Lógica: mudanças entre as edições
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Edição das 01h56min de 9 de novembro de 2005
Lógica
O que é lógica
Lógica é a ciência formal que estuda as leis raciocínios. Por “raciocínio”, entende-se a operação intelectual discursiva, pela qual, da asserção de uma ou mais de uma proposição, é inferida outra em virtude de uma conexão necessária com as primeiras. Por ciência formal, entende-se toda ciência cujo escopo seja a forma e não o conteúdo daquilo que trata. Por exemplo, a aritmética estuda os números e suas operações sem levar em conta o que esta sendo enumerado. Assim, se Pedro tinha 6 maçãs e comeu 3, para a aritmética, sobram 3 maçãs, indiferentemente se de fato existe um Pedro que tinha 6 maças e comeu 3. A lógica, por sua vez, trata de analisar se um raciocínio é válido indiferentemente de seu conteúdo ou das condições psicológicas de quem o efetua.
Lógica Aristotélica
Cálculo Proposicional Clássico
- Existem vários sistemas lógicos. Alguns divergem entre si e outros se complementam.
- Será tratado aqui o Cálculo Proposicional Clássico (CPC), pois este dá conta da maioria dos raciocínios e serve de base para sistemas mais abrangentes.
- As características do CPC são:
- Bivalência: Uma fórmula só pode receber um de dois valores distintos e absolutos, verdadeiro ou falso. Uma fórmula não pode ser verdadeira e falsa (ao mesmo tempo, no mesmo sistema, contexto etc.), e não pode ser não-verdadeira e não falsa (ao mesmo tempo, no mesmo sistema, contexto etc.). Não existe gradação entre os valores (‘próximo da verdade’, ‘meia-verdade’ ou ‘muito falso’) tal como existe nas lógicas polivalentes ou fuzzy. Também não existe um terceiro valor tal como existe nas lógicas trivalentes.
- Termos proposicionais 0-ários: Enquanto na lógica aristotélica os termos representam o sujeito ou o predicado (A é B) e no Cálculo Quantificacional Clássico representam predicados que admitem n complementos, os termos no CPC representam proposições que não admitem complementos.
Proposições
- Proposições são estruturas lingüísticas passíveis de serem julgadas verdadeiras ou falsas, tais como “Todos homens são mortais”, “Sócrates é homem”, “A água sob uma atmosfera ferve a 100°C”, “Siegfrid matou Fafnir”, “2 + 2 = 4” etc. Não são proposições estruturas lingüísticas interrogativas (ex: “Quem é você?”) ou imperativas (ex: “Faça isto”), pois elas não são passíveis de serem julgadas verdadeiras ou falsas.
Termos, Operadores, Conectivos e Valorações
- No CPC os termos representam proposições. Para escrever os termos são usadas letras do alfabeto latino maiúsculas (A, B, C, D, E etc.). Os termos consistem em fórmulas atômicas, ou seja, fórmulas que não podem ser seguimentadas em fórmulas mais simples.
- Os operadores alteram os valores das fórmulas, constituindo assim fórmulas moleculares. Os conectivos são operadores que relacionam duas fórmulas. Os 5 mais usuais são: a negação (¬), a conjunção (∧), a disjunção (∨), a implicação (→) e a bi-implicação (↔).
- Basta a negação (que não é conectivo) e apenas a conjunção ou a disjunção ou a implicação para expressar todas as relações entre termos (que são 16 no total). Porém, a prolixidade das fórmulas é inversamente proporcional à quantidade de conectivos usados. Por exemplo, se fosse usada apenas a implicação e a negação, ao invés de simplesmente escrever A∧B, escrever-se-ia ¬(A→¬B), ao invés de A∨B, escrever-se-ia ¬(¬A→B), e, ao invés de A↔B, ter-se-ia a fórmula ¬((A→B)→ ¬(B→A)).
Tabelas de Verdade
- Uma tabela de verdade consiste em:
- 1º) Uma linha em que estão contidos todos os seguimentos de uma fórmula. Por exemplo, a fórmula ¬((A∧B)→C) tem o seguinte conjuntos de seguimentos:
{ ¬((A∧B)→C) , (A∧B)→C , A∧B , A , B , C}
- 2º) l linhas em que estão todos possíveis valores que os termos podem receber e os valores cujas as fórmulas moleculares tem dados os valores destes termos.
- O número destas linhas é l = nt , sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do CPC) e t o número de termos que a fórmula contém. Assim, se uma fórmula contém 2 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos termos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos termos são falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos termos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois termos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos termos são falsos (F F F).
- Como foi dito acima, todo termo – ou fórmula atômica – recebe a valoração “Verdadeiro” ou “Falso”:
A |
V |
F |
- A negação inverte o valor de verdade de uma fórmula. Assim, se A significa “Sócrates é mortal”, ¬A significa “Sócrates não é mortal”, e, se o primeiro é verdadeiro, o segundo é falso; e se o primeiro é falso, o segundo é verdadeiro:
A | ¬A |
V | F |
V | F |
- A conjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ambas são verdadeiras. Assim, se A significa “Sou cidadão brasileiro” e B significa “sou estudante de filosofia”, A∧B significa “Sou cidadão brasileiro e estudante de filosofia”; o que só é verdade se A é verdade e B é verdade:
A | B | A∧B |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | F |
- A disjunção, A∨B, pode ser descrita como ¬(¬A ∧ ¬B), ou seja, não é o caso de não A e não B. A disjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ao menos uma delas é verdadeira. Assim, se A significa “Fulano estuda filosofia” e B significa “Fulano estuda matemática”, A∨B significa “Fulano estuda filosofia ou matemática”; o que só é falso se nem A nem B forem verdadeiras:
A | B | A∨B |
V | V | V |
V | F | V |
F | V | V |
F | F | F |
- A implicação, A→B, pode ser descrita como ¬(A ∧ ¬B), ou seja, não é o caso de A e não B. A implicação entre duas fórmulas só é falsa se a primeira for verdadeira e a segunda falsa. Assim, se A significa “Apertar o botão vermelho” e B significa “O lugar todo explode”, A→B, significa “Se apertar o botão vermelho, o lugar inteiro explode”, o que só é falso se o botão vermelho for apertado (verdade de A) e o lugar não explodir (falsidade de B):
A | B | A→B |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | V |
F | F | V |
- A bi-implicação, A↔B, pode ser descrita como (A→B) ∧ (B→A), ou seja, A implica em B e B implica em A. A bi-implicação entre duas fórmulas é verdadeira quando ambas são verdadeiras ou ambas são falsas. Assim, se A significa “Isto é um ser humano” e B significa “Isto é um animal racional”, A↔B significa “Isto é humano somente se é animal racional”, o que só é falso se haver um ser humano que não é animal racional (verdade de A e falsidade de B) ou se for haver um animal racional que não é ser humano (falsidade de A e verdade de B):
A | B | A↔B |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | V |
- Ainda há outros conectivos interessantes – afinal, como foi dito acima, há 16 relações possíveis entre duas fórmulas – que são bem menos usuais. Merecem, portanto, uma rápida menção.
- A adaga de Quine, A↓B, pode ser descrita como ¬A ∧ ¬B, ou seja, não A e não B. Assim, A↓B é verdadeiro somente se ambos, A e B, forem falsos. Trata-se, portanto, da negação da disjunção:
A | B | A∨B | A↓B |
V | V | V | F |
V | F | V | F |
F | V | V | F |
F | F | F | V |
- A disjunção exclusiva, A∨B, pode ser descrita como ¬(A ∧ B) ∧ ¬(¬A ∧ ¬B), ou seja, não é o caso de não A e não B e não é o caso de A e B. A disjunção exclusiva entre duas fórmulas é verdadeira somente se apenas uma delas for verdadeira. Assim, se A significa “Fulano estuda filosofia” e B significa “Fulano estuda matemática”, A∨B significa “Ou Fulano estuda filosofia ou estuda matemática”; o que só é falso se ambos forem verdadeiros ou se ambos forem falsos. Trata-se, portanto, da negação da bi-implicação:
A | B | A↔B | A∨B |
V | V | V | F |
V | F | F | V |
F | V | F | V |
F | F | V | F |
Fórmulas Contingentes, Contradições e Tautologias
- Fórmulas contingentes são aquelas cuja valoração pode ser verdadeira ou falsa, dependendo da valoração de seus termos (ou fórmulas atômicas). Todas fórmulas descritas acima são contingentes:
A | B | ¬A | A∧B | A∨B | A→B | A↔B | A↓B | A∨B |
V | V | F | V | V | V | V | F | F |
V | F | F | F | V | F | F | F | V |
F | V | V | F | V | V | F | F | V |
F | F | V | F | F | V | V | V | F |
- Contradições são fórmulas que, independente da valoração de seus termos, sua valoração é “Falso”. Um exemplo de contradição é A∧¬A:
A | ¬A | A∧¬A |
V | F | F |
F | V | F |
- Tautologias são fórmulas que, independente da valoração de seus termos, sua valoração é “Verdadeiro”. Bons exemplos de tautologia são A→A , ¬(A∧¬A) e A∨¬A.
A | ¬A | A→A | ¬(A∧¬A) | A∨¬A |
V | F | V | V | V |
F | V | V | V | V |
- Nota: Toda negação de uma contradição consiste numa tautologia e toda negação de uma tautologia consiste numa contradição.
Lista de Tautologias
- Antes de listar as tautologias mais usuais, faz-se necessário um esclarecimento. Se dada uma fórmula tautológica, seus termos são substituídos por formulas moleculares, ela continua sendo uma tautologia. Exemplo:
- A→A é uma tautologia.
- Substitui-se o termo A pela fórmula molecular (B∧C) ↔ (D∨E)
- ((B∧C) ↔ (D∨E)) → ((B∧C) ↔ (D∨E))
- Está fórmula também é uma tautologia.
- Assim, a fim de expressar abrangentemente as fórmulas tautológicas, ao invés de usar termos (A, B, C, D etc.), usar-se-á letras gregas minúsculas (α, β, γ, δ, ε etc.) que representam fórmulas quaisquer (atômicas, moleculares, contingentes, contraditórias ou tautológicas).
Princípio de identidade | α → α
α ↔ α |
Princípio de não-contradição | ¬(α ∧ ¬α) |
Princípio do terceiro excluído | α ∨ ¬α
α ∨ ¬α |
Dupla negação | α ↔ ¬¬α |
Idempotência da conjunção | (α ∧ α) ↔ α |
Idempotência da disjunção | (α ∨ α) ↔ α |
Comutatividade da conjunção | (α ∧ β) ↔ (β ∧ α) |
Comutatividade da disjunção | (α ∨ β) ↔ (β ∨ α) |
Comutatividade da equivalência | (α ↔ β) ↔ (β ↔ α) |
Associatividade da conjunção | ((α ∧ β) ∧ γ) ↔ (α ∧ (β ∧ γ)) |
Associatividade da disjunção | (( α ∨ β) ∨ γ) ↔ (α ∨ (β ∨ γ)) |
Associatividade da equivalência | ((α ↔ β) ↔ γ) ↔ (α ↔ (β ↔ γ)) |
Leis de Morgan | ¬(α ∧ β) ↔ (¬α ∨ ¬β)
¬(α ∨ β) ↔ (¬α ∧ ¬β) |
Contraposição | (α → β) ↔ (¬β → ¬α) |
Distributividade | (α ∧ (β ∨ γ)) ↔ ((α ∧ β) ∨ ( α ∧ γ))
(α ∨ (β ∧ γ)) ↔ ((α ∨ β) ∧ (α ∨ γ)) |
Modus ponens | (α ∧ (α → β)) → β |
Modus tollens | (¬β ∧ (α→β)) → ¬α |
Silogismo disjuntivo | ((α ∨ β) ∧ ¬α) → β |
Silogismo hipotético | ((α → β) ∧ (β → γ)) → (α → γ) |
Lei de Pierce | ((α → β) → α) → α |
Lei de Dun Scot | ¬α → (α → β) |
Prefixação | α → (β → α) |
Antilogismo | ((α ∧ β) → γ) ↔ ((α ∧ ¬γ) → ¬β) |
Exportação/Importação | ((α ∧ β) → γ) ↔ (α → (β → γ)) |
Princípio da Explosão | (A ∧ ¬A) → B |