudo veremos métodos para simplificar o processo, porém existem formas de funções que não podem ser operadas nesse processo. Algumas das regras básicas para operação de antidiferenciais serão abordadas nas seções subseqüentes, outras regras serão abordadas nos próximos capítulos, devido a complexidade que envolvem o processo, muitos dos métodos necessitam de alguma regra que ainda não estudamos, para não colocar questões que não possam ser esclarecidas neste capítulo teremos que deixá-las para o momento oportuno, quando todos os elementos necessários para a abordagem do assunto estejam bem claros. | ||
====Diferenciais==== | |||
A diferencial <math>\mbox{d}x</math> ao ser operada pela antidiferenciação, resulta: | |||
<math>\int \mbox{d}x=x</math> | |||
O que resulta na função primitiva: | |||
<math>\int \mbox{d}x=x+C</math> | |||
Com ''C'' constante. | |||
'''Comprovação:''' | |||
De fato se <math>F(x)=x+C</math>: | |||
<math>\mbox{d}\ F(x)= \mbox{d}x + 0</math> | |||
<math>\mbox{d}\ F(x)= \mbox{d}x</math> | |||
====Constantes==== | ====Constantes==== | ||
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Conforme o teorema [[Cálculo I: Derivadas#T13 - fator|T13 - fator]]. | Conforme o teorema [[Cálculo I: Derivadas#T13 - fator|T13 - fator]]. | ||
====Adição e subtração==== | ====Adição e subtração==== | ||
Se <math>f(x)=g(x)+h(x)</math> então: | |||
<math>\int f(x)\mbox{d}x=\int g(x)\mbox{d}x + \int h(x)\mbox{d}x</math> | |||
====Regra da cadeia para antidiferenciais==== | ====Regra da cadeia para antidiferenciais==== |
Edição das 16h00min de 9 de setembro de 2005
Integrais
Uma vez que podemos analisar a variação de determinados valores em uma função, como poderíamos reverter a análise, ou seja, se é possível criar uma função a partir de outra utilizando a diferenciação, o que teríamos se fizéssemos a operação inversa? Esta é uma questão que nos leva a mais um método do cálculo, a integração é uma forma de reverter a derivação, com ela temos um artifício para recuperar a função original a partir da sua derivada. Outra característica interessante da integral é que o valor numérico de uma integral definida exatamente em um intervalo é correspondente ao valor da área do desenho delimitado pela curva da função e o eixo x (abscissas). Vamos analisar em seguida como funciona o mecanismo básico de integração e nos capítulos seguintes nos aprofundaremos no tema, que é bastante vasto.
Uma breve introdução dos conceitos que detalharemos neste capítulo pode ser encontrada em:
Antiderivadas e antidiferenciais
Como procedemos para reverter a derivação? O princípio é verificado através da análise da inversão, da seguinte forma:
Considere a função cuja derivada , então dizemos que é a antiderivada de , a nossa primeira constatação é que a função primitiva inclui uma constante, que durante o processo de derivação é descartada, já que sua derivada é nula, se fizermos o processo inverso para obter a função original teríamos para operar e consegui-lo, isso nos leva a uma indefinição da função obtida através da antiderivada, a menos que conheçamos o valor da constante. Se quisermos obter a função original teríamos que operar e zero, o primeiro requesito é, a princípio, plausível de ser conseguido, porém operar zero para obtenção de qualquer constante parece algo não concebível.
Podemos então dizer:
A antiderivação é o processo pelo qual operamos a derivada de uma função para encontrar a sua exata função primitiva.
O que nos leva a conclusão que a antiderivação exige que tenhamos meios para encontrar a constante que pertencia a função quando ela foi derivada, ou que deduções, a partir de suas características e dos fenômenos utilizados para sua formulação, possam fornecer a constante.
No caso da antidiferencial, analisamos apenas os processos para dedução de um esboço da função, o que chamamos de fórmula geral, no formato: .
Como podemos encontrar diversas constantes, temos diversas funções, o que nos dá a possibilidade de operar, por exemplo as funções: derivadas de , mesmo que , ao operarmos as funções derivadas utilizando a antidiferenciação teremos , que não nos garante meios de encontrar as primitivas, visto que não conhecemos meios para deduzir as constantes.
Definições
Ao operar a inversa da derivada, podemos fazer a análise com as diferenciais, ou seja, cosidere a função , então temos: , o que nos leva a algo muito interessante:
O que nos lembra:
Temos ainda que , fazendo-nos deduzir que precisamos operar:
Para encontrar y.
Esta operação é chamada de antidiferencial e é simbolizada por:
Onde (f) é a função e (d) é a diferencial da variável independente.
De forma mais completa a antidiferencial da função é:
E a sua antiderivada é:
onde C é a constante que define a função primitiva.
Operações básicas
A antidiferenciação é uma operação que tende a ser complicada na maioria das funções, ao longo do nosso estudo veremos métodos para simplificar o processo, porém existem formas de funções que não podem ser operadas nesse processo. Algumas das regras básicas para operação de antidiferenciais serão abordadas nas seções subseqüentes, outras regras serão abordadas nos próximos capítulos, devido a complexidade que envolvem o processo, muitos dos métodos necessitam de alguma regra que ainda não estudamos, para não colocar questões que não possam ser esclarecidas neste capítulo teremos que deixá-las para o momento oportuno, quando todos os elementos necessários para a abordagem do assunto estejam bem claros.
Diferenciais
A diferencial ao ser operada pela antidiferenciação, resulta:
O que resulta na função primitiva:
Com C constante.
Comprovação:
De fato se :
Constantes
A constante c é operada como coeficiente da variável independente, de forma que sua antidiferencial é:
Comprovação:
Se fizermos: , teremos:
Conforme o teorema T13 - fator.
Adição e subtração
Se então: