Matemática elementar/Equações algébricas: mudanças entre as edições
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A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos. | |||
Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo <math>a=c-4\,\!</math>. Assim: | |||
<math>c + a = 22\,\!</math> | |||
<math>c + (c - 4) = 22\,\!</math> | |||
<math>2c - 4 = 22\,\!</math> | |||
<math>2c - 4 + 4 = 22 + 4\,\!</math> | |||
<math>2c = 26\,\!</math> | |||
<math>c = 13\,\!</math> | |||
Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos. | |||
===Equação do 2º grau com 1 incógnita=== | ===Equação do 2º grau com 1 incógnita=== |
Edição das 00h23min de 6 de novembro de 2010
Definição
Uma equação é uma igualdade de expressões matemáticas, que pode ser utilizada no estudo das funções, nomeadamente das suas raízes. Pelo menos uma da expressão contém uma ou várias incógnitas (variáveis), cujo valor é denominado de solução ou soluções da equação.
Cada uma das expressões pode ser considerada como função matemática (p.e. f(x) e g(x)), e partilhar as suas propriedades, em que cada operação efectuada sobre uma das expressões, terá que ser replicada na outra
Raiz
Se as equações forem polinomiais, i.e., compostas por polinómios, o grau n da equação é o mesmo que o maior expoente encontrado de ambos polinómios, e a sua solução admite no máximo n raízes. A raiz de uma equação é o valor com o qual a incógnita anula a equação.
Multiplicidade de raízes
Número de raízes de uma equação
Relações entre coeficientes e raízes, Equações algébricas com coeficientes reais - pesquisa de raízes racionais, raízes complexas conjugadas.
Exemplo
Um exemplo de como completar quadrado:
Temos a seguinte equação: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x+2)^2= x^2+4x+4 \,\!}
Agora imagine a equação:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 + 8x -5=0 \,\!}
Vamos tentar transformá-la em um quadrado da soma.
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2+8x=5 \,\!}
Perceba que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x+4)^2=x^2+8x+16 \,\!}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x+4)^2 -16=5 \,\! }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x+4)^2=21 \,\!}
Esse menos 16 é para subtrair do 16 que se forma no produto notável de
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x+4)\,\!} ,
é só isso, o método de completar quadrados é simplesmente você transformar os números em um quadrado da soma.
Casos particulares
Equação do 1º grau com 1 incógnita
Sistemas do 1º grau
Problemas do 1º grau
A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=c-4\,\!} . Assim:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c + a = 22\,\!}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c + (c - 4) = 22\,\!}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2c - 4 = 22\,\!}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2c - 4 + 4 = 22 + 4\,\!}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2c = 26\,\!}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c = 13\,\!}
Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.
Equação do 2º grau com 1 incógnita
Aqui mostraremos como se pode deduzir a famosa fórmula para a resolução de equações do segundo grau, também conhecida como fórmula de Bhaskara.
Evolução
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ax^2+bx+c=0} , donde
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \left( x^2+ \frac{bx}{a} + \frac{c}{a} \right) = 0}
- a multiplica os termos:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \left( x^2+ \frac{bx}{a}+ \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \right) = 0}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \left[ \left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \right) \right] = 0}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \left[ \left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \right) \right] = 0}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \left[ \left( x+ \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right) \left( x+ \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right) \right] = 0}
- aqui Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b^2-4ac} tornou-se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta} .
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \left[ \left( x+ \frac{b+ \sqrt{\Delta}}{2a} \right) \left( x+ \frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a} \right) \right] = 0}
- aqui temos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \frac{-b- \sqrt{\Delta}}{2a} \right)} como X1 e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left( \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \right)} como X2.
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \left \{ x- x_1 \right \} \left[ x- x_2 \right] = 0}
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \left( x- x_1 \right) \left( x- x_2 \right) = 0}
- então,
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- por fim, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_2} (x) é representado pela seguinte fórmula:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}
Exercícios
Sistemas do 2º grau
Problemas do 2º grau
Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos foram convidados a este jantar?
- Solução
x = número de convidados 24.000/x = prêmio recebido por cada um se não houvesse faltas 24.000/(x-5) = prêmio recebido por cada um, como faltaram 5 pessoas 24.000/x+400=24.000/(x-5) ===> cada um dos presentes recebeu mais 400 simplificando a equação: dividindo os termos por 400 60/x + 1 = 60/(x-5) mmc: entre x e x-5 = x.(x-5) 60 (x-5) + x.(x-5) = 60.x 60x - 300 + x² - 5x - 60x = 0 x²-5x-300 = 0 aplicando a fórmula de Bhaskara: x' = 20, x" = -15(raizes negativas não servem)
Resposta: 20 pessoas foram convidadas...
Equação biquadrada
Uma equação biquadrada é um equação do quarto grau que não possuem termos de grau impar:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ax^4+bx^2+c=0,\quad a\neq 0\,}
A técnica para resolver esta equação consiste em reescrever a equação como uma expressão em y de forma que:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=x^2\,}
Assim a equação biquadrada transforma-se numa equação do segundo grau em y:
- Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ay^2+by+c=0,\quad a\neq 0\,}
Exercícios
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Leitura complementar
- Gilberto G. Garbi. O Romance das Equações Algébricas. 3ª ed. São Paulo: Livraria da Física. 2009. ISBN 8588325764
- Gilberto G. Garbi. A rainha da Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da Matemática. Livraria da Fisica, 2006. ISBN 8588325616