Matemática elementar/Conjuntos/Números naturais: mudanças entre as edições
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Monta-se a tabela com a seguinte estrutura: | Monta-se a tabela com a seguinte estrutura: | ||
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<u> A | B | R<sub>1</sub> | R<sub>2</sub> | R<sub>...</sub></u> | <u> A | B | R<sub>1</sub> | R<sub>2</sub> | R<sub>...</sub></u> | ||
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onde, | onde, | ||
A = um dos números | A = um dos números | ||
B = o outro número | B = o outro número | ||
<math>Q_1</math> = quociente da divisão <math>\frac{A}{B}</math> | |||
<math>R_1</math> = resto da divisão <math>\frac{A}{B}</math> (em seguida, ele torna-se o divisor de B) | |||
E assim em diante. | |||
O último resto (antes do 0) será o MDC. | O último resto (antes do 0) será o MDC. | ||
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==Mínimo Múltiplo Comum (MMC)== | ==Mínimo Múltiplo Comum (MMC)== | ||
O '''Mínimo Múltiplo Comum''' (também conhecido por menor múltiplo em comum) entre dois números <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math> (vulgarmente abreviada como <math>mmc(a,b)\,\!</math>) é o menor [[Matemática Elementar: Inteiros|número inteiro]] encontrado, que seja múltiplo dos outros dois. Por exemplo, <math> mmc(6,8) = 24\,\!</math>. | O '''Mínimo Múltiplo Comum''' (também conhecido por menor múltiplo em comum) entre dois números <math>a\,\!</math> e <math>b\,\!</math> (vulgarmente abreviada como <math>mmc(a,b)\,\!</math>) é o menor [[Matemática Elementar: Inteiros|número inteiro]] encontrado, que seja múltiplo dos outros dois. Por exemplo, <math> mmc(6,8) = 24\,\!</math>. |
Edição das 18h00min de 18 de abril de 2007
Definição
Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, ...). Em alguns contextos, o número natural é definido como um número inteiro positivo, i.e., o zero não é considerado como um número natural. O uso mais comum deles é a contagem ("Há 4 melancias voando num mar de suco de limão") ou a ordenação ("Esta é a 20ª melhor canção sobre melancias voadoras já cantada por um jacaré"). As propriedades dos números naturais como, por exemplo, divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas neste capítulo. Outras propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela análise combinatória.
Os matemáticos usam para se referir ao conjunto de todos os números naturais. Este conjunto é infinito e contável por definição.
= {0,1,2,3,4,5,6,7,...}
Se retirarmos o desses conjunto, obtemos o subconjunto:
= {1,2,3,4,5,6,7,...}
Divisão em
Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, isto é, quando é par.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo:
- 360 (3+6+0=9) → é divisível.
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismo forem 0 ou formarem um número divisível por 4.
Exemplo:
- 416 (últimos dois algarismos: 16 [= 4×2]) → é divisível.
Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.
Exemplo:
- 2.654.820 → é divisível.
Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplo:
- 414 → divisível por 6, pois
- par → divisível por 2
- 4+1+4=9 → divisível por 3
Divisibilidade por 7
A divisibilidade por também pode ser verificada da seguinte maneira:
Tome por exemplo o número 453. Separando-se o último algarismo ficamos com 45 e 3. Do primeiro subtraímos o dobro do segundo, ou seja, . Como 39 não é divisível por 7 o número 453 também não é.
Outro exemplo: → Separando e , teremos . Como é divisível por o número também é.
Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismo forem 0 ou formarem um número divisível por 8.
Exemplo:
- 24512 → é divisível.
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.
Exemplo:
- 927 (9+2+7=18) → é divisível.
Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 quando termina em zero.
Exemplo:
- 154.870 → é divisível
A divisibilidade por 11
Segue uma regra parecida com a da divisibilidade por 7. A título de exemplo considere o número 154. Separe o último algarismo ==> 15 e 4 ==> E subtraía o segundo do primeiro, ou seja, 15 - 4 = 11. Como 11 é divisível por 11, então 154 também o é. Num contra-exemplo o número 277. Pelo algoritmo teremos 27 e 7 ==> 27 - 7 = 20, que não é divisível por 11, e portanto 277 também não o é. O algoritmo pode ser aplicado várias vezes no caso de números maiores.
- Dica: Há um macete para tal regra:
ABBA - Os números que seguem esta fórmula são divisíveis por 11.
Exemplo: 1221 ; onde, A = 1 B = 2
Divisibilidade por
Um número é divisível por quando seus ultimos n algarismos forem 0 ou divisíveis por .
Números primos
Número primo é um número natural maior que 1 e que tem exatamente dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo. Se um número natural é maior que 1 e não é primo, diz-se que ele é um número composto. Por convenção, os números 0 e 1 não são primos nem compostos.
Decomposição em fatores primos (fatoração)
O Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número inteiro positivo pode ser escrito como o produto de vários números primos (chamados fatores primos). Ao processo que recebe como argumento um número composto e devolve os seus fatores primos chama-se decomposição em fatores primos (fatoração).
Exemplos:
Máximo Divisor Comum (MDC)
O máximo divisor comum (também conhecido por maior divisor em comum) entre dois números e (vulgarmente abreviada como ) é o maior número inteiro encontrado, que seja divisor dos outros dois. Por exemplo, . A definição abrange qualquer número de termos.
Exemplo:
- .
Esta operação é tipicamente utilizada para reduzir equações a outras equivalentes:
Seja o máximo divisor comum entre e e também e o resultado da divisão de ambos por , respectivamente.
Então, o seguinte se verifica:
Cálculo
Pode-se calcular o MDC de duas formas:
- Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas)
- Fatoração disjunta
Fatoração disjunta
Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, multiplicar os fatores comuns de menor expoente.
- Exemplo
| 2 24 | 2 12 | 2 x 6 | 3 3 | 2³ • 3 1 |
| 2 40 | 2 x 20 | 2 10 | 5 5 |2³ • 5 1 |
Com efeito,
MDC = 2³ = 8
Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides)
Na Fatoração conjunta (ou algoritmo de Euclides, ou ainda Processo das divisões sucessivas) fatora-se simultaneamente até dois números.
Monta-se a tabela com a seguinte estrutura:
A | B | R1 | R2 | R... R1 | R2 | R... | 0
onde,
A = um dos números B = o outro número = quociente da divisão = resto da divisão (em seguida, ele torna-se o divisor de B) E assim em diante.
O último resto (antes do 0) será o MDC.
- Exemplo
3 3 80 | 24 | 8 ← MDC (8) 8 | 0
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
O Mínimo Múltiplo Comum (também conhecido por menor múltiplo em comum) entre dois números e (vulgarmente abreviada como ) é o menor número inteiro encontrado, que seja múltiplo dos outros dois. Por exemplo, .
Cálculo
Pode-se calcular o MMC de duas formas:
- Fatoração conjunta
- Fatoração disjunta
Fatoração conjunta
Faz-se a fatoração com todos os n termos, simultaneamente:
- Exemplo
| 2 24, 40 | 2 12, 20 | 2 x 6, 10 | 3 3, 5 | 5 1, 5 | 120 1, 1
Fatoração disjunta
Faz-se a fatoração de cada termo separadamente para, depois, manter-se a base em comum e o expoente maior, multiplicado pelos fatores não comuns.
- Exemplo
| 2 24 | 2 12 | 2 x 6 | 3 3 | 2³ • 3 1 |
| 2 40 | 2 x 20 | 2 10 | 5 5 |2³ • 5 1 |
Com efeito,
23 • 3 • 5 8 • 3 • 5 120,
Propriedade do MDC e do MMC