Matemática elementar/Expressões algébricas: mudanças entre as edições
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==Referências== | ==Referências== |
Edição das 15h32min de 31 de agosto de 2011
Produtos notáveis são expressões matemáticas padronizadas, em que um produto ou uma potência pode ser expressa através de uma soma de monômios.
A operação inversa se chama fatoração algébrica, que consiste em expressar um polinômio como o produto de polinômios (usualmente binômios) mais simples.
O desenvolvimento dos produtos notáveis é um passo fundamental na simplificação de expressões que envolvem somas ou subtrações, como na resolução de vários tipos de equação.
A fatoração, por outro lado, é fundamental na simplificação de expressões que envolvem a divisão de polinômios, e também é importante na resolução de equações polinomiais.
Produtos notáveis
Quadrado da soma de dois termos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \,\!} .
Exemplos:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (8x+a)^2=64x^2+16ax+a^2 \,\!}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \frac{4x}{5y}-z \right )^2=\frac{16x^2}{25y^2}-\frac{8xz}{5y}+z^2}
Quadrado da diferença de dois termos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x-y)^2=x^2-2xy+y^2 \,\! }
Exemplos:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1-2x)^2=1-4x+4x^2 \,\! }
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \frac{3x}{4y}-n \right )^2=\frac{9x^2}{16y^2}-\frac{6xn}{4y}+n^2}
Cubo da soma de dois termos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 \,\!}
Exemplos:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (m+3n)^3=m^3+9m^2n+27mn^2+27n^3 \,\!}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8 \,\!}
Cubo da diferença de dois termos
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x-y)^3=x^3-3x^2y+3xy^2-y^3 \,\! }
Exemplos:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (b-2c)^3=b^3-6b^2c+12bc^2-b^3 \,\! }
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left ( \frac{x}{y}-\frac{a}{b} \right )^3=\frac{x^3}{y^3}-\frac{3ax^2}{by^2}+\frac{3a^2x}{b^2y}-\frac{a^3}{b^3}}
Exercícios
Fatoração algébrica
Fatoração pelo fator comum em evidência
Considere o polinômio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 14ab+7bc} , seu fator comum em evidência é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 7b} , dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 14ab:7b=2a} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 7bc:7b=c} , a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 14ab+7bc=7b.(2a+c)} . O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio.
Outros exemplos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 15x+9y=3.(5x+3y)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 50-10y=10.(5-y)}
Fatoração por agrupamento
Observe o polinômio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ab-b^2+2a-2b} . Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios a partir do polinômio principal, veja:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ab-b^2+2a-2b=(ab-b^2)+(2a-2b)} , logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ab-b^2=b(a-b)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2a-2b=2(a-b)} , obtemos a fatoração de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ab-b^2+2a-2b=b(a-b)+2(a-b)} , nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a-b)(b+2)} . A forma fatorada de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ab-b^2+2a-2b=b(a-b)+2(a-b)=(a-b)(b+2)} .
Outro exemplo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^4-a^5+a^2b-a^3b=a^2(a^2-a^3)+b(a^2-a^3)=(a^2-a^3)(a^2+b)}
Fatoração da diferença de dois quadrados
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2-y^2 = (x+y) . (x-y) \,\! }
Considere o polinômio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m^2-n^2} , que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{m^2}=m} menos a raiz quadrada do segundo termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\sqrt{n^2}=-n} , logo temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}=m-n} , devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raízes dos termos iniciais pelo seu oposto: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (m-n).(m+n)} , logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m^2-n^2=(\sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}).(\sqrt{m^2}+\sqrt{n^2})=(m-n).(m+n)} , ou simplesmente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m^2-n^2=(m-n).(m+n)} .
Outros exemplos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n+8)^2-1=[(n+8)+1].[(n+8)-1]=[n+8+1].[n+8-1]=[n+9].[n+7]}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^4-b^4=(a^2+b^2).(a^2-b^2)=(a-b).(a+b).(a^2+b^2)}
Fatoração do trinômio quadrado perfeito
Considere o polinômio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4x^2+4xy+y^2} , que é um trinômio quadrado perfeito, pois representa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2x+y)^2} , mas como saber se um trinômio é ou não quadrado perfeito?
Ainda considerando o polinômio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4x^2+4xy+y^2} , vamos obter a raiz quadrada do primeiro termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{4x^2}=2x} e a raiz quadrada do terceiro termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{y^2}=y} , finalmente multiplicamos por dois o produto das raízes para verificar se o resultado é igual ao segundo termo do polinômio (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4xy} ): Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2.2x.y=4xy} , o resultado é igual ao segundo termo do polinômio, logo o mesmo é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4x^2+4xy+y^2=(2x+y)^2} .
Outro exemplo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2-8xy+16y^2=\sqrt{x^2}-\sqrt{16y^2}=x-4y(2.x.(-4y)=(-8xy)=(x-4y)^2} ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2-8xy+16y^2=(x-4y)^2}
Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos
As expressões usadas são:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^3+y^3 = (x+y) . (x^2-xy+y^2) \,\! }
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^3-y^3 = (x-y) . (x^2+xy+y^2) \,\! }
Observe a multiplicação resolvida através da propriedade distributiva:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a+b).(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3} , tendo este cálculo como base, podemos dizer que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2)} , logo, a fatoração do polinômio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^3+b^3} é igual à raiz cúbica do primeiro termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt[3]{a^3}=a} , mais a raiz cúbica do segundo termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt[3]{b^3}=b} vezes o quadrado do primeiro termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2} , o produto dos dois termos com o sinal oposto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -ab} mais o quadrado do segundo termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b^2} , formando:Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2)} .
Outros exemplos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^3-y^3=(x-y).(x^2+xy+y^2)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27}=\left (\frac{x}{2}+\frac{y}{3} \right ).\left (\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9} \right )}
Fatoração do trinômio do segundo grau
Observe o trinômio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2-2x-35} , cuja forma fatorada é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x-7).(x+5)} , para realizar sua fatoração devemos obter dois números que somados dêem o coeficiente do segundo termo do polinômio (-2x) e multiplicados dêem o terceiro termo do polinômio (-35), e escrevê-los como produto de dois termos entre parênteses, veja outros exemplos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2+8a+12=(a+2).(a+6)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2-15x-100=(x-20).(x+5)}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y^2+y-72= (y+9)(y-8)}
Fatoração completa
A fatoração completa implica na união de todos os métodos de fatoração de polinômios para tornar um polinômio fatorado ao máximo, ou seja, que não pode ser mais fatorado. Considere o polinômio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^4-y^4} , que é a diferença de dois quadrados, fatorando-o temos: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^4-y^4=(x^2-y^2).(x^2+y^2)} , note que o primeiro termo da fatoração [Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x^2-y^2)} ] é uma diferença de dois quadrados, devemos fatora-lo: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^4-y^4=(x^2-y^2).(x^2+y^2)=(x-y).(x+y).(x^2+y^2)} , assim, temos a fatoração completa do polinômio Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^4-y^4} .
Outros exemplos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{x^6}{64}-\frac{y^6}{729}=\left (\frac{x^3}{8}-\frac{y^3}{27} \right ).\left (\frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27} \right )=\left [\left (\frac{x}{2}-\frac{y}{3} \right ).\left (\frac{x^2}{4}+\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9} \right ) \right ].\left [\left (\frac{x}{2}+\frac{y}{3} \right ).\left (\frac{x^2}{4}-\frac{xy}{6}+\frac{y^2}{9} \right ) \right ]}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3x^2-6x+3=3.(x^2-2x+1)=3.(x-1)^2}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2+2ab+b^2-c^2=(a+b)^2 - c^2 = (a+b-c)(a+b+c)}
Fatoração por artifício
Em alguns casos, a fatoração só é possível com a utilização de algum artifício. Exemplo;
Fatore a expressão algébrica: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^4+4x^2 y^2+16y^4} .
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x^4+4x^2 y^2+16y^4 +4x^2 y^2)-4x^2 y^2=}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^4+8x^2 y^2 +16y^4 -4x^2 y^2 =(x^2+4y^2)^2-4x^2 y^2=(x^2+4y^2+2xy)(x^2+4y^2-2xy)}
Artifício utilizado: Adicionamos e subtraímos o termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4x^2 y^2} , não alterando, assim, o valor da expressão e possibilitando a obtenção de trinômio quadrado perfeito para a realização da expressão.
Outro exemplo:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^5 + x + 1\,}
Artifício utilizado: soma-se e subtrai-se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2\,} , obtendo-se logo em seguida uma soma de cubos:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^5 + x + 1 = x^5 - x^2 + x^2 + x + 1 = x^2 (x^3 - 1) + x^2 + x + 1 = x^2 (x - 1) (x^2 + x + 1) + 1 (x^2 + x + 1) = (x^2 (x - 1) + 1)(x^2 + x + 1) = (x^3 - x^2 + 1)(x^2 + x + 1)\,}
Um passo intermediário que pode ser usado como artifício é a expressao da soma de dois quadrados:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy \,\!}
Polinômios irredutíveis
Alguns polinômios não podem ser fatorados, estes são chamados de polinômios irredutíveis, mas o estudo destes polinômios deve ficar para um livro mais avançado.
Exercícios
Problemas resolvidos
Caso 1
Uma indústria produz apenas dois tipos de camisas: o primeiro com preço de R$45,00 a unidade e o segundo com o preço de R$67,00 a unidade. Se chamarmos de x a quantidade vendida do primeiro tipo e de y a quantidade vendida do segundo tipo.
- Qual a expressão algébrica da venda desses dois artigos?
- Qual o valor se forem vendidos 200 e 300 unidades respectivamente?
Caso 2
O segundo caso de fatoração é: agrupamento, onde há 4 ou mais termos. Temos como exemplo:
- ax+ay+bx+by = a(x+y)+b(x+y)= (x+y)(a+b).
- Colocamos o 'x+y' em evidência e quem os multiplica também.
Caso 3
Diferença entre dois quadrados.
Caso 4
Trinômio quadrado perfeito.
Caso 5
Soma e produto
Caso 6
Exercícios
Fração algébrica
Simplificação
15x²-15xy²=
Operações
Adição
Subtração
Multiplicação
2 5 __ . ____ = 3 3
Divisão
Referências
Wikipédia
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