Matemática elementar/Conjuntos/Números complexos
Números Complexos
Introdução
Os números complexos são o resultado de vários aumentos sucessivos do conjunto numérico N (naturais). Todos estes aumentos foram para que mais equações tivessem solução. Vamos ver:
No princípio existia o N. Mas equações do tipo não tinham solução em N. Com isto foram inventados os números negativos. O conjunto N aumentado dos números negativos resultou no conjunto Z (números inteiros).
Mas com o conjunto dos inteiros ainda haviam algumas equações sem solução. Por exemplo, . Com isto foram inventadas as frações. O conjunto Z acrescido das frações é o conjunto Q (números racionais).
Mas mesmo com os racionais, ainda haviam equações sem solução. Por exemplo, . Por incrível que possa parecer, não existe uma fração que possa assumir o lugar da variável , embora várias causem um erro bem pequeno. Com isto foram criados os números irracionais. O é um exemplo de número irracional. O conjunto Q acrescido dos irracionais é o conjunto dos reais.
Finalmente, foi inventada uma extensão dos reais para fornecer solução às ultimas equações que faltavam. Esta extensão é toda contruída a partir de um elemento novo. Um numerozinho chamado . Somando um real r com o produto de por outro real c, temos muitos outros números do tipo . Os reais acrescidos destes números geram o conjunto dos complexos.
Alguem poderia pensar que este processo ainda não parou, mas pode-se provar que o processo terminou. É possível mostrar que equações com coeficientes reais tem sempre solução nos complexos. Mas este é um resultado avançado demais para este livro.
O número imáginario
Aprendemos desde muito cedo que não existem números reais tais que elevado ao quadrado dê como resultado -1. Isso acontece porque existem certas "regras" de multiplicação no conjunto dos números reais que impedem isso. Por exemplo a regra de que "menos com menos dá mais". Com isso precisamos definir um número com essa propriedade para que possamos resolver todas as equações. Assim definimos i = .
formas de representar os complexos
As duas formas principais de representar os numeros complexos são:
z = a+bi
ou
z = (a,b)
A parte real do número z é o número a e é denotada por Re(z). A parte imaginária do número z é o número b e é denotada por Im(z).
Operações com os complexos
Soma e subtração
Como já foi fito, um número complexo pode ser representado por (a,b). Assim, a operação soma fica definida como:
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
ou na outra notação: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
A subtração pode ser deduzida da operação soma:
(a,b) - (c,d)=(a,b) + (- (c,d))=(a,b) + (-c,-d) = (a-c,b-d)
ou na outra notação: (a + bi) - (c + di)=(a - c)+(b - d)i
Multiplicação e divisão
A própria definição do conjunto dos números complexos reside na multiplicação. Assim definimos o conjunto dos números complexos como tendo a seguinte operação de multiplicação:
(a,b) . (c,d) = (ac - bd, ad + bc)
Vamos ver quanto é i