Matemática elementar/Conjuntos: mudanças entre as edições
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Um conjunto ''A'' é dito simétrico se, para todo elemento ''a'' pertencente a ele, houver também um elemento ''-a'' pertencente a esse conjunto. Os conjuntos numéricos '''Z''', '''R''', '''Q''' e '''C''' são simétricos. | |||
== Par ordenado e produto cartesiano == | == Par ordenado e produto cartesiano == |
Edição das 18h35min de 27 de novembro de 2004
Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem representar qualquer coisa — números, pessoas, letras, etc. Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive.
Trata-se de um conceito primitivo. Um conjunto possui como única propriedade o número de elementos que contém.
Representação
Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino, maiúscula (A, B, C, ...). Já os elementos do conjunto são representados por letras latinas minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira:
- A = { v,x,y,z }
Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z
A exceção é feita a conjuntos que contenham elementos que devem ser representados por letras maiúsculas — por exemplo, pontos geométricos ou estados verdadeiro/falso de uma sequência lógica:
- S = { V,F,F,V,V,V }
Há um conjunto que não possui elementos, o conjunto vazio, cuja representação é { } ou ∅ (mas nunca {∅}).
Existem também os conjuntos numéricos de consideração especial em matemática, a saber os conjuntos dos:
- números inteiros (representado por Z)
- números naturais (N), que contém os números inteiros positivos (1, 2, 3, ...) Algumas vezes entende-se por natural todo inteiro positivo e também o zero.
- números racionais (Q), que contém os números que podem ser representados por frações (e são expressos tanto na forma fracionária quanto na forma decimal - por exemplo 3/4 e 0,75)
- números reais (R), que contém os números racionais e os números irracionais, ou seja, aqueles que não podem ser representados por frações mas que podem ser associados a um ponto numa reta, a reta real. Em outras palavras, os números reais podem ser dispostos ordenadamente.
- números complexos (C), que resultam de qualquer radiciação possível, tendo uma parte imaginária e uma parte real (veja Matemática Elementar: Complexos).
Há outros conjuntos numéricos definidos na matemática, mas que não interessam nesse nível de estudo.
Relação de pertinência
Um elemento x pode ser dito pertencente ao conjunto A se for um dos elementos que compõem A. A representação matemática dessa relação é (lê-se: x pertence a A).
Exemplos:
Quando um elemento não pertence ao conjunto, utiliza-se o símbolo (lê-se: não pertence). Assim:
Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos A e B são ditos iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. Ou seja, todo elemento de A é elemento de B e vice-versa. A simbologia usada é . Se um conjunto não é igual a outro, utiliza-se o símbolo .
Subconjuntos
Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B. Por exemplo:
- A = { 1,2,3 }
- B = { 1,2,3,4,5,6 }
Nesse caso A é subconjunto de B, é indica-se . Deve-se reparar que B é subconjunto de si mesmo; os subconjuntos de B que não são iguais a B são chamados subconjuntos próprios.
O conjunto vazio (∅) é um subconjunto de todos os conjuntos.
Especificando conjuntos
A maneira mais simples de especificar um conjunto é através de uma lista de seus elementos entre chaves, conforme descrito nas seções anteriores:
- P = { 6,28,496 }
Usa-se o sinal ... para indicar um conjunto com infinitos elementos:
- N = { 1,2,3,4,5, ... }
Subconjuntos são representados com chaves dentro de chaves:
- T = { {1,6}, {5,8} }
Porém há notações alternativas para representar os conjuntos, como a chamada notação de composição do conjunto, que utiliza uma condição P para definir os elementos do conjunto:
- A = {x|P(x)}
P é uma função na variável x que tem o domínio igual ao conjunto A. A variável x pode estar limitada por outro conjunto, indicando-se a relação de pertinência adequada. Por exemplo:
O conjunto A será formado, de acordo com o desenvolvimento da equação dada, por 2 e 4 (únicos números inteiros que satisfazem a condição P, ou seja, que tornam verdadeira a equação). Logo, .
Universo
Em certos problemas da teoria dos conjuntos, é preciso que defina-se um conjunto que contenha todos os conjuntos considerados. Assim, todos os conjuntos trabalhados no problema seriam subconjuntos de um conjunto maior, que é conhecido como conjunto universo, ou simplesmente universo.
Por exemplo: em um problema envolvendo conjuntos de números inteiros, o conjunto dos números inteiros Z é o conjunto universo; em um problema envolvendo palavras (consideradas como conjuntos de letras), o universo é o alfabeto.
Operações com conjuntos
União
A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto A ou ao conjunto B. Matematicamente:
Por exemplo:
- A = {a,e,i}
- B = {o,u}
- A = {2,3,4,5}
- B = {1,3,5}
Observar no último exemplo que os elementos repetidos (3,5) não aparecem na união.
- A união de um conjunto A, qualquer que seja, com o conjunto vazio é igual ao próprio conjunto A, .
- Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou seja, .
Intersecção
A intersecção de dois conjuntos A e B, é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então: Dados dois conjuntos A e B, pertencentes a um universo U, chama-se intersecção de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem tanto a A quanto a B. Matematicamente:
Por exemplo:
- A = {1,2,3}
- B = {3,4,5}
- V = {a,e,i,o,u,y}
- C = {b,c,d,f,g,h,j,k,l,m,n,p,q,r,s,t,v,w,x,z}
Observar no último exemplo que, dado os conjuntos não terem elementos iguais, a intersecção resulta num conjunto vazio.
Diferença
Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Matematicamente:
Por exmeplo, o conjunto definido pela diferença entre os números inteiros e números naturais é igual ao conjunto Z- (números inteiros não-positivos):
- Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}
- N = {1,2,3,4,5,...}
- A subtração de um conjunto A menos um conjunto vazio é igual ao próprio conjunto A, .
Complementar
Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a A. Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se o símbolo . Matematicamente:
Exemplo:
- A = { 3,4,9,{10,12},{25,27} }
- D = { 10,12 }
Simetria
Um conjunto A é dito simétrico se, para todo elemento a pertencente a ele, houver também um elemento -a pertencente a esse conjunto. Os conjuntos numéricos Z, R, Q e C são simétricos.
Par ordenado e produto cartesiano
Um par ordenado é uma coleção de dois objetos que tem uma ordem definida; existe o primeiro elemento (ou primeira coordenada) e o segundo elemento (ou segunda coordenada). Diferentemente do conjunto { a,b }, um par ordenado — simbolizado por (a,b) — precisa ser apresentado em uma determinada ordem, e dois pares ordenados só são iguais quando os primeiros elementos são iguais e os segundos elementos são iguais. Ou seja,
Porém, o par ordenado pode ser representado como um conjunto, tal que não existe ambiguidade quanto à ordem. Esse conjunto é:
Observar que o formato do conjunto, que inclui um subconjunto contendo os dois elementos do par e um conjunto contendo o primeiro elemento, elimina a possibilidade de ambiguidade quanto à ordem. A notação (a,b) também é conhecida como intervalo aberto.
Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O simbolo do produto cartesioano é . Matematicamente:
- O produto cartesiano é não-comutativo: .
- Quem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático Descartes, quando desenvolvia a geometria analítica. Ele enunciou, por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais R (imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano.
Relações
Na teoria dos conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamada relação de A em B. (O assunto é abordado com mais detalhes na próxima seção.)