Matemática elementar/Polinômios: mudanças entre as edições
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Define-se o '''grau''' de um polinômio como igual ao expoente mais alto entre as variáveis de seus monômios não-nulos. Por exemplo, no polinômio <math>2 + 4 x^{3} + 2 x^{2} - x</math> o grau é 3, correspondente ao expoente mais alto entre as variáveis nos monômios (<math>x^{3}</math>). | Define-se o '''grau''' de um polinômio como igual ao expoente mais alto entre as variáveis de seus monômios não-nulos. Por exemplo, no polinômio <math>2 + 4 x^{3} + 2 x^{2} - x</math> o grau é 3, correspondente ao expoente mais alto entre as variáveis nos monômios (<math>x^{3}</math>). | ||
==Valor númerico== | |||
== Raízes == | == Raízes == | ||
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:<math>B(x) = \frac{2 x^{2} + 4 x^{2} + 6}{2} \Rightarrow B(x) = 3 x^{2} + 3</math> | :<math>B(x) = \frac{2 x^{2} + 4 x^{2} + 6}{2} \Rightarrow B(x) = 3 x^{2} + 3</math> | ||
Como o desenvolvimento de ''B(x)'' resultou num polinômio de termos correspondentes idênticos a ''A(x)'', então os polinômios são idênticos ou equivalentes; indica-se: <math>A(x) \equiv B(x)</math>. | Como o desenvolvimento de ''B(x)'' resultou num polinômio de termos correspondentes idênticos a ''A(x)'', então os polinômios são idênticos ou equivalentes; indica-se: <math>A(x) \equiv B(x)</math>. | ||
==Polinômio nulo== | |||
==Igualdade de polinômios== | |||
==Operações== | ==Operações== | ||
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Um polinômio <math>A(x) \,\!</math> é divisível pelo polinômio de primeiro grau <math>B(x) = a x + b\,\!</math> se e somente se, <math>A (-b/a) = 0\,\!</math>. | Um polinômio <math>A(x) \,\!</math> é divisível pelo polinômio de primeiro grau <math>B(x) = a x + b\,\!</math> se e somente se, <math>A (-b/a) = 0\,\!</math>. | ||
==Algoritmo de Briot-Ruffini== | |||
== Aplicações práticas == | == Aplicações práticas == | ||
==Equações plinominais== | |||
===Definição=== | |||
===Teorema Fundamental da Álgebra=== | |||
===Multiplicidade de uma raiz=== | |||
===Relações de Girard=== | |||
===Teorema das raízes compexas=== | |||
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Edição das 10h53min de 1 de fevereiro de 2006
Definição
Polinômios são séries de monômios (ou termos), que por sua vez são expressões matemáticas na forma . Cada monômio é caracterizado por
- um coeficiente, que na equação acima é representado por a;
- uma variável, que na equação é representada por x; e
- um expoente, que na equação é representado por n.
Assim, um polinômio é um conjunto de monômios, devidamente normalizados. A expressão mais correta é função polinomial, mas o uso de polinômio é consagrado. A função polinomial ou polinômio assume a forma:
A função constante, , é um exemplo de função polinomial, bem como a função linear .
Grau
Define-se o grau de um polinômio como igual ao expoente mais alto entre as variáveis de seus monômios não-nulos. Por exemplo, no polinômio o grau é 3, correspondente ao expoente mais alto entre as variáveis nos monômios ().
Valor númerico
Raízes
Raiz ou zero é um valor tal que, atribuído à variável da função polinomial, faz com que a função resulte em 0. Ou seja, se a é dito raiz do polinômio P(x), então .
Exemplos de raízes:
- tem raiz r = 4 (pois )
- tem raiz r igual a -1, pois .
Um polinômio de grau n terá n raízes, sempre. Algumas vezes uma mesma raiz se repete, sendo por isso chamada raiz dupla, tripla, quádrupla, etc. Por exemplo:
- tem raiz dupla r igual a -2, uma vez que pode ser fatorado em .
Num gráfico representativo da função polinomial, as raízes sempre ocorrem nos pontos em que a curva cruza o eixo das abcissas.
Obtenção de raízes
Identidade de polinômios
Dois polinômios são ditos idênticos se tiverem o mesmo grau e os monômios correspondentes idênticos, por exemplo:
Como o desenvolvimento de B(x) resultou num polinômio de termos correspondentes idênticos a A(x), então os polinômios são idênticos ou equivalentes; indica-se: .
Polinômio nulo
Igualdade de polinômios
Operações
Adição
2x(5-y)
Subtração
Multiplicação
Divisão
Teoremas
Teorema do resto
O resto da divisão do polinômio pelo polinômio de primeiro grau é .
Observação:
Note que é a raiz do divisor
Teorema de D'Alembert
Um polinômio é divisível pelo polinômio de primeiro grau se e somente se, .